![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > pwm1geoserap1 | GIF version |
Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + ๐ดโ1 + ๐ดโ2 +... + ๐ดโ(๐ โ 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.) |
Ref | Expression |
---|---|
pwm1geoser.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
pwm1geoser.3 | โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
pwm1geoserap1.ap | โข (๐ โ ๐ด # 1) |
Ref | Expression |
---|---|
pwm1geoserap1 | โข (๐ โ ((๐ดโ๐) โ 1) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | pwm1geoser.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | pwm1geoserap1.ap | . . 3 โข (๐ โ ๐ด # 1) | |
3 | pwm1geoser.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โ0) | |
4 | 1, 2, 3 | geoserap 11535 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐) = ((1 โ (๐ดโ๐)) / (1 โ ๐ด))) |
5 | eqcom 2191 | . . 3 โข (ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐) = ((1 โ (๐ดโ๐)) / (1 โ ๐ด)) โ ((1 โ (๐ดโ๐)) / (1 โ ๐ด)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐)) | |
6 | 1cnd 7993 | . . . . . 6 โข (๐ โ 1 โ โ) | |
7 | 1, 3 | expcld 10674 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ดโ๐) โ โ) |
8 | apsym 8583 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โ โง 1 โ โ) โ (๐ด # 1 โ 1 # ๐ด)) | |
9 | 1, 6, 8 | syl2anc 411 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐ด # 1 โ 1 # ๐ด)) |
10 | 2, 9 | mpbid 147 | . . . . . 6 โข (๐ โ 1 # ๐ด) |
11 | 6, 7, 6, 1, 10 | div2subapd 8815 | . . . . 5 โข (๐ โ ((1 โ (๐ดโ๐)) / (1 โ ๐ด)) = (((๐ดโ๐) โ 1) / (๐ด โ 1))) |
12 | 11 | eqeq1d 2198 | . . . 4 โข (๐ โ (((1 โ (๐ดโ๐)) / (1 โ ๐ด)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐) โ (((๐ดโ๐) โ 1) / (๐ด โ 1)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐))) |
13 | peano2cnm 8243 | . . . . . 6 โข ((๐ดโ๐) โ โ โ ((๐ดโ๐) โ 1) โ โ) | |
14 | 7, 13 | syl 14 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ดโ๐) โ 1) โ โ) |
15 | 0zd 9285 | . . . . . . 7 โข (๐ โ 0 โ โค) | |
16 | 3 | nn0zd 9393 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ โ โค) |
17 | peano2zm 9311 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ (๐ โ 1) โ โค) | |
18 | 16, 17 | syl 14 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐ โ 1) โ โค) |
19 | 15, 18 | fzfigd 10451 | . . . . . 6 โข (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โ Fin) |
20 | 1 | adantr 276 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ ๐ด โ โ) |
21 | elfznn0 10134 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โ ๐ โ โ0) | |
22 | 21 | adantl 277 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ ๐ โ โ0) |
23 | 20, 22 | expcld 10674 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ (๐ดโ๐) โ โ) |
24 | 19, 23 | fsumcl 11428 | . . . . 5 โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐) โ โ) |
25 | peano2cnm 8243 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 1) โ โ) | |
26 | 1, 25 | syl 14 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด โ 1) โ โ) |
27 | 1, 6, 2 | subap0d 8621 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด โ 1) # 0) |
28 | 14, 24, 26, 27 | divmulap2d 8801 | . . . 4 โข (๐ โ ((((๐ดโ๐) โ 1) / (๐ด โ 1)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐) โ ((๐ดโ๐) โ 1) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐)))) |
29 | 12, 28 | bitrd 188 | . . 3 โข (๐ โ (((1 โ (๐ดโ๐)) / (1 โ ๐ด)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐) โ ((๐ดโ๐) โ 1) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐)))) |
30 | 5, 29 | bitrid 192 | . 2 โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐) = ((1 โ (๐ดโ๐)) / (1 โ ๐ด)) โ ((๐ดโ๐) โ 1) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐)))) |
31 | 4, 30 | mpbid 147 | 1 โข (๐ โ ((๐ดโ๐) โ 1) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐))) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โ wb 105 = wceq 1364 โ wcel 2160 class class class wbr 4018 (class class class)co 5892 โcc 7829 0cc0 7831 1c1 7832 ยท cmul 7836 โ cmin 8148 # cap 8558 / cdiv 8649 โ0cn0 9196 โคcz 9273 ...cfz 10028 โcexp 10539 ฮฃcsu 11381 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-iinf 4602 ax-cnex 7922 ax-resscn 7923 ax-1cn 7924 ax-1re 7925 ax-icn 7926 ax-addcl 7927 ax-addrcl 7928 ax-mulcl 7929 ax-mulrcl 7930 ax-addcom 7931 ax-mulcom 7932 ax-addass 7933 ax-mulass 7934 ax-distr 7935 ax-i2m1 7936 ax-0lt1 7937 ax-1rid 7938 ax-0id 7939 ax-rnegex 7940 ax-precex 7941 ax-cnre 7942 ax-pre-ltirr 7943 ax-pre-ltwlin 7944 ax-pre-lttrn 7945 ax-pre-apti 7946 ax-pre-ltadd 7947 ax-pre-mulgt0 7948 ax-pre-mulext 7949 ax-arch 7950 ax-caucvg 7951 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4308 df-po 4311 df-iso 4312 df-iord 4381 df-on 4383 df-ilim 4384 df-suc 4386 df-iom 4605 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5234 df-fn 5235 df-f 5236 df-f1 5237 df-fo 5238 df-f1o 5239 df-fv 5240 df-isom 5241 df-riota 5848 df-ov 5895 df-oprab 5896 df-mpo 5897 df-1st 6160 df-2nd 6161 df-recs 6325 df-irdg 6390 df-frec 6411 df-1o 6436 df-oadd 6440 df-er 6554 df-en 6760 df-dom 6761 df-fin 6762 df-pnf 8014 df-mnf 8015 df-xr 8016 df-ltxr 8017 df-le 8018 df-sub 8150 df-neg 8151 df-reap 8552 df-ap 8559 df-div 8650 df-inn 8940 df-2 8998 df-3 8999 df-4 9000 df-n0 9197 df-z 9274 df-uz 9549 df-q 9640 df-rp 9674 df-fz 10029 df-fzo 10163 df-seqfrec 10466 df-exp 10540 df-ihash 10776 df-cj 10871 df-re 10872 df-im 10873 df-rsqrt 11027 df-abs 11028 df-clim 11307 df-sumdc 11382 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |