ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znunit GIF version

Theorem znunit 14215
Description: The units of ℤ/n are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znchr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑌)
znunit.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znunit ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem znunit
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . 5 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 14201 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
32adantr 276 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ CRing)
4 znunit.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑌)
5 eqid 2196 . . . 4 (1r𝑌) = (1r𝑌)
6 eqid 2196 . . . 4 (∥r𝑌) = (∥r𝑌)
74, 5, 6crngunit 13667 . . 3 (𝑌 ∈ CRing → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌)))
83, 7syl 14 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌)))
9 eqidd 2197 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
10 eqidd 2197 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∥r𝑌) = (∥r𝑌))
11 crngring 13564 . . . 4 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
12 ringsrg 13603 . . . 4 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ SRing)
133, 11, 123syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ SRing)
14 eqidd 2197 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (.r𝑌) = (.r𝑌))
15 eqid 2196 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
16 znunit.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
171, 15, 16znzrhfo 14204 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
1817adantr 276 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
19 fof 5480 . . . . 5 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2018, 19syl 14 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
21 ffvelcdm 5695 . . . 4 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
2220, 21sylancom 420 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
239, 10, 13, 14, 22dvdsr2d 13651 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴)(∥r𝑌)(1r𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
24 forn 5483 . . . . . 6 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
2518, 24syl 14 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
2625rexeqdv 2700 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
27 ffn 5407 . . . . 5 (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
28 oveq1 5929 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐿𝑛) → (𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)))
2928eqeq1d 2205 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐿𝑛) → ((𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
3029rexrn 5699 . . . . 5 (𝐿 Fn ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
3120, 27, 303syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
3226, 31bitr3d 190 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
3316zrhrhm 14179 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
343, 11, 333syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
3534adantr 276 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
36 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
37 simplr 528 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
38 zringbas 14152 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
39 zringmulr 14155 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℤring)
40 eqid 2196 . . . . . . . 8 (.r𝑌) = (.r𝑌)
4138, 39, 40rhmmul 13720 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)))
4235, 36, 37, 41syl3anc 1249 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)))
433, 11syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
4443adantr 276 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
4516, 5zrh1 14180 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r𝑌))
4644, 45syl 14 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘1) = (1r𝑌))
4742, 46eqeq12d 2211 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
48 simpll 527 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4936, 37zmulcld 9454 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
50 1zzd 9353 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
511, 16zndvds 14205 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
5248, 49, 50, 51syl3anc 1249 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
5347, 52bitr3d 190 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
5453rexbidva 2494 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿𝑛)(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
55 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
56 nn0z 9346 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
5756ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
58 gcddvds 12130 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5955, 57, 58syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
6059simpld 112 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴)
6155, 57gcdcld 12135 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
6261nn0zd 9446 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
6336adantrr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
64 dvdsmultr2 11998 . . . . . . . . 9 (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
6562, 63, 55, 64syl3anc 1249 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
6660, 65mpd 13 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴))
6749adantrr 479 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
68 1zzd 9353 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
69 peano2zm 9364 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
7067, 69syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
7159simprd 114 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
72 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
7362, 57, 70, 71, 72dvdstrd 11995 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
74 dvdssub2 12000 . . . . . . . 8 ((((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
7562, 67, 68, 73, 74syl31anc 1252 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
7666, 75mpbid 147 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1)
77 dvds1 12018 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
7861, 77syl 14 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
7976, 78mpbid 147 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
8079rexlimdvaa 2615 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
81 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
8256adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
83 bezout 12178 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
8481, 82, 83syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
85 eqeq1 2203 . . . . . . 7 ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ((𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
86852rexbidv 2522 . . . . . 6 ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
8784, 86syl5ibcom 155 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
8856ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
89 dvdsmul1 11978 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
9088, 89sylancom 420 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
91 zmulcl 9379 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
9288, 91sylancom 420 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
93 dvdsnegb 11973 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
9488, 92, 93syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
9590, 94mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚))
9637adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
9796zcnd 9449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
98 zcn 9331 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
9998ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
10097, 99mulcomd 8048 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑛) = (𝑛 · 𝐴))
101100oveq1d 5937 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
10299, 97mulcld 8047 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
10392zcnd 9449 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
104102, 103subnegd 8344 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
105101, 104eqtr4d 2232 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)))
106105oveq2d 5938 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))))
107103negcld 8324 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -(𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
108102, 107nncand 8342 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
109106, 108eqtrd 2229 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
11095, 109breqtrrd 4061 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
111 oveq2 5930 . . . . . . . . 9 (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
112111breq2d 4045 . . . . . . . 8 (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))))
113110, 112syl5ibrcom 157 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
114113rexlimdva 2614 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
115114reximdva 2599 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
11687, 115syld 45 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
11780, 116impbid 129 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
11832, 54, 1173bitrd 214 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r𝑌)(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
1198, 23, 1183bitrd 214 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2167  wrex 2476   class class class wbr 4033  ran crn 4664   Fn wfn 5253  wf 5254  ontowfo 5256  cfv 5258  (class class class)co 5922  cc 7877  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884  cmin 8197  -cneg 8198  0cn0 9249  cz 9326  cdvds 11952   gcd cgcd 12120  Basecbs 12678  .rcmulr 12756  1rcur 13515  SRingcsrg 13519  Ringcrg 13552  CRingccrg 13553  rcdsr 13642  Unitcui 13643   RingHom crh 13706  ringczring 14146  ℤRHomczrh 14167  ℤ/nczn 14169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-addf 8001  ax-mulf 8002
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-tpos 6303  df-recs 6363  df-frec 6449  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-map 6709  df-sup 7050  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-0g 12929  df-topgen 12931  df-iimas 12945  df-qus 12946  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-mhm 13091  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-mulg 13250  df-subg 13300  df-nsg 13301  df-eqg 13302  df-ghm 13371  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-rng 13489  df-ur 13516  df-srg 13520  df-ring 13554  df-cring 13555  df-oppr 13624  df-dvdsr 13645  df-unit 13646  df-rhm 13708  df-subrg 13775  df-lmod 13845  df-lssm 13909  df-lsp 13943  df-sra 13991  df-rgmod 13992  df-lidl 14025  df-rsp 14026  df-2idl 14056  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113  df-zring 14147  df-zrh 14170  df-zn 14172
This theorem is referenced by:  znrrg  14216  lgseisenlem3  15313
  Copyright terms: Public domain W3C validator