Theorem expnprm 13115

Description: A second or higher power of a rational number is not a prime number. Or by contraposition, the n-th root of a prime number is not rational. Suggested by Norm Megill. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
expnprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem expnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b3 9987	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
2	1	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 1)
3	2	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ≠ 1)
4		eluzelz 9914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	ad2antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)
7		simpll 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8		prmnn 12871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnne0d 9332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
11		eluz2nn 9949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
13	12	0expd 11110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (0↑𝑁) = 0)
14	10, 13	neeqtrrd 2450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ≠ (0↑𝑁))
15		oveq1 6086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
16	15	necon3i 2468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ≠ (0↑𝑁) → 𝐴 ≠ 0)
17	14, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
18		pcqcl 13068	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
19	6, 7, 17, 18	syl12anc 1276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
20		dvdsmul1 12563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
21	5, 19, 20	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
22	9	nncnd 9301	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
23	22	exp1d 11089	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁)↑1) = (𝐴↑𝑁))
24	23	oveq2d 6095	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)))
25		1z 9653	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
26		pcid 13086	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = 1)
27	6, 25, 26	sylancl 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt ((𝐴↑𝑁)↑1)) = 1)
28		pcexp 13071	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
29	6, 7, 17, 5, 28	syl121anc 1283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → ((𝐴↑𝑁) pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)))
30	24, 27, 29	3eqtr3rd 2280	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → (𝑁 · ((𝐴↑𝑁) pCnt 𝐴)) = 1)
31	21, 30	breqtrd 4154	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ 1)
32	31	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 ∥ 1))
33	11	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ)
34	33	nnnn0d 9603	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35		dvds1 12603	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
36	34, 35	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ∥ 1 ↔ 𝑁 = 1))
37	32, 36	sylibd 149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴↑𝑁) ∈ ℙ → 𝑁 = 1))
38	37	necon3ad 2462	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑁 ≠ 1 → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ))
39	3, 38	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ (𝐴↑𝑁) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  0cc0 8173  1c1 8174   · cmul 8178  ℕcn 9287  2c2 9338  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ℚcq 10002  ↑cexp 10958   ∥ cdvds 12537  ℙcprime 12868   pCnt cpc 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-en 7017  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-dvds 12538  df-gcd 12714  df-prm 12869  df-pc 13047

This theorem is referenced by: (None)