![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > pwm1geoserap1 | GIF version |
Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + ๐ดโ1 + ๐ดโ2 +... + ๐ดโ(๐ โ 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.) |
Ref | Expression |
---|---|
pwm1geoser.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
pwm1geoser.3 | โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
pwm1geoserap1.ap | โข (๐ โ ๐ด # 1) |
Ref | Expression |
---|---|
pwm1geoserap1 | โข (๐ โ ((๐ดโ๐) โ 1) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | pwm1geoser.1 | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | pwm1geoserap1.ap | . . 3 โข (๐ โ ๐ด # 1) | |
3 | pwm1geoser.3 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โ0) | |
4 | 1, 2, 3 | geoserap 11528 | . 2 โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐) = ((1 โ (๐ดโ๐)) / (1 โ ๐ด))) |
5 | eqcom 2189 | . . 3 โข (ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐) = ((1 โ (๐ดโ๐)) / (1 โ ๐ด)) โ ((1 โ (๐ดโ๐)) / (1 โ ๐ด)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐)) | |
6 | 1cnd 7986 | . . . . . 6 โข (๐ โ 1 โ โ) | |
7 | 1, 3 | expcld 10667 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ดโ๐) โ โ) |
8 | apsym 8576 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โ โง 1 โ โ) โ (๐ด # 1 โ 1 # ๐ด)) | |
9 | 1, 6, 8 | syl2anc 411 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐ด # 1 โ 1 # ๐ด)) |
10 | 2, 9 | mpbid 147 | . . . . . 6 โข (๐ โ 1 # ๐ด) |
11 | 6, 7, 6, 1, 10 | div2subapd 8808 | . . . . 5 โข (๐ โ ((1 โ (๐ดโ๐)) / (1 โ ๐ด)) = (((๐ดโ๐) โ 1) / (๐ด โ 1))) |
12 | 11 | eqeq1d 2196 | . . . 4 โข (๐ โ (((1 โ (๐ดโ๐)) / (1 โ ๐ด)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐) โ (((๐ดโ๐) โ 1) / (๐ด โ 1)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐))) |
13 | peano2cnm 8236 | . . . . . 6 โข ((๐ดโ๐) โ โ โ ((๐ดโ๐) โ 1) โ โ) | |
14 | 7, 13 | syl 14 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ดโ๐) โ 1) โ โ) |
15 | 0zd 9278 | . . . . . . 7 โข (๐ โ 0 โ โค) | |
16 | 3 | nn0zd 9386 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ โ โค) |
17 | peano2zm 9304 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โค โ (๐ โ 1) โ โค) | |
18 | 16, 17 | syl 14 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐ โ 1) โ โค) |
19 | 15, 18 | fzfigd 10444 | . . . . . 6 โข (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โ Fin) |
20 | 1 | adantr 276 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ ๐ด โ โ) |
21 | elfznn0 10127 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (0...(๐ โ 1)) โ ๐ โ โ0) | |
22 | 21 | adantl 277 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ ๐ โ โ0) |
23 | 20, 22 | expcld 10667 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ (0...(๐ โ 1))) โ (๐ดโ๐) โ โ) |
24 | 19, 23 | fsumcl 11421 | . . . . 5 โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐) โ โ) |
25 | peano2cnm 8236 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 1) โ โ) | |
26 | 1, 25 | syl 14 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด โ 1) โ โ) |
27 | 1, 6, 2 | subap0d 8614 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด โ 1) # 0) |
28 | 14, 24, 26, 27 | divmulap2d 8794 | . . . 4 โข (๐ โ ((((๐ดโ๐) โ 1) / (๐ด โ 1)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐) โ ((๐ดโ๐) โ 1) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐)))) |
29 | 12, 28 | bitrd 188 | . . 3 โข (๐ โ (((1 โ (๐ดโ๐)) / (1 โ ๐ด)) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐) โ ((๐ดโ๐) โ 1) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐)))) |
30 | 5, 29 | bitrid 192 | . 2 โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐) = ((1 โ (๐ดโ๐)) / (1 โ ๐ด)) โ ((๐ดโ๐) โ 1) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐)))) |
31 | 4, 30 | mpbid 147 | 1 โข (๐ โ ((๐ดโ๐) โ 1) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐))) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 โ wb 105 = wceq 1363 โ wcel 2158 class class class wbr 4015 (class class class)co 5888 โcc 7822 0cc0 7824 1c1 7825 ยท cmul 7829 โ cmin 8141 # cap 8551 / cdiv 8642 โ0cn0 9189 โคcz 9266 ...cfz 10021 โcexp 10532 ฮฃcsu 11374 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-mulrcl 7923 ax-addcom 7924 ax-mulcom 7925 ax-addass 7926 ax-mulass 7927 ax-distr 7928 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-1rid 7931 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-precex 7934 ax-cnre 7935 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltwlin 7937 ax-pre-lttrn 7938 ax-pre-apti 7939 ax-pre-ltadd 7940 ax-pre-mulgt0 7941 ax-pre-mulext 7942 ax-arch 7943 ax-caucvg 7944 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-isom 5237 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6154 df-2nd 6155 df-recs 6319 df-irdg 6384 df-frec 6405 df-1o 6430 df-oadd 6434 df-er 6548 df-en 6754 df-dom 6755 df-fin 6756 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-xr 8009 df-ltxr 8010 df-le 8011 df-sub 8143 df-neg 8144 df-reap 8545 df-ap 8552 df-div 8643 df-inn 8933 df-2 8991 df-3 8992 df-4 8993 df-n0 9190 df-z 9267 df-uz 9542 df-q 9633 df-rp 9667 df-fz 10022 df-fzo 10156 df-seqfrec 10459 df-exp 10533 df-ihash 10769 df-cj 10864 df-re 10865 df-im 10866 df-rsqrt 11020 df-abs 11021 df-clim 11300 df-sumdc 11375 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |