Theorem znunit 14291

Description: The units of ℤ/nℤ are the integers coprime to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
znunit.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znunit	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem znunit

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znchr.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 14277	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ CRing)
4		znunit.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑌)
5		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
6		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑌) = (∥r‘𝑌)
7	4, 5, 6	crngunit 13743	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌)))
8	3, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌)))
9		eqidd 2197	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
10		eqidd 2197	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∥r‘𝑌) = (∥r‘𝑌))
11		crngring 13640	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
12		ringsrg 13679	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ SRing)
13	3, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ SRing)
14		eqidd 2197	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌))
15		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
16		znunit.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
17	1, 15, 16	znzrhfo 14280	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
18	17	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
19		fof 5483	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
21		ffvelcdm 5698	. . . 4 ⊢ ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
22	20, 21	sylancom 420	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
23	9, 10, 13, 14, 22	dvdsr2d 13727	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴)(∥r‘𝑌)(1r‘𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
24		forn 5486	. . . . . 6 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
25	18, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
26	25	rexeqdv 2700	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
27		ffn 5410	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) → 𝐿 Fn ℤ)
28		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑛) → (𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
29	28	eqeq1d 2205	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐿‘𝑛) → ((𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
30	29	rexrn 5702	. . . . 5 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
31	20, 27, 30	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
32	26, 31	bitr3d 190	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
33	16	zrhrhm 14255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
34	3, 11, 33	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
36		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
37		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
38		zringbas 14228	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
39		zringmulr 14231	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘ℤring)
40		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
41	38, 39, 40	rhmmul 13796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
42	35, 36, 37, 41	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)))
43	3, 11	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
44	43	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ Ring)
45	16, 5	zrh1 14256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
46	44, 45	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
47	42, 46	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
48		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49	36, 37	zmulcld 9471	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
50		1zzd 9370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
51	1, 16	zndvds 14281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
52	48, 49, 50, 51	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑛 · 𝐴)) = (𝐿‘1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
53	47, 52	bitr3d 190	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
54	53	rexbidva 2494	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((𝐿‘𝑛)(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
55		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
56		nn0z 9363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
57	56	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
58		gcddvds 12155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
59	55, 57, 58	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
60	59	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴)
61	55, 57	gcdcld 12160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
62	61	nn0zd 9463	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
63	36	adantrr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
64		dvdsmultr2 12015	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
65	62, 63, 55, 64	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝐴 → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴)))
66	60, 65	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴))
67	49	adantrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ)
68		1zzd 9370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
69		peano2zm 9381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
70	67, 69	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) ∈ ℤ)
71	59	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
72		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
73	62, 57, 70, 71, 72	dvdstrd 12012	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))
74		dvdssub2 12017	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
75	62, 67, 68, 73, 74	syl31anc 1252	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ (𝑛 · 𝐴) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1))
76	66, 75	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1)
77		dvds1 12035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
78	61, 77	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → ((𝐴 gcd 𝑁) ∥ 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
79	76, 78	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1))) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
80	79	rexlimdvaa 2615	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
81		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
82	56	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
83		bezout 12203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
84	81, 82, 83	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))
85		eqeq1 2203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ((𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
86	85	2rexbidv 2522	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝑁) = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
87	84, 86	syl5ibcom 155	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
88	56	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
89		dvdsmul1 11995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
90	88, 89	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚))
91		zmulcl 9396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
92	88, 91	sylancom 420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ)
93		dvdsnegb 11990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 · 𝑚) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
94	88, 92, 93	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑁 · 𝑚) ↔ 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚)))
95	90, 94	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ -(𝑁 · 𝑚))
96	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
97	96	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
98		zcn 9348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
99	98	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
100	97, 99	mulcomd 8065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑛) = (𝑛 · 𝐴))
101	100	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
102	99, 97	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
103	92	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
104	102, 103	subnegd 8361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) + (𝑁 · 𝑚)))
105	101, 104	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) = ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚)))
106	105	oveq2d 5941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))))
107	103	negcld 8341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -(𝑁 · 𝑚) ∈ ℂ)
108	102, 107	nncand 8359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝑛 · 𝐴) − -(𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
109	106, 108	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))) = -(𝑁 · 𝑚))
110	95, 109	breqtrrd 4062	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
111		oveq2 5933	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ((𝑛 · 𝐴) − 1) = ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚))))
112	111	breq2d 4046	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → (𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)))))
113	110, 112	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
114	113	rexlimdva 2614	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
115	114	reximdva 2599	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℤ 1 = ((𝐴 · 𝑛) + (𝑁 · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
116	87, 115	syld 45	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝑁) = 1 → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1)))
117	80, 116	impbid 129	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑁 ∥ ((𝑛 · 𝐴) − 1) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
118	32, 54, 117	3bitrd 214	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑌)(𝑥(.r‘𝑌)(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
119	8, 23, 118	3bitrd 214	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   class class class wbr 4034  ran crn 4665   Fn wfn 5254  ⟶wf 5255  –onto→wfo 5257  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  1c1 7897   + caddc 7899   · cmul 7901   − cmin 8214  -cneg 8215  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343   ∥ cdvds 11969   gcd cgcd 12145  Basecbs 12703  ._rcmulr 12781  1_rcur 13591  SRingcsrg 13595  Ringcrg 13628  CRingccrg 13629  ∥_rcdsr 13718  Unitcui 13719   RingHom crh 13782  ℤ_ringczring 14222  ℤRHomczrh 14243  ℤ/nℤczn 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-tpos 6312  df-recs 6372  df-frec 6458  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-map 6718  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-starv 12795  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-unif 12803  df-0g 12960  df-topgen 12962  df-iimas 13004  df-qus 13005  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-mhm 13161  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-sbg 13207  df-mulg 13326  df-subg 13376  df-nsg 13377  df-eqg 13378  df-ghm 13447  df-cmn 13492  df-abl 13493  df-mgp 13553  df-rng 13565  df-ur 13592  df-srg 13596  df-ring 13630  df-cring 13631  df-oppr 13700  df-dvdsr 13721  df-unit 13722  df-rhm 13784  df-subrg 13851  df-lmod 13921  df-lssm 13985  df-lsp 14019  df-sra 14067  df-rgmod 14068  df-lidl 14101  df-rsp 14102  df-2idl 14132  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-fg 14181  df-metu 14182  df-cnfld 14189  df-zring 14223  df-zrh 14246  df-zn 14248

This theorem is referenced by:  znrrg  14292  lgseisenlem3  15397