Theorem nngt0d 9165

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 9146	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  0cc0 8010   < clt 8192  ℕcn 9121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-inn 9122

This theorem is referenced by:  flqdiv  10555  modqmulnn  10576  modifeq2int  10620  modaddmodup  10621  modaddmodlo  10622  modsumfzodifsn  10630  addmodlteq  10632  facubnd  10979  fihashgt0  11040  resqrexlemdecn  11538  modfsummodlemstep  11983  divcnv  12023  cvgratnnlemabsle  12053  fprodmodd  12167  efcllemp  12184  ege2le3  12197  eftlub  12216  eflegeo  12227  eirraplem  12303  dvdslelemd  12369  dvdsmod  12388  mulmoddvds  12389  divalgmod  12453  bitsfzo  12481  bitsmod  12482  bitsinv1lem  12487  bezoutlemnewy  12532  bezoutlemstep  12533  sqgcd  12565  eucalglt  12594  qredeu  12634  prmind2  12657  nprm  12660  sqrt2irraplemnn  12716  divdenle  12734  qnumgt0  12735  hashdvds  12758  crth  12761  phimullem  12762  eulerthlema  12767  fermltl  12771  prmdiv  12772  prmdiveq  12773  odzdvds  12783  powm2modprm  12790  modprm0  12792  nnnn0modprm0  12793  pythagtriplem11  12812  pythagtriplem13  12814  pythagtriplem19  12820  pcadd  12878  pcfaclem  12887  qexpz  12890  pockthlem  12894  pockthg  12895  4sqlem5  12920  4sqlem6  12921  4sqlem10  12925  4sqlem12  12940  4sqlem14  12942  4sqlem16  12944  wilthlem1  15669  perfectlem2  15689  lgsvalmod  15713  lgsmod  15720  lgsdirprm  15728  gausslemma2dlem0i  15751  gausslemma2dlem5a  15759  gausslemma2dlem6  15761  gausslemma2d  15763  lgseisenlem1  15764  lgseisenlem2  15765  lgseisenlem3  15766  lgseisenlem4  15767  lgseisen  15768  lgsquadlem1  15771  lgsquadlem2  15772  2sqlem8  15817  clwwlkgt0  16134