Theorem nngt0d 9351

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 9332	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  0cc0 8180   < clt 8361  ℕcn 9307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-inn 9308

This theorem is used by:  flqdiv  10773  modqmulnn  10794  modifeq2int  10838  modaddmodup  10839  modaddmodlo  10840  modsumfzodifsn  10848  addmodlteq  10850  facubnd  11199  fihashgt0  11262  resqrexlemdecn  11794  modfsummodlemstep  12243  divcnv  12283  cvgratnnlemabsle  12313  fprodmodd  12427  efcllemp  12444  ege2le3  12457  eftlub  12476  eflegeo  12487  eirraplem  12563  dvdslelemd  12629  dvdsmod  12648  mulmoddvds  12649  divalgmod  12713  bitsfzo  12741  bitsmod  12742  bitsinv1lem  12747  bezoutlemnewy  12792  bezoutlemstep  12793  sqgcd  12825  eucalglt  12854  qredeu  12894  prmind2  12917  nprm  12920  sqrt2irraplemnn  12978  divdenle  12996  qnumgt0  12997  hashdvds  13022  crth  13025  phimullem  13026  eulerthlema  13031  fermltl  13035  prmdiv  13036  prmdiveq  13037  odzdvds  13047  powm2modprm  13054  modprm0  13056  nnnn0modprm0  13057  pythagtriplem11  13076  pythagtriplem13  13078  pythagtriplem19  13084  pcadd  13142  pcfaclem  13151  qexpz  13154  pockthlem  13158  pockthg  13159  4sqlem5  13184  4sqlem6  13185  4sqlem10  13189  4sqlem12  13204  4sqlem14  13206  4sqlem16  13208  log2tlbndlog2  16181  birthdaylem3  16188  pellexlem2  16191  wilthlem1  16193  perfectlem2  16261  bposlem1  16272  bposlem2  16273  bposlem6  16277  lgsvalmod  16304  lgsmod  16311  lgsdirprm  16319  gausslemma2dlem0i  16342  gausslemma2dlem5a  16350  gausslemma2dlem6  16352  gausslemma2d  16354  lgseisenlem1  16355  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem3  16357  lgseisenlem4  16358  lgseisen  16359  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  2sqlem8  16408  clwwlkgt0  16803  clwwlknonex2  16846