Theorem pwm1geoserap1 12027

Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwm1geoser.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoser.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
pwm1geoserap1.ap	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)

Assertion

Ref	Expression
pwm1geoserap1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoserap1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwm1geoser.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pwm1geoserap1.ap	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
3		pwm1geoser.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	geoserap 12026	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))
5		eqcom 2231	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))
6		1cnd 8170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	1, 3	expcld 10903	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
8		apsym 8761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
9	1, 6, 8	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
10	2, 9	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 # 𝐴)
11	6, 7, 6, 1, 10	div2subapd 8993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = (((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)))
12	11	eqeq1d 2238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ (((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))
13		peano2cnm 8420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
14	7, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
15		0zd 9466	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
16	3	nn0zd 9575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
17		peano2zm 9492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
19	15, 18	fzfigd 10661	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
20	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
21		elfznn0 10318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22	21	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23	20, 22	expcld 10903	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
24	19, 23	fsumcl 11919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
25		peano2cnm 8420	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
26	1, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
27	1, 6, 2	subap0d 8799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) # 0)
28	14, 24, 26, 27	divmulap2d 8979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
29	12, 28	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
30	5, 29	bitrid 192	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
31	4, 30	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  0cc0 8007  1c1 8008   · cmul 8012   − cmin 8325   # cap 8736   / cdiv 8827  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454  ...cfz 10212  ↑cexp 10768  Σcsu 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873

This theorem is referenced by: (None)