Theorem nngt0d 9170

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 9151	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  0cc0 8015   < clt 8197  ℕcn 9126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4726  df-cnv 4728  df-iota 5281  df-fv 5329  df-ov 6013  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-inn 9127

This theorem is referenced by:  flqdiv  10560  modqmulnn  10581  modifeq2int  10625  modaddmodup  10626  modaddmodlo  10627  modsumfzodifsn  10635  addmodlteq  10637  facubnd  10984  fihashgt0  11045  resqrexlemdecn  11544  modfsummodlemstep  11989  divcnv  12029  cvgratnnlemabsle  12059  fprodmodd  12173  efcllemp  12190  ege2le3  12203  eftlub  12222  eflegeo  12233  eirraplem  12309  dvdslelemd  12375  dvdsmod  12394  mulmoddvds  12395  divalgmod  12459  bitsfzo  12487  bitsmod  12488  bitsinv1lem  12493  bezoutlemnewy  12538  bezoutlemstep  12539  sqgcd  12571  eucalglt  12600  qredeu  12640  prmind2  12663  nprm  12666  sqrt2irraplemnn  12722  divdenle  12740  qnumgt0  12741  hashdvds  12764  crth  12767  phimullem  12768  eulerthlema  12773  fermltl  12777  prmdiv  12778  prmdiveq  12779  odzdvds  12789  powm2modprm  12796  modprm0  12798  nnnn0modprm0  12799  pythagtriplem11  12818  pythagtriplem13  12820  pythagtriplem19  12826  pcadd  12884  pcfaclem  12893  qexpz  12896  pockthlem  12900  pockthg  12901  4sqlem5  12926  4sqlem6  12927  4sqlem10  12931  4sqlem12  12946  4sqlem14  12948  4sqlem16  12950  wilthlem1  15675  perfectlem2  15695  lgsvalmod  15719  lgsmod  15726  lgsdirprm  15734  gausslemma2dlem0i  15757  gausslemma2dlem5a  15765  gausslemma2dlem6  15767  gausslemma2d  15769  lgseisenlem1  15770  lgseisenlem2  15771  lgseisenlem3  15772  lgseisenlem4  15773  lgseisen  15774  lgsquadlem1  15777  lgsquadlem2  15778  2sqlem8  15823  clwwlkgt0  16165