Theorem znunit 14465

Description: The units of ℤ/nℤ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
znunit.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znunit	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem znunit

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znchr.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 14451	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ CRing)
4		znunit.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
5		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
6		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑌) = (∥r‘𝑌)
7	4, 5, 6	crngunit 13917	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌)))
8	3, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌)))
9		eqidd 2207	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
10		eqidd 2207	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∥r‘𝑌) = (∥r‘𝑌))
11		crngring 13814	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
12		ringsrg 13853	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ SRing)
13	3, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ SRing)
14		eqidd 2207	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌))
15		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
16		znunit.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
17	1, 15, 16	znzrhfo 14454	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
18	17	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
19		fof 5505	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
21		ffvelcdm 5720	. . . 4 ⊢ ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
22	20, 21	sylancom 420	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
23	9, 10, 13, 14, 22	dvdsr2d 13901	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
24		forn 5508	. . . . . 6 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
25	18, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
26	25	rexeqdv 2710	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
27		ffn 5431	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
28		oveq1 5958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑛) → (𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
29	28	eqeq1d 2215	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑛) → ((𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
30	29	rexrn 5724	. . . . 5 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
31	20, 27, 30	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
32	26, 31	bitr3d 190	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
33	16	zrhrhm 14429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
34	3, 11, 33	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
36		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
37		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
38		zringbas 14402	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
39		zringmulr 14405	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℤring)
40		eqid 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
41	38, 39, 40	rhmmul 13970	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
42	35, 36, 37, 41	syl3anc 1250	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
43	3, 11	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
44	43	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
45	16, 5	zrh1 14430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
46	44, 45	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
47	42, 46	eqeq12d 2221	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
48		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49	36, 37	zmulcld 9508	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
50		1zzd 9406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
51	1, 16	zndvds 14455	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
53	47, 52	bitr3d 190	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
54	53	rexbidva 2504	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
55		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
56		nn0z 9399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
58		gcddvds 12328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
59	55, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
60	59	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴)
61	55, 57	gcdcld 12333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
62	61	nn0zd 9500	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
63	36	adantrr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
64		dvdsmultr2 12188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
65	62, 63, 55, 64	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
66	60, 65	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴))
67	49	adantrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
68		1zzd 9406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
69		peano2zm 9417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
71	59	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
72		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
73	62, 57, 70, 71, 72	dvdstrd 12185	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
74		dvdssub2 12190	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
75	62, 67, 68, 73, 74	syl31anc 1253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
76	66, 75	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1)
77		dvds1 12208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
78	61, 77	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
79	76, 78	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
80	79	rexlimdvaa 2625	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
81		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
82	56	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
83		bezout 12376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
84	81, 82, 83	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
85		eqeq1 2213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ((𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
86	85	2rexbidv 2532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
87	84, 86	syl5ibcom 155	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
88	56	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
89		dvdsmul1 12168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
90	88, 89	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
91		zmulcl 9433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
92	88, 91	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
93		dvdsnegb 12163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
94	88, 92, 93	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
95	90, 94	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚))
96	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
97	96	zcnd 9503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
98		zcn 9384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
99	98	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
100	97, 99	mulcomd 8101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑛) = (𝑛 · 𝐴))
101	100	oveq1d 5966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
102	99, 97	mulcld 8100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
103	92	zcnd 9503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
104	102, 103	subnegd 8397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
105	101, 104	eqtr4d 2242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)))
106	105	oveq2d 5967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))))
107	103	negcld 8377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -(𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
108	102, 107	nncand 8395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
109	106, 108	eqtrd 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
110	95, 109	breqtrrd 4075	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
111		oveq2 5959	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
112	111	breq2d 4059	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))))
113	110, 112	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
114	113	rexlimdva 2624	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
115	114	reximdva 2609	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
116	87, 115	syld 45	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
117	80, 116	impbid 129	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
118	32, 54, 117	3bitrd 214	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
119	8, 23, 118	3bitrd 214	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486   class class class wbr 4047  ran crn 4680   Fn wfn 5271  ⟶wf 5272  –onto→wfo 5274  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  ℂcc 7930  1c1 7933   + caddc 7935   · cmul 7937   − cmin 8250  -cneg 8251  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379   ∥ cdvds 12142   gcd cgcd 12318  Basecbs 12876  ._rcmulr 12954  1_rcur 13765  SRingcsrg 13769  Ringcrg 13802  CRingccrg 13803  ∥_rcdsr 13892  Unitcui 13893   RingHom crh 13956  ℤ_ringczring 14396  ℤRHomczrh 14417  ℤ/nℤczn 14419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052  ax-addf 8054  ax-mulf 8055

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-tp 3642  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-tpos 6338  df-recs 6398  df-frec 6484  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-map 6744  df-sup 7093  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-z 9380  df-dec 9512  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-fl 10420  df-mod 10475  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-dvds 12143  df-gcd 12319  df-struct 12878  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-starv 12968  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-ip 12971  df-tset 12972  df-ple 12973  df-ds 12975  df-unif 12976  df-0g 13134  df-topgen 13136  df-iimas 13178  df-qus 13179  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-mhm 13335  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-sbg 13381  df-mulg 13500  df-subg 13550  df-nsg 13551  df-eqg 13552  df-ghm 13621  df-cmn 13666  df-abl 13667  df-mgp 13727  df-rng 13739  df-ur 13766  df-srg 13770  df-ring 13804  df-cring 13805  df-oppr 13874  df-dvdsr 13895  df-unit 13896  df-rhm 13958  df-subrg 14025  df-lmod 14095  df-lssm 14159  df-lsp 14193  df-sra 14241  df-rgmod 14242  df-lidl 14275  df-rsp 14276  df-2idl 14306  df-bl 14352  df-mopn 14353  df-fg 14355  df-metu 14356  df-cnfld 14363  df-zring 14397  df-zrh 14420  df-zn 14422

This theorem is referenced by:  znrrg  14466  lgseisenlem3  15593