Theorem nngt0d 9229

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 9210	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  0cc0 8075   < clt 8256  ℕcn 9185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-inn 9186

This theorem is referenced by:  flqdiv  10629  modqmulnn  10650  modifeq2int  10694  modaddmodup  10695  modaddmodlo  10696  modsumfzodifsn  10704  addmodlteq  10706  facubnd  11053  fihashgt0  11115  resqrexlemdecn  11635  modfsummodlemstep  12081  divcnv  12121  cvgratnnlemabsle  12151  fprodmodd  12265  efcllemp  12282  ege2le3  12295  eftlub  12314  eflegeo  12325  eirraplem  12401  dvdslelemd  12467  dvdsmod  12486  mulmoddvds  12487  divalgmod  12551  bitsfzo  12579  bitsmod  12580  bitsinv1lem  12585  bezoutlemnewy  12630  bezoutlemstep  12631  sqgcd  12663  eucalglt  12692  qredeu  12732  prmind2  12755  nprm  12758  sqrt2irraplemnn  12814  divdenle  12832  qnumgt0  12833  hashdvds  12856  crth  12859  phimullem  12860  eulerthlema  12865  fermltl  12869  prmdiv  12870  prmdiveq  12871  odzdvds  12881  powm2modprm  12888  modprm0  12890  nnnn0modprm0  12891  pythagtriplem11  12910  pythagtriplem13  12912  pythagtriplem19  12918  pcadd  12976  pcfaclem  12985  qexpz  12988  pockthlem  12992  pockthg  12993  4sqlem5  13018  4sqlem6  13019  4sqlem10  13023  4sqlem12  13038  4sqlem14  13040  4sqlem16  13042  pellexlem2  15775  wilthlem1  15777  perfectlem2  15797  lgsvalmod  15821  lgsmod  15828  lgsdirprm  15836  gausslemma2dlem0i  15859  gausslemma2dlem5a  15867  gausslemma2dlem6  15869  gausslemma2d  15871  lgseisenlem1  15872  lgseisenlem2  15873  lgseisenlem3  15874  lgseisenlem4  15875  lgseisen  15876  lgsquadlem1  15879  lgsquadlem2  15880  2sqlem8  15925  clwwlkgt0  16320  clwwlknonex2  16363