Theorem rhmmul 13796

Description: A homomorphism of rings preserves multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmmul.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmmul.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
rhmmul.n	⊢ × = (.r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmmul	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)))

Proof of Theorem rhmmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3	1, 2	rhmmhm 13791	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
4	3	3ad2ant1 1020	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
5		simp2 1000	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		rhmrcl1 13787	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
7		rhmmul.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
8	1, 7	mgpbasg 13558	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
9	6, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑋 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
10	9	eleq2d 2266	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
11	10	3ad2ant1 1020	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
12	5, 11	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
13		simp3 1001	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
14	9	eleq2d 2266	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐵 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
15	14	3ad2ant1 1020	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
16	13, 15	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
18		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
19		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑆)) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
20	17, 18, 19	mhmlin 13169	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵)))
21	4, 12, 16, 20	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵)))
22		rhmmul.m	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	1, 22	mgpplusgg 13556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
24	6, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
25	24	oveqd 5942	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵))
26	25	fveq2d 5565	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)))
27		rhmrcl2 13788	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
28		rhmmul.n	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑆)
29	2, 28	mgpplusgg 13556	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
30	27, 29	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → × = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
31	30	oveqd 5942	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵)))
32	26, 31	eqeq12d 2211	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)) ↔ (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵))))
33	32	3ad2ant1 1020	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)) ↔ (𝐹‘(𝐴(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐵)) = ((𝐹‘𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑆))(𝐹‘𝐵))))
34	21, 33	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐴 · 𝐵)) = ((𝐹‘𝐴) × (𝐹‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  ._rcmulr 12781   MndHom cmhm 13159  mulGrpcmgp 13552  Ringcrg 13628   RingHom crh 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-mhm 13161  df-grp 13205  df-ghm 13447  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-ring 13630  df-rhm 13784

This theorem is referenced by:  rhmdvdsr  13807  rhmopp  13808  rhmunitinv  13810  znidom  14289  znidomb  14290  znunit  14291  znrrg  14292  lgseisenlem3  15397  lgseisenlem4  15398