Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geolim2 GIF version

Theorem geolim2 11288
 Description: The partial sums in the geometric series 𝐴↑𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1)... converge to ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim2.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
geolim2.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
Assertion
Ref Expression
geolim2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim2
Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2139 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 geolim2.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
32nn0zd 9178 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 geolim2.4 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
5 geolim.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
65adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 eluznn0 9400 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82, 7sylan 281 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
96, 8expcld 10431 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
10 eluzelz 9342 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
1110adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
12 0red 7774 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
133adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
1413zred 9180 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
1511zred 9180 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
162nn0ge0d 9040 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
1716adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ 𝑀)
18 eluzle 9345 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑥)
1918adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑥)
2012, 14, 15, 17, 19letrd 7893 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ 𝑥)
21 elnn0z 9074 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2211, 20, 21sylanbrc 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
235adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2423, 22expcld 10431 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
25 oveq2 5782 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑥))
26 eqid 2139 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
2725, 26fvmptg 5497 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑥) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑥) = (𝐴𝑥))
2822, 24, 27syl2anc 408 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑥) = (𝐴𝑥))
2928, 24eqeltrd 2216 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑥) ∈ ℂ)
30 oveq2 5782 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
3130, 26fvmptg 5497 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
328, 9, 31syl2anc 408 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
3332, 4eqtr4d 2175 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
34 addcl 7752 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3534adantl 275 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
363, 29, 33, 35seq3feq 10252 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) = seq𝑀( + , 𝐹))
37 seqex 10227 . . . . . 6 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ V
38 ax-1cn 7720 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
39 subcl 7968 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
4038, 5, 39sylancr 410 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
41 1cnd 7789 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
42 1red 7788 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
43 geolim.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
445, 42, 43absltap 11285 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 # 1)
45 apsym 8375 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
465, 41, 45syl2anc 408 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
4744, 46mpbid 146 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 # 𝐴)
4841, 5, 47subap0d 8413 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐴) # 0)
4940, 48recclapd 8548 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
50 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
515adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5251, 50expcld 10431 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
53 oveq2 5782 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑗))
5453, 26fvmptg 5497 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
5550, 52, 54syl2anc 408 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
565, 43, 55geolim 11287 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
57 breldmg 4745 . . . . . 6 ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ V ∧ (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
5837, 49, 56, 57mp3an2i 1320 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
59 nn0uz 9367 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
60 expcl 10318 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
615, 60sylan 281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
6255, 61eqeltrd 2216 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
6359, 2, 62iserex 11115 . . . . 5 (𝜑 → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
6458, 63mpbid 146 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
6536, 64eqeltrrd 2217 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
661, 3, 4, 9, 65isumclim2 11198 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘))
67 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
685adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6968, 67expcld 10431 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
7067, 69, 31syl2anc 408 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
71 expcl 10318 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
725, 71sylan 281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
7359, 1, 2, 70, 72, 58isumsplit 11267 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)))
74 0zd 9073 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
7559, 74, 70, 72, 56isumclim 11197 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
7673, 75eqtr3d 2174 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) = (1 / (1 − 𝐴)))
775, 44, 2geoserap 11283 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)))
7877oveq1d 5789 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) = (((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)))
7976, 78eqtr3d 2174 . . . 4 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = (((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)))
8079oveq1d 5789 . . 3 (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))))
815, 2expcld 10431 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
82 subcl 7968 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴𝑀)) ∈ ℂ)
8338, 81, 82sylancr 410 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (𝐴𝑀)) ∈ ℂ)
8441, 83, 40, 48divsubdirapd 8597 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))))
85 nncan 7998 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (1 − (𝐴𝑀))) = (𝐴𝑀))
8638, 81, 85sylancr 410 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (1 − (𝐴𝑀))) = (𝐴𝑀))
8786oveq1d 5789 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
8884, 87eqtr3d 2174 . . 3 (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
8983, 40, 48divclapd 8557 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
901, 3, 32, 9, 64isumcl 11201 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9189, 90pncan2d 8082 . . 3 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘))
9280, 88, 913eqtr3rd 2181 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘) = ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
9366, 92breqtrd 3954 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  dom cdm 4539  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   < clt 7807   ≤ cle 7808   − cmin 7940   # cap 8350   / cdiv 8439  ℕ0cn0 8984  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333  ...cfz 9797  seqcseq 10225  ↑cexp 10299  abscabs 10776   ⇝ cli 11054  Σcsu 11129 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130 This theorem is referenced by:  geoisum1  11295  geoisum1c  11296  trilpolemisumle  13284
 Copyright terms: Public domain W3C validator