Theorem rhmmul 14242

Description: A homomorphism of rings preserves multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmmul.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
rhmmul.n	⊢ × = (.r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmmul	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)))

Proof of Theorem rhmmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	rhmmhm 14237	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
4	3	3ad2ant1 1045	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
5		simp2 1025	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		rhmrcl1 14233	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
7		rhmmul.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
8	1, 7	mgpbasg 14003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
9	6, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑋 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
10	9	eleq2d 2301	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
11	10	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
12	5, 11	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
13		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
14	9	eleq2d 2301	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐵 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
15	14	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
16	13, 15	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
18		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
19		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑆)) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
20	17, 18, 19	mhmlin 13613	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵)))
21	4, 12, 16, 20	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵)))
22		rhmmul.m	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	1, 22	mgpplusgg 14001	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
24	6, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
25	24	oveqd 6045	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵))
26	25	fveq2d 5652	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)))
27		rhmrcl2 14234	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
28		rhmmul.n	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑆)
29	2, 28	mgpplusgg 14001	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
30	27, 29	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
31	30	oveqd 6045	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵)))
32	26, 31	eqeq12d 2246	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)) ↔ (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵))))
33	32	3ad2ant1 1045	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)) ↔ (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵))))
34	21, 33	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13145  +_gcplusg 13223  ._rcmulr 13224   MndHom cmhm 13603  mulGrpcmgp 13997  Ringcrg 14073   RingHom crh 14228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-mhm 13605  df-grp 13649  df-ghm 13891  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-ring 14075  df-rhm 14230

This theorem is referenced by:  rhmdvdsr  14253  rhmopp  14254  rhmunitinv  14256  znidom  14736  znidomb  14737  znunit  14738  znrrg  14739  lgseisenlem3  15874  lgseisenlem4  15875