Theorem redivap 11260

Description: Real part of a division. Related to remul2 11259. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
redivap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (ℜ‘(𝐴 / 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) / 𝐵))

Proof of Theorem redivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 266	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0)))
2		3anass 985	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0)))
3	1, 2	bitr4i 187	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0))
4		rerecclap 8823	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	anim1i 340	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
6	3, 5	sylbir 135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
7		remul2 11259	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)) = ((1 / 𝐵) · (ℜ‘𝐴)))
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (ℜ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)) = ((1 / 𝐵) · (ℜ‘𝐴)))
9		recn 8078	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
10		divrecap2 8782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
11	10	fveq2d 5593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (ℜ‘(𝐴 / 𝐵)) = (ℜ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)))
12	9, 11	syl3an2 1284	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (ℜ‘(𝐴 / 𝐵)) = (ℜ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)))
13		recl 11239	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
14	13	recnd 8121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant1 1021	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
16	9	3ad2ant2 1022	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simp3 1002	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 # 0)
18	15, 16, 17	divrecap2d 8887	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → ((ℜ‘𝐴) / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · (ℜ‘𝐴)))
19	8, 12, 18	3eqtr4d 2249	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (ℜ‘(𝐴 / 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  ℝcr 7944  0cc0 7945  1c1 7946   · cmul 7950   # cap 8674   / cdiv 8765  ℜcre 11226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-2 9115  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230

This theorem is referenced by:  redivapd  11360