Theorem pwm1geoserap1 12277

Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwm1geoser.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoser.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
pwm1geoserap1.ap	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)

Assertion

Ref	Expression
pwm1geoserap1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoserap1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwm1geoser.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pwm1geoserap1.ap	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
3		pwm1geoser.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	geoserap 12276	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))
5		eqcom 2240	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))
6		1cnd 8342	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	1, 3	expcld 11113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
8		apsym 8935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
9	1, 6, 8	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
10	2, 9	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 # 𝐴)
11	6, 7, 6, 1, 10	div2subapd 9169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = (((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)))
12	11	eqeq1d 2247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ (((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))
13		peano2cnm 8592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
14	7, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
15		0zd 9658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
16	3	nn0zd 9768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
17		peano2zm 9684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
19	15, 18	fzfigd 10870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
20	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
21		elfznn0 10523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22	21	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23	20, 22	expcld 11113	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
24	19, 23	fsumcl 12169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
25		peano2cnm 8592	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
26	1, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
27	1, 6, 2	subap0d 8973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) # 0)
28	14, 24, 26, 27	divmulap2d 9155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
29	12, 28	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
30	5, 29	bitrid 192	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
31	4, 30	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   · cmul 8184   − cmin 8497   # cap 8910   / cdiv 9003  ℕ₀cn0 9565  ℤcz 9646  ...cfz 10413  ↑cexp 10977  Σcsu 12121

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-ihash 11217  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-clim 12047  df-sumdc 12122

This theorem is used by: (None)