Theorem geolim2 10967

Description: The partial sums in the geometric series 𝐴↑𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1)... converge to ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
geolim2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
geolim2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim2

Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2089	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		geolim2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 8927	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		geolim2.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
5		geolim.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		eluznn0 9147	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	2, 7	sylan 278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	6, 8	expcld 10147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
10		eluzelz 9089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	adantl 272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
12		0red 7550	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
13	3	adantr 271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13	zred 8929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
15	11	zred 8929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	2	nn0ge0d 8790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
17	16	adantr 271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 ≤ 𝑀)
18		eluzle 9092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
19	18	adantl 272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
20	12, 14, 15, 17, 19	letrd 7668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 ≤ 𝑥)
21		elnn0z 8824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
22	11, 20, 21	sylanbrc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
23	5	adantr 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	23, 22	expcld 10147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ)
25		oveq2 5674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑥))
26		eqid 2089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
27	25, 26	fvmptg 5393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑥) = (𝐴↑𝑥))
28	22, 24, 27	syl2anc 404	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑥) = (𝐴↑𝑥))
29	28, 24	eqeltrd 2165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑥) ∈ ℂ)
30		oveq2 5674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
31	30, 26	fvmptg 5393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
32	8, 9, 31	syl2anc 404	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
33	32, 4	eqtr4d 2124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
34		addcl 7528	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
35	34	adantl 272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
36	3, 29, 33, 35	seq3feq 9958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) = seq𝑀( + , 𝐹))
37		seqex 9918	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V
38		ax-1cn 7499	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		subcl 7742	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
40	38, 5, 39	sylancr 406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
41		1cnd 7565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
42		1red 7564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
43		geolim.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
44	5, 42, 43	absltap 10964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
45		apsym 8144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
46	5, 41, 45	syl2anc 404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
47	44, 46	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 # 𝐴)
48	41, 5, 47	subap0d 8180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) # 0)
49	40, 48	recclapd 8309	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
50		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
51	5	adantr 271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	51, 50	expcld 10147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
53		oveq2 5674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑗))
54	53, 26	fvmptg 5393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
55	50, 52, 54	syl2anc 404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
56	5, 43, 55	geolim 10966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
57		breldmg 4655	. . . . . 6 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V ∧ (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
58	37, 49, 56, 57	mp3an2i 1279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
59		nn0uz 9114	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
60		expcl 10034	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
61	5, 60	sylan 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
62	55, 61	eqeltrd 2165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
63	59, 2, 62	iserex 10788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
64	58, 63	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
65	36, 64	eqeltrrd 2166	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
66	1, 3, 4, 9, 65	isumclim2 10877	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘))
67		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
68	5	adantr 271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	68, 67	expcld 10147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
70	67, 69, 31	syl2anc 404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
71		expcl 10034	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
72	5, 71	sylan 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
73	59, 1, 2, 70, 72, 58	isumsplit 10946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
74		0zd 8823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
75	59, 74, 70, 72, 56	isumclim 10876	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
76	73, 75	eqtr3d 2123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) = (1 / (1 − 𝐴)))
77	5, 44, 2	geoserap 10962	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)))
78	77	oveq1d 5681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) = (((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
79	76, 78	eqtr3d 2123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = (((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
80	79	oveq1d 5681	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))))
81	5, 2	expcld 10147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
82		subcl 7742	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑𝑀)) ∈ ℂ)
83	38, 81, 82	sylancr 406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝐴↑𝑀)) ∈ ℂ)
84	41, 83, 40, 48	divsubdirapd 8358	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))))
85		nncan 7772	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) = (𝐴↑𝑀))
86	38, 81, 85	sylancr 406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) = (𝐴↑𝑀))
87	86	oveq1d 5681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
88	84, 87	eqtr3d 2123	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
89	83, 40, 48	divclapd 8318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
90	1, 3, 32, 9, 64	isumcl 10880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
91	89, 90	pncan2d 7856	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘))
92	80, 88, 91	3eqtr3rd 2130	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
93	66, 92	breqtrd 3875	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  Vcvv 2620   class class class wbr 3851   ↦ cmpt 3905  dom cdm 4452  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  ℂcc 7409  0cc0 7411  1c1 7412   + caddc 7414   < clt 7583   ≤ cle 7584   − cmin 7714   # cap 8119   / cdiv 8200  ℕ₀cn0 8734  ℤcz 8811  ℤ_≥cuz 9080  ...cfz 9485  seqcseq 9913  ↑cexp 10015  abscabs 10491   ⇝ cli 10727  Σcsu 10803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-isom 5037  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-frec 6170  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513  df-fin 6514  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-rp 9196  df-fz 9486  df-fzo 9615  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-ihash 10245  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728  df-isum 10804

This theorem is referenced by:  geoisum1  10974  geoisum1c  10975