ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pwm1geoserap1 GIF version

Theorem pwm1geoserap1 11405
Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
pwm1geoser.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoser.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
pwm1geoserap1.ap (𝜑𝐴 # 1)
Assertion
Ref Expression
pwm1geoserap1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoserap1
StepHypRef Expression
1 pwm1geoser.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pwm1geoserap1.ap . . 3 (𝜑𝐴 # 1)
3 pwm1geoser.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
41, 2, 3geoserap 11404 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)))
5 eqcom 2159 . . 3 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))
6 1cnd 7894 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
71, 3expcld 10551 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
8 apsym 8481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
91, 6, 8syl2anc 409 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
102, 9mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → 1 # 𝐴)
116, 7, 6, 1, 10div2subapd 8710 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = (((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)))
1211eqeq1d 2166 . . . 4 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ (((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
13 peano2cnm 8141 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
147, 13syl 14 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
15 0zd 9179 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
163nn0zd 9284 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
17 peano2zm 9205 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
1816, 17syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
1915, 18fzfigd 10330 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
201adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 elfznn0 10016 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2221adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2320, 22expcld 10551 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2419, 23fsumcl 11297 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ∈ ℂ)
25 peano2cnm 8141 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
261, 25syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
271, 6, 2subap0d 8519 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − 1) # 0)
2814, 24, 26, 27divmulap2d 8697 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
2912, 28bitrd 187 . . 3 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
305, 29syl5bb 191 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
314, 30mpbid 146 1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1335  wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824  cc 7730  0cc0 7732  1c1 7733   · cmul 7737  cmin 8046   # cap 8456   / cdiv 8545  0cn0 9090  cz 9167  ...cfz 9912  cexp 10418  Σcsu 11250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-frec 6338  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-er 6480  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-ihash 10650  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176  df-sumdc 11251
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator