Theorem nngt0d 9327

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 9308	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  0cc0 8169   < clt 8350  ℕcn 9283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-inn 9284

This theorem is referenced by:  flqdiv  10736  modqmulnn  10757  modifeq2int  10801  modaddmodup  10802  modaddmodlo  10803  modsumfzodifsn  10811  addmodlteq  10813  facubnd  11161  fihashgt0  11224  resqrexlemdecn  11756  modfsummodlemstep  12202  divcnv  12242  cvgratnnlemabsle  12272  fprodmodd  12386  efcllemp  12403  ege2le3  12416  eftlub  12435  eflegeo  12446  eirraplem  12522  dvdslelemd  12588  dvdsmod  12607  mulmoddvds  12608  divalgmod  12672  bitsfzo  12700  bitsmod  12701  bitsinv1lem  12706  bezoutlemnewy  12751  bezoutlemstep  12752  sqgcd  12784  eucalglt  12813  qredeu  12853  prmind2  12876  nprm  12879  sqrt2irraplemnn  12935  divdenle  12953  qnumgt0  12954  hashdvds  12977  crth  12980  phimullem  12981  eulerthlema  12986  fermltl  12990  prmdiv  12991  prmdiveq  12992  odzdvds  13002  powm2modprm  13009  modprm0  13011  nnnn0modprm0  13012  pythagtriplem11  13031  pythagtriplem13  13033  pythagtriplem19  13039  pcadd  13097  pcfaclem  13106  qexpz  13109  pockthlem  13113  pockthg  13114  4sqlem5  13139  4sqlem6  13140  4sqlem10  13144  4sqlem12  13159  4sqlem14  13161  4sqlem16  13163  pellexlem2  16006  wilthlem1  16008  perfectlem2  16028  lgsvalmod  16052  lgsmod  16059  lgsdirprm  16067  gausslemma2dlem0i  16090  gausslemma2dlem5a  16098  gausslemma2dlem6  16100  gausslemma2d  16102  lgseisenlem1  16103  lgseisenlem2  16104  lgseisenlem3  16105  lgseisenlem4  16106  lgseisen  16107  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  2sqlem8  16156  clwwlkgt0  16551  clwwlknonex2  16594