Theorem rhmmul 14309

Description: A homomorphism of rings preserves multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmmul.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
rhmmul.n	⊢ × = (.r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmmul	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)))

Proof of Theorem rhmmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	rhmmhm 14304	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
4	3	3ad2ant1 1045	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
5		simp2 1025	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		rhmrcl1 14300	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
7		rhmmul.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
8	1, 7	mgpbasg 14070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
9	6, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑋 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
10	9	eleq2d 2302	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
11	10	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
12	5, 11	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
13		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
14	9	eleq2d 2302	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐵 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
15	14	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
16	13, 15	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
18		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
19		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑆)) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
20	17, 18, 19	mhmlin 13680	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵)))
21	4, 12, 16, 20	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵)))
22		rhmmul.m	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	1, 22	mgpplusgg 14068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
24	6, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
25	24	oveqd 6067	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵))
26	25	fveq2d 5674	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)))
27		rhmrcl2 14301	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
28		rhmmul.n	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑆)
29	2, 28	mgpplusgg 14068	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
30	27, 29	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
31	30	oveqd 6067	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵)))
32	26, 31	eqeq12d 2247	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)) ↔ (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵))))
33	32	3ad2ant1 1045	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)) ↔ (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵))))
34	21, 33	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Basecbs 13212  +_gcplusg 13290  ._rcmulr 13291   MndHom cmhm 13670  mulGrpcmgp 14064  Ringcrg 14140   RingHom crh 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-mhm 13672  df-grp 13716  df-ghm 13958  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142  df-rhm 14297

This theorem is referenced by:  rhmdvdsr  14320  rhmopp  14321  rhmunitinv  14323  znidom  14805  znidomb  14806  znunit  14807  znrrg  14808  lgseisenlem3  15945  lgseisenlem4  15946