ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znidom GIF version

Theorem znidom 14102
Description: The ℤ/n structure is an integral domain when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Aug-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
znidom (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)

Proof of Theorem znidom
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 12222 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnnn0 9233 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
31, 2syl 14 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 zntos.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
54zncrng 14090 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
63, 5syl 14 . 2 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ CRing)
7 crngring 13468 . . . . 5 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
81, 2, 5, 74syl 18 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Ring)
9 hash2 10857 . . . . . 6 (♯‘2o) = 2
10 prmuz2 12243 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
11 eluzle 9590 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑁)
1210, 11syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑁)
13 eqid 2189 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
144, 13znhash 14101 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
151, 14syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
1612, 15breqtrrd 4053 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
179, 16eqbrtrid 4060 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
18 2onn 6561 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
19 nnfi 6915 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 2o ∈ Fin
214, 13znfi 14100 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
22 fihashdom 10848 . . . . . . 7 ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ Fin) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
2320, 21, 22sylancr 414 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
241, 23syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
2517, 24mpbid 147 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → 2o ≼ (Base‘𝑌))
2613isnzr2 13644 . . . 4 (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
278, 25, 26sylanbrc 417 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ NzRing)
28 eqid 2189 . . . . . . . 8 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
294, 13, 28znzrhfo 14093 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
303, 29syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
31 foelrn 5783 . . . . . . 7 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
32 foelrn 5783 . . . . . . 7 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))
3331, 32anim12dan 600 . . . . . 6 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
3430, 33sylan 283 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
35 reeanv 2660 . . . . . . 7 (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) ↔ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
36 euclemma 12258 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁𝑧𝑁𝑤)))
37363expb 1206 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁𝑧𝑁𝑤)))
388adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ Ring)
3928zrhrhm 14068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
41 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
42 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑤 ∈ ℤ)
43 zringbas 14042 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ = (Base‘ℤring)
44 zringmulr 14045 . . . . . . . . . . . . . . 15 · = (.r‘ℤring)
45 eqid 2189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r𝑌) = (.r𝑌)
4643, 44, 45rhmmul 13624 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
4740, 41, 42, 46syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
4847eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌)))
49 zmulcl 9356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ)
50 eqid 2189 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑌) = (0g𝑌)
514, 28, 50zndvds0 14095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
523, 49, 51syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
5348, 52bitr3d 190 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
544, 28, 50zndvds0 14095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑧))
553, 41, 54syl2an2r 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑧))
564, 28, 50zndvds0 14095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑤))
573, 42, 56syl2an2r 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑤))
5855, 57orbi12d 794 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌)) ↔ (𝑁𝑧𝑁𝑤)))
5937, 53, 583bitr4d 220 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
6059biimpd 144 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
61 oveq12 5915 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (𝑥(.r𝑌)𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
6261eqeq1d 2198 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌)))
63 eqeq1 2196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (0g𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌)))
6463orbi1d 792 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → ((𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
65 eqeq1 2196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → (𝑦 = (0g𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌)))
6665orbi2d 791 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
6764, 66sylan9bb 462 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌))))
6862, 67imbi12d 234 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))) ↔ ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g𝑌)))))
6960, 68syl5ibrcom 157 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
7069rexlimdvva 2615 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℙ → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
7135, 70biimtrrid 153 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℙ → ((∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
7271imp 124 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
7334, 72syldan 282 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
7473ralrimivva 2572 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌))))
7513, 45, 50isdomn 13729 . . 3 (𝑌 ∈ Domn ↔ (𝑌 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r𝑌)𝑦) = (0g𝑌) → (𝑥 = (0g𝑌) ∨ 𝑦 = (0g𝑌)))))
7627, 74, 75sylanbrc 417 . 2 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Domn)
77 isidom 13736 . 2 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
786, 76, 77sylanbrc 417 1 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469   class class class wbr 4025  ωcom 4614  ontowfo 5240  cfv 5242  (class class class)co 5906  2oc2o 6450  cdom 6780  Fincfn 6781   · cmul 7863  cle 8041  cn 8968  2c2 9019  0cn0 9226  cz 9303  cuz 9578  chash 10820  cdvds 11904  cprime 12219  Basecbs 12592  .rcmulr 12670  0gc0g 12841  Ringcrg 13456  CRingccrg 13457   RingHom crh 13610  NzRingcnzr 13639  Domncdomn 13716  IDomncidom 13717  ringczring 14036  ℤRHomczrh 14056  ℤ/nczn 14058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-pre-mulext 7976  ax-arch 7977  ax-caucvg 7978  ax-addf 7980  ax-mulf 7981
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-tpos 6285  df-recs 6345  df-irdg 6410  df-frec 6431  df-1o 6456  df-2o 6457  df-oadd 6460  df-er 6574  df-ec 6576  df-qs 6580  df-map 6691  df-en 6782  df-dom 6783  df-fin 6784  df-sup 7029  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-ap 8587  df-div 8678  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-5 9030  df-6 9031  df-7 9032  df-8 9033  df-9 9034  df-n0 9227  df-z 9304  df-dec 9435  df-uz 9579  df-q 9671  df-rp 9706  df-fz 10061  df-fzo 10195  df-fl 10325  df-mod 10380  df-seqfrec 10505  df-exp 10584  df-ihash 10821  df-cj 10960  df-re 10961  df-im 10962  df-rsqrt 11116  df-abs 11117  df-dvds 11905  df-gcd 12054  df-prm 12220  df-struct 12594  df-ndx 12595  df-slot 12596  df-base 12598  df-sets 12599  df-iress 12600  df-plusg 12682  df-mulr 12683  df-starv 12684  df-sca 12685  df-vsca 12686  df-ip 12687  df-ple 12689  df-0g 12843  df-iimas 12859  df-qus 12860  df-mgm 12913  df-sgrp 12959  df-mnd 12972  df-mhm 13005  df-grp 13049  df-minusg 13050  df-sbg 13051  df-mulg 13164  df-subg 13213  df-nsg 13214  df-eqg 13215  df-ghm 13284  df-cmn 13329  df-abl 13330  df-mgp 13381  df-rng 13393  df-ur 13420  df-srg 13424  df-ring 13458  df-cring 13459  df-oppr 13528  df-dvdsr 13549  df-rhm 13612  df-nzr 13640  df-subrg 13679  df-domn 13719  df-idom 13720  df-lmod 13749  df-lssm 13813  df-lsp 13847  df-sra 13895  df-rgmod 13896  df-lidl 13929  df-rsp 13930  df-2idl 13960  df-icnfld 14012  df-zring 14037  df-zrh 14059  df-zn 14061
This theorem is referenced by:  znidomb  14103
  Copyright terms: Public domain W3C validator