Theorem nngt0d 9150

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 9131	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  0cc0 7995   < clt 8177  ℕcn 9106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-inn 9107

This theorem is referenced by:  flqdiv  10538  modqmulnn  10559  modifeq2int  10603  modaddmodup  10604  modaddmodlo  10605  modsumfzodifsn  10613  addmodlteq  10615  facubnd  10962  resqrexlemdecn  11518  modfsummodlemstep  11963  divcnv  12003  cvgratnnlemabsle  12033  fprodmodd  12147  efcllemp  12164  ege2le3  12177  eftlub  12196  eflegeo  12207  eirraplem  12283  dvdslelemd  12349  dvdsmod  12368  mulmoddvds  12369  divalgmod  12433  bitsfzo  12461  bitsmod  12462  bitsinv1lem  12467  bezoutlemnewy  12512  bezoutlemstep  12513  sqgcd  12545  eucalglt  12574  qredeu  12614  prmind2  12637  nprm  12640  sqrt2irraplemnn  12696  divdenle  12714  qnumgt0  12715  hashdvds  12738  crth  12741  phimullem  12742  eulerthlema  12747  fermltl  12751  prmdiv  12752  prmdiveq  12753  odzdvds  12763  powm2modprm  12770  modprm0  12772  nnnn0modprm0  12773  pythagtriplem11  12792  pythagtriplem13  12794  pythagtriplem19  12800  pcadd  12858  pcfaclem  12867  qexpz  12870  pockthlem  12874  pockthg  12875  4sqlem5  12900  4sqlem6  12901  4sqlem10  12905  4sqlem12  12920  4sqlem14  12922  4sqlem16  12924  wilthlem1  15648  perfectlem2  15668  lgsvalmod  15692  lgsmod  15699  lgsdirprm  15707  gausslemma2dlem0i  15730  gausslemma2dlem5a  15738  gausslemma2dlem6  15740  gausslemma2d  15742  lgseisenlem1  15743  lgseisenlem2  15744  lgseisenlem3  15745  lgseisenlem4  15746  lgseisen  15747  lgsquadlem1  15750  lgsquadlem2  15751  2sqlem8  15796