ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geolim2 GIF version

Theorem geolim2 11504
Description: The partial sums in the geometric series 𝐴𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1)... converge to ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim2.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
geolim2.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
Assertion
Ref Expression
geolim2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim2
Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 geolim2.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
32nn0zd 9362 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 geolim2.4 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
5 geolim.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
65adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 eluznn0 9588 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82, 7sylan 283 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
96, 8expcld 10639 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
10 eluzelz 9526 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
1110adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ ℤ)
12 0red 7949 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
133adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
1413zred 9364 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
1511zred 9364 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ ℝ)
162nn0ge0d 9221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
1716adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ 𝑀)
18 eluzle 9529 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑥)
1918adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑥)
2012, 14, 15, 17, 19letrd 8071 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ 𝑥)
21 elnn0z 9255 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2211, 20, 21sylanbrc 417 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
235adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2423, 22expcld 10639 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
25 oveq2 5877 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑥))
26 eqid 2177 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
2725, 26fvmptg 5588 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑥) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑥) = (𝐴𝑥))
2822, 24, 27syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑥) = (𝐴𝑥))
2928, 24eqeltrd 2254 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑥) ∈ ℂ)
30 oveq2 5877 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
3130, 26fvmptg 5588 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
328, 9, 31syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
3332, 4eqtr4d 2213 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
34 addcl 7927 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3534adantl 277 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
363, 29, 33, 35seq3feq 10458 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) = seq𝑀( + , 𝐹))
37 seqex 10433 . . . . . 6 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ V
38 ax-1cn 7895 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
39 subcl 8146 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
4038, 5, 39sylancr 414 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
41 1cnd 7964 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
42 1red 7963 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
43 geolim.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
445, 42, 43absltap 11501 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 # 1)
45 apsym 8553 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
465, 41, 45syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
4744, 46mpbid 147 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 # 𝐴)
4841, 5, 47subap0d 8591 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐴) # 0)
4940, 48recclapd 8727 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
50 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
515adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5251, 50expcld 10639 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
53 oveq2 5877 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑗))
5453, 26fvmptg 5588 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑗) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
5550, 52, 54syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
565, 43, 55geolim 11503 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
57 breldmg 4829 . . . . . 6 ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ V ∧ (1 / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
5837, 49, 56, 57mp3an2i 1342 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
59 nn0uz 9551 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
60 expcl 10524 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
615, 60sylan 283 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
6255, 61eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
6359, 2, 62iserex 11331 . . . . 5 (𝜑 → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
6458, 63mpbid 147 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
6536, 64eqeltrrd 2255 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
661, 3, 4, 9, 65isumclim2 11414 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘))
67 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
685adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6968, 67expcld 10639 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
7067, 69, 31syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
71 expcl 10524 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
725, 71sylan 283 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
7359, 1, 2, 70, 72, 58isumsplit 11483 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)))
74 0zd 9254 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
7559, 74, 70, 72, 56isumclim 11413 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
7673, 75eqtr3d 2212 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) = (1 / (1 − 𝐴)))
775, 44, 2geoserap 11499 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)))
7877oveq1d 5884 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) = (((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)))
7976, 78eqtr3d 2212 . . . 4 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = (((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)))
8079oveq1d 5884 . . 3 (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))))
815, 2expcld 10639 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
82 subcl 8146 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴𝑀)) ∈ ℂ)
8338, 81, 82sylancr 414 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (𝐴𝑀)) ∈ ℂ)
8441, 83, 40, 48divsubdirapd 8776 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))))
85 nncan 8176 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (1 − (𝐴𝑀))) = (𝐴𝑀))
8638, 81, 85sylancr 414 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (1 − (𝐴𝑀))) = (𝐴𝑀))
8786oveq1d 5884 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
8884, 87eqtr3d 2212 . . 3 (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
8983, 40, 48divclapd 8736 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
901, 3, 32, 9, 64isumcl 11417 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9189, 90pncan2d 8260 . . 3 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘))
9280, 88, 913eqtr3rd 2219 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘) = ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
9366, 92breqtrd 4026 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737   class class class wbr 4000  cmpt 4061  dom cdm 4623  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  0cn0 9165  cz 9242  cuz 9517  ...cfz 9995  seqcseq 10431  cexp 10505  abscabs 10990  cli 11270  Σcsu 11345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346
This theorem is referenced by:  geoisum1  11511  geoisum1c  11512  trilpolemisumle  14442
  Copyright terms: Public domain W3C validator