Theorem nngt0d 9298

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 9279	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  0cc0 8143   < clt 8324  ℕcn 9254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-inn 9255

This theorem is referenced by:  flqdiv  10707  modqmulnn  10728  modifeq2int  10772  modaddmodup  10773  modaddmodlo  10774  modsumfzodifsn  10782  addmodlteq  10784  facubnd  11132  fihashgt0  11195  resqrexlemdecn  11722  modfsummodlemstep  12168  divcnv  12208  cvgratnnlemabsle  12238  fprodmodd  12352  efcllemp  12369  ege2le3  12382  eftlub  12401  eflegeo  12412  eirraplem  12488  dvdslelemd  12554  dvdsmod  12573  mulmoddvds  12574  divalgmod  12638  bitsfzo  12666  bitsmod  12667  bitsinv1lem  12672  bezoutlemnewy  12717  bezoutlemstep  12718  sqgcd  12750  eucalglt  12779  qredeu  12819  prmind2  12842  nprm  12845  sqrt2irraplemnn  12901  divdenle  12919  qnumgt0  12920  hashdvds  12943  crth  12946  phimullem  12947  eulerthlema  12952  fermltl  12956  prmdiv  12957  prmdiveq  12958  odzdvds  12968  powm2modprm  12975  modprm0  12977  nnnn0modprm0  12978  pythagtriplem11  12997  pythagtriplem13  12999  pythagtriplem19  13005  pcadd  13063  pcfaclem  13072  qexpz  13075  pockthlem  13079  pockthg  13080  4sqlem5  13105  4sqlem6  13106  4sqlem10  13110  4sqlem12  13125  4sqlem14  13127  4sqlem16  13129  pellexlem2  15972  wilthlem1  15974  perfectlem2  15994  lgsvalmod  16018  lgsmod  16025  lgsdirprm  16033  gausslemma2dlem0i  16056  gausslemma2dlem5a  16064  gausslemma2dlem6  16066  gausslemma2d  16068  lgseisenlem1  16069  lgseisenlem2  16070  lgseisenlem3  16071  lgseisenlem4  16072  lgseisen  16073  lgsquadlem1  16076  lgsquadlem2  16077  2sqlem8  16122  clwwlkgt0  16517  clwwlknonex2  16560