ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pwm1geoserap1 GIF version

Theorem pwm1geoserap1 11536
Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2 +... + ๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
pwm1geoser.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
pwm1geoser.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
pwm1geoserap1.ap (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 1)
Assertion
Ref Expression
pwm1geoserap1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem pwm1geoserap1
StepHypRef Expression
1 pwm1geoser.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 pwm1geoserap1.ap . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 1)
3 pwm1geoser.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
41, 2, 3geoserap 11535 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
5 eqcom 2191 . . 3 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) โ†” ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜))
6 1cnd 7993 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
71, 3expcld 10674 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
8 apsym 8583 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # 1 โ†” 1 # ๐ด))
91, 6, 8syl2anc 411 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด # 1 โ†” 1 # ๐ด))
102, 9mpbid 147 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 # ๐ด)
116, 7, 6, 1, 10div2subapd 8815 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = (((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) / (๐ด โˆ’ 1)))
1211eqeq1d 2198 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” (((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) / (๐ด โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜)))
13 peano2cnm 8243 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
147, 13syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
15 0zd 9285 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
163nn0zd 9393 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
17 peano2zm 9311 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1816, 17syl 14 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1915, 18fzfigd 10451 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
201adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
21 elfznn0 10134 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2221adantl 277 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2320, 22expcld 10674 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2419, 23fsumcl 11428 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
25 peano2cnm 8243 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
261, 25syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
271, 6, 2subap0d 8621 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) # 0)
2814, 24, 26, 27divmulap2d 8801 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) / (๐ด โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜))))
2912, 28bitrd 188 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜))))
305, 29bitrid 192 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) โ†” ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜))))
314, 30mpbid 147 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892  โ„‚cc 7829  0cc0 7831  1c1 7832   ยท cmul 7836   โˆ’ cmin 8148   # cap 8558   / cdiv 8649  โ„•0cn0 9196  โ„คcz 9273  ...cfz 10028  โ†‘cexp 10539  ฮฃcsu 11381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949  ax-arch 7950  ax-caucvg 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-frec 6411  df-1o 6436  df-oadd 6440  df-er 6554  df-en 6760  df-dom 6761  df-fin 6762  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-q 9640  df-rp 9674  df-fz 10029  df-fzo 10163  df-seqfrec 10466  df-exp 10540  df-ihash 10776  df-cj 10871  df-re 10872  df-im 10873  df-rsqrt 11027  df-abs 11028  df-clim 11307  df-sumdc 11382
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator