Theorem nngt0d 9177

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 9158	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  0cc0 8022   < clt 8204  ℕcn 9133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-inn 9134

This theorem is referenced by:  flqdiv  10573  modqmulnn  10594  modifeq2int  10638  modaddmodup  10639  modaddmodlo  10640  modsumfzodifsn  10648  addmodlteq  10650  facubnd  10997  fihashgt0  11059  resqrexlemdecn  11563  modfsummodlemstep  12008  divcnv  12048  cvgratnnlemabsle  12078  fprodmodd  12192  efcllemp  12209  ege2le3  12222  eftlub  12241  eflegeo  12252  eirraplem  12328  dvdslelemd  12394  dvdsmod  12413  mulmoddvds  12414  divalgmod  12478  bitsfzo  12506  bitsmod  12507  bitsinv1lem  12512  bezoutlemnewy  12557  bezoutlemstep  12558  sqgcd  12590  eucalglt  12619  qredeu  12659  prmind2  12682  nprm  12685  sqrt2irraplemnn  12741  divdenle  12759  qnumgt0  12760  hashdvds  12783  crth  12786  phimullem  12787  eulerthlema  12792  fermltl  12796  prmdiv  12797  prmdiveq  12798  odzdvds  12808  powm2modprm  12815  modprm0  12817  nnnn0modprm0  12818  pythagtriplem11  12837  pythagtriplem13  12839  pythagtriplem19  12845  pcadd  12903  pcfaclem  12912  qexpz  12915  pockthlem  12919  pockthg  12920  4sqlem5  12945  4sqlem6  12946  4sqlem10  12950  4sqlem12  12965  4sqlem14  12967  4sqlem16  12969  wilthlem1  15694  perfectlem2  15714  lgsvalmod  15738  lgsmod  15745  lgsdirprm  15753  gausslemma2dlem0i  15776  gausslemma2dlem5a  15784  gausslemma2dlem6  15786  gausslemma2d  15788  lgseisenlem1  15789  lgseisenlem2  15790  lgseisenlem3  15791  lgseisenlem4  15792  lgseisen  15793  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  2sqlem8  15842  clwwlkgt0  16191  clwwlknonex2  16234