Theorem znunit 14794

Description: The units of ℤ/nℤ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
znunit.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znunit	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem znunit

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znchr.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 14780	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ CRing)
4		znunit.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
5		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
6		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑌) = (∥r‘𝑌)
7	4, 5, 6	crngunit 14245	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌)))
8	3, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌)))
9		eqidd 2233	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
10		eqidd 2233	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∥r‘𝑌) = (∥r‘𝑌))
11		crngring 14141	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
12		ringsrg 14180	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ SRing)
13	3, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ SRing)
14		eqidd 2233	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌))
15		eqid 2232	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
16		znunit.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
17	1, 15, 16	znzrhfo 14783	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
18	17	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
19		fof 5589	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
21		ffvelcdm 5809	. . . 4 ⊢ ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
22	20, 21	sylancom 420	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
23	9, 10, 13, 14, 22	dvdsr2d 14229	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
24		forn 5592	. . . . . 6 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
25	18, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
26	25	rexeqdv 2747	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
27		ffn 5507	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
28		oveq1 6056	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑛) → (𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
29	28	eqeq1d 2241	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑛) → ((𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
30	29	rexrn 5813	. . . . 5 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
31	20, 27, 30	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
32	26, 31	bitr3d 190	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
33	16	zrhrhm 14758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
34	3, 11, 33	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
36		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
37		simplr 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
38		zringbas 14731	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
39		zringmulr 14734	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℤring)
40		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
41	38, 39, 40	rhmmul 14298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
42	35, 36, 37, 41	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
43	3, 11	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
44	43	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
45	16, 5	zrh1 14759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
46	44, 45	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
47	42, 46	eqeq12d 2247	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
48		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49	36, 37	zmulcld 9702	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
50		1zzd 9600	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
51	1, 16	zndvds 14784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
53	47, 52	bitr3d 190	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
54	53	rexbidva 2539	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
55		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
56		nn0z 9593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
58		gcddvds 12652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
59	55, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
60	59	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴)
61	55, 57	gcdcld 12657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
62	61	nn0zd 9694	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
63	36	adantrr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
64		dvdsmultr2 12512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
65	62, 63, 55, 64	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
66	60, 65	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴))
67	49	adantrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
68		1zzd 9600	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
69		peano2zm 9611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
71	59	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
72		simprr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
73	62, 57, 70, 71, 72	dvdstrd 12509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
74		dvdssub2 12514	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
75	62, 67, 68, 73, 74	syl31anc 1277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
76	66, 75	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1)
77		dvds1 12532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
78	61, 77	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
79	76, 78	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
80	79	rexlimdvaa 2661	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
81		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
82	56	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
83		bezout 12700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
84	81, 82, 83	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
85		eqeq1 2239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ((𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
86	85	2rexbidv 2567	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
87	84, 86	syl5ibcom 155	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
88	56	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
89		dvdsmul1 12492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
90	88, 89	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
91		zmulcl 9627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
92	88, 91	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
93		dvdsnegb 12487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
94	88, 92, 93	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
95	90, 94	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚))
96	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
97	96	zcnd 9697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
98		zcn 9578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
99	98	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
100	97, 99	mulcomd 8291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑛) = (𝑛 · 𝐴))
101	100	oveq1d 6064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
102	99, 97	mulcld 8290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
103	92	zcnd 9697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
104	102, 103	subnegd 8587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
105	101, 104	eqtr4d 2268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)))
106	105	oveq2d 6065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))))
107	103	negcld 8567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -(𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
108	102, 107	nncand 8585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
109	106, 108	eqtrd 2265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
110	95, 109	breqtrrd 4136	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
111		oveq2 6057	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
112	111	breq2d 4120	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))))
113	110, 112	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
114	113	rexlimdva 2660	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
115	114	reximdva 2644	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
116	87, 115	syld 45	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
117	80, 116	impbid 129	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
118	32, 54, 117	3bitrd 214	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
119	8, 23, 118	3bitrd 214	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521   class class class wbr 4108  ran crn 4749   Fn wfn 5346  ⟶wf 5347  –onto→wfo 5349  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8121  1c1 8124   + caddc 8126   · cmul 8128   − cmin 8440  -cneg 8441  ℕ₀cn0 9492  ℤcz 9573   ∥ cdvds 12466   gcd cgcd 12642  Basecbs 13201  ._rcmulr 13280  1_rcur 14092  SRingcsrg 14096  Ringcrg 14129  CRingccrg 14130  ∥_rcdsr 14219  Unitcui 14220   RingHom crh 14284  ℤ_ringczring 14725  ℤRHomczrh 14746  ℤ/nℤczn 14748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243  ax-addf 8245  ax-mulf 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-tpos 6475  df-recs 6535  df-frec 6621  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-map 6883  df-sup 7274  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-fl 10626  df-mod 10681  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-dvds 12467  df-gcd 12643  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-starv 13294  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-unif 13302  df-0g 13460  df-topgen 13462  df-iimas 13504  df-qus 13505  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-mhm 13661  df-grp 13705  df-minusg 13706  df-sbg 13707  df-mulg 13826  df-subg 13876  df-nsg 13877  df-eqg 13878  df-ghm 13947  df-cmn 13992  df-abl 13993  df-mgp 14054  df-rng 14066  df-ur 14093  df-srg 14097  df-ring 14131  df-cring 14132  df-oppr 14201  df-dvdsr 14222  df-unit 14223  df-rhm 14286  df-subrg 14353  df-lmod 14424  df-lssm 14488  df-lsp 14522  df-sra 14570  df-rgmod 14571  df-lidl 14604  df-rsp 14605  df-2idl 14635  df-bl 14681  df-mopn 14682  df-fg 14684  df-metu 14685  df-cnfld 14692  df-zring 14726  df-zrh 14749  df-zn 14751

This theorem is referenced by:  znrrg  14795  lgseisenlem3  15932