Theorem geolim2 12096

Description: The partial sums in the geometric series 𝐴↑𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1)... converge to ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
geolim2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
geolim2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim2

Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2230	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		geolim2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9605	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		geolim2.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
5		geolim.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		eluznn0 9838	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	2, 7	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	6, 8	expcld 10941	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
10		eluzelz 9770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
12		0red 8185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
13	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13	zred 9607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
15	11	zred 9607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
16	2	nn0ge0d 9463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
17	16	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 ≤ 𝑀)
18		eluzle 9773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
20	12, 14, 15, 17, 19	letrd 8308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 0 ≤ 𝑥)
21		elnn0z 9497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
22	11, 20, 21	sylanbrc 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
23	5	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	23, 22	expcld 10941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ)
25		oveq2 6031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑥))
26		eqid 2230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
27	25, 26	fvmptg 5725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑥) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑥) = (𝐴↑𝑥))
28	22, 24, 27	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑥) = (𝐴↑𝑥))
29	28, 24	eqeltrd 2307	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑥) ∈ ℂ)
30		oveq2 6031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
31	30, 26	fvmptg 5725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
32	8, 9, 31	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
33	32, 4	eqtr4d 2266	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
34		addcl 8162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
35	34	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
36	3, 29, 33, 35	seq3feq 10748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) = seq𝑀( + , 𝐹))
37		seqex 10717	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V
38		ax-1cn 8130	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		subcl 8383	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
40	38, 5, 39	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
41		1cnd 8200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
42		1red 8199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
43		geolim.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
44	5, 42, 43	absltap 12093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
45		apsym 8791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
46	5, 41, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
47	44, 46	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 # 𝐴)
48	41, 5, 47	subap0d 8829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) # 0)
49	40, 48	recclapd 8966	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
50		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
51	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	51, 50	expcld 10941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
53		oveq2 6031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑗))
54	53, 26	fvmptg 5725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
55	50, 52, 54	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
56	5, 43, 55	geolim 12095	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
57		breldmg 4939	. . . . . 6 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V ∧ (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
58	37, 49, 56, 57	mp3an2i 1378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
59		nn0uz 9796	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
60		expcl 10825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
61	5, 60	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
62	55, 61	eqeltrd 2307	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
63	59, 2, 62	iserex 11922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
64	58, 63	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
65	36, 64	eqeltrrd 2308	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
66	1, 3, 4, 9, 65	isumclim2 12006	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘))
67		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
68	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	68, 67	expcld 10941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
70	67, 69, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
71		expcl 10825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
72	5, 71	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
73	59, 1, 2, 70, 72, 58	isumsplit 12075	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
74		0zd 9496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
75	59, 74, 70, 72, 56	isumclim 12005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
76	73, 75	eqtr3d 2265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) = (1 / (1 − 𝐴)))
77	5, 44, 2	geoserap 12091	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)))
78	77	oveq1d 6038	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) = (((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
79	76, 78	eqtr3d 2265	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = (((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
80	79	oveq1d 6038	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))))
81	5, 2	expcld 10941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
82		subcl 8383	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑𝑀)) ∈ ℂ)
83	38, 81, 82	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝐴↑𝑀)) ∈ ℂ)
84	41, 83, 40, 48	divsubdirapd 9015	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))))
85		nncan 8413	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) = (𝐴↑𝑀))
86	38, 81, 85	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) = (𝐴↑𝑀))
87	86	oveq1d 6038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
88	84, 87	eqtr3d 2265	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
89	83, 40, 48	divclapd 8975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
90	1, 3, 32, 9, 64	isumcl 12009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
91	89, 90	pncan2d 8497	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘))
92	80, 88, 91	3eqtr3rd 2272	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
93	66, 92	breqtrd 4115	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   class class class wbr 4089   ↦ cmpt 4151  dom cdm 4727  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  0cc0 8037  1c1 8038   + caddc 8040   < clt 8219   ≤ cle 8220   − cmin 8355   # cap 8766   / cdiv 8857  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760  ...cfz 10248  seqcseq 10715  ↑cexp 10806  abscabs 11580   ⇝ cli 11861  Σcsu 11936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-frec 6562  df-1o 6587  df-oadd 6591  df-er 6707  df-en 6915  df-dom 6916  df-fin 6917  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-ihash 11044  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-clim 11862  df-sumdc 11937

This theorem is referenced by:  geoisum1  12103  geoisum1c  12104  trilpolemisumle  16709