Theorem rhmmul 14444

Description: A homomorphism of rings preserves multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmmul.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
rhmmul.n	⊢ × = (.r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmmul	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)))

Proof of Theorem rhmmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	rhmmhm 14439	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
4	3	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
5		simp2 1029	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		rhmrcl1 14435	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
7		rhmmul.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
8	1, 7	mgpbasg 14200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
9	6, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑋 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
10	9	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
11	10	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
12	5, 11	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
13		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
14	9	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐵 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
15	14	3ad2ant1 1049	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
16	13, 15	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
18		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
19		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑆)) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
20	17, 18, 19	mhmlin 13751	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵)))
21	4, 12, 16, 20	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵)))
22		rhmmul.m	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	1, 22	mgpplusgg 14198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
24	6, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
25	24	oveqd 6092	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵))
26	25	fveq2d 5694	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)))
27		rhmrcl2 14436	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
28		rhmmul.n	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑆)
29	2, 28	mgpplusgg 14198	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
30	27, 29	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
31	30	oveqd 6092	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵)))
32	26, 31	eqeq12d 2253	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)) ↔ (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵))))
33	32	3ad2ant1 1049	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)) ↔ (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵))))
34	21, 33	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Basecbs 13330  +_gcplusg 13408  ._rcmulr 13409   MndHom cmhm 13741  mulGrpcmgp 14194  Ringcrg 14274   RingHom crh 14430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-mhm 13743  df-grp 13785  df-ghm 14021  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-rhm 14432

This theorem is referenced by:  rhmdvdsr  14455  rhmopp  14456  rhmunitinv  14458  znidom  14964  znidomb  14965  znunit  14966  znrrg  14967  lgseisenlem3  16105  lgseisenlem4  16106