Theorem znidom 14463

Description: The ℤ/nℤ structure is an integral domain when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Aug-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
znidom	⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)

Proof of Theorem znidom

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 12476	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnnn0 9309	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		zntos.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5	4	zncrng 14451	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ CRing)
7		crngring 13814	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
8	1, 2, 5, 7	4syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Ring)
9		hash2 10964	. . . . . 6 ⊢ (♯‘2o) = 2
10		prmuz2 12497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
11		eluzle 9667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑁)
13		eqid 2206	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
14	4, 13	znhash 14462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
15	1, 14	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
16	12, 15	breqtrrd 4075	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
17	9, 16	eqbrtrid 4082	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
18		2onn 6614	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
19		nnfi 6976	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ Fin
21	4, 13	znfi 14461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
22		fihashdom 10955	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ Fin) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
23	20, 21, 22	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
24	1, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
25	17, 24	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 2o ≼ (Base‘𝑌))
26	13	isnzr2 13990	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
27	8, 25, 26	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ NzRing)
28		eqid 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
29	4, 13, 28	znzrhfo 14454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
30	3, 29	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌))
31		foelrn 5828	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
32		foelrn 5828	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌)) → ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))
33	31, 32	anim12dan 600	. . . . . 6 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→(Base‘𝑌) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
34	30, 33	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
35		reeanv 2677	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) ↔ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
36		euclemma 12512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
37	36	3expb 1207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
38	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑌 ∈ Ring)
39	28	zrhrhm 14429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
41		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑧 ∈ ℤ)
42		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → 𝑤 ∈ ℤ)
43		zringbas 14402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
44		zringmulr 14405	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ · = (.r‘ℤring)
45		eqid 2206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
46	43, 44, 45	rhmmul 13970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
47	40, 41, 42, 46	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
48	47	eqeq1d 2215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌)))
49		zmulcl 9433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ)
50		eqid 2206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
51	4, 28, 50	zndvds0 14456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 · 𝑤) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
52	3, 49, 51	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 · 𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
53	48, 52	bitr3d 190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑧 · 𝑤)))
54	4, 28, 50	zndvds0 14456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑧))
55	3, 41, 54	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑧))
56	4, 28, 50	zndvds0 14456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑤))
57	3, 42, 56	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑤))
58	55, 57	orbi12d 795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)) ↔ (𝑁 ∥ 𝑧 ∨ 𝑁 ∥ 𝑤)))
59	37, 53, 58	3bitr4d 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
60	59	biimpd 144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
61		oveq12 5960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)))
62	61	eqeq1d 2215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌)))
63		eqeq1 2213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌)))
64	63	orbi1d 793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → ((𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
65		eqeq1 2213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → (𝑦 = (0g‘𝑌) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)))
66	65	orbi2d 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
67	64, 66	sylan9bb 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌))))
68	62, 67	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → (((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))) ↔ ((((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) = (0g‘𝑌) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤) = (0g‘𝑌)))))
69	60, 68	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℤ)) → ((𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
70	69	rexlimdvva 2632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
71	35, 70	biimtrrid 153	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → ((∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤)) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
72	71	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (∃𝑧 ∈ ℤ 𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑦 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑤))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
73	34, 72	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑌))) → ((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
74	73	ralrimivva 2589	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌))))
75	13, 45, 50	isdomn 14075	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Domn ↔ (𝑌 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑌)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑌)((𝑥(.r‘𝑌)𝑦) = (0g‘𝑌) → (𝑥 = (0g‘𝑌) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑌)))))
76	27, 74, 75	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Domn)
77		isidom 14082	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
78	6, 76, 77	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486   class class class wbr 4047  ωcom 4642  –onto→wfo 5274  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  2_oc2o 6503   ≼ cdom 6833  Fincfn 6834   · cmul 7937   ≤ cle 8115  ℕcn 9043  2c2 9094  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379  ℤ_≥cuz 9655  ♯chash 10927   ∥ cdvds 12142  ℙcprime 12473  Basecbs 12876  ._rcmulr 12954  0_gc0g 13132  Ringcrg 13802  CRingccrg 13803   RingHom crh 13956  NzRingcnzr 13985  Domncdomn 14062  IDomncidom 14063  ℤ_ringczring 14396  ℤRHomczrh 14417  ℤ/nℤczn 14419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052  ax-addf 8054  ax-mulf 8055

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-tpos 6338  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-frec 6484  df-1o 6509  df-2o 6510  df-oadd 6513  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-map 6744  df-en 6835  df-dom 6836  df-fin 6837  df-sup 7093  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-fl 10420  df-mod 10475  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-ihash 10928  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-dvds 12143  df-gcd 12319  df-prm 12474  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-starv 12968  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-ip 12971  df-tset 12972  df-ple 12973  df-ds 12975  df-unif 12976  df-0g 13134  df-topgen 13136  df-iimas 13178  df-qus 13179  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-mhm 13335  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-sbg 13381  df-mulg 13500  df-subg 13550  df-nsg 13551  df-eqg 13552  df-ghm 13621  df-cmn 13666  df-abl 13667  df-mgp 13727  df-rng 13739  df-ur 13766  df-srg 13770  df-ring 13804  df-cring 13805  df-oppr 13874  df-dvdsr 13895  df-rhm 13958  df-nzr 13986  df-subrg 14025  df-domn 14065  df-idom 14066  df-lmod 14095  df-lssm 14159  df-lsp 14193  df-sra 14241  df-rgmod 14242  df-lidl 14275  df-rsp 14276  df-2idl 14306  df-bl 14352  df-mopn 14353  df-fg 14355  df-metu 14356  df-cnfld 14363  df-zring 14397  df-zrh 14420  df-zn 14422

This theorem is referenced by:  znidomb  14464  lgseisenlem3  15593