Theorem redivap 11617

Description: Real part of a division. Related to remul2 11616. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
redivap	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (ℜ‘(𝐴 / 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) / 𝐵))

Proof of Theorem redivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 266	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0)))
2		3anass 1013	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0)))
3	1, 2	bitr4i 187	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0))
4		rerecclap 9050	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	anim1i 340	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
6	3, 5	sylbir 135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
7		remul2 11616	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)) = ((1 / 𝐵) · (ℜ‘𝐴)))
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (ℜ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)) = ((1 / 𝐵) · (ℜ‘𝐴)))
9		recn 8302	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
10		divrecap2 9009	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · 𝐴))
11	10	fveq2d 5694	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (ℜ‘(𝐴 / 𝐵)) = (ℜ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)))
12	9, 11	syl3an2 1312	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (ℜ‘(𝐴 / 𝐵)) = (ℜ‘((1 / 𝐵) · 𝐴)))
13		recl 11596	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
14	13	recnd 8344	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
15	14	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
16	9	3ad2ant2 1050	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simp3 1030	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 𝐵 # 0)
18	15, 16, 17	divrecap2d 9114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → ((ℜ‘𝐴) / 𝐵) = ((1 / 𝐵) · (ℜ‘𝐴)))
19	8, 12, 18	3eqtr4d 2281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → (ℜ‘(𝐴 / 𝐵)) = ((ℜ‘𝐴) / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   · cmul 8174   # cap 8899   / cdiv 8992  ℜcre 11583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-2 9342  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587

This theorem is referenced by:  redivapd  11718