Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pwm1geoserap1 GIF version

Theorem pwm1geoserap1 11270
 Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
pwm1geoser.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoser.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
pwm1geoserap1.ap (𝜑𝐴 # 1)
Assertion
Ref Expression
pwm1geoserap1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoserap1
StepHypRef Expression
1 pwm1geoser.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pwm1geoserap1.ap . . 3 (𝜑𝐴 # 1)
3 pwm1geoser.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
41, 2, 3geoserap 11269 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)))
5 eqcom 2139 . . 3 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))
6 1cnd 7775 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
71, 3expcld 10417 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
8 apsym 8361 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
91, 6, 8syl2anc 408 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
102, 9mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → 1 # 𝐴)
116, 7, 6, 1, 10div2subapd 8590 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = (((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)))
1211eqeq1d 2146 . . . 4 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ (((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
13 peano2cnm 8021 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
147, 13syl 14 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
15 0zd 9059 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
163nn0zd 9164 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
17 peano2zm 9085 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
1816, 17syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
1915, 18fzfigd 10197 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
201adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 elfznn0 9887 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2221adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2320, 22expcld 10417 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2419, 23fsumcl 11162 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ∈ ℂ)
25 peano2cnm 8021 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
261, 25syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
271, 6, 2subap0d 8399 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − 1) # 0)
2814, 24, 26, 27divmulap2d 8577 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
2912, 28bitrd 187 . . 3 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
305, 29syl5bb 191 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
314, 30mpbid 146 1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  0cc0 7613  1c1 7614   · cmul 7618   − cmin 7926   # cap 8336   / cdiv 8425  ℕ0cn0 8970  ℤcz 9047  ...cfz 9783  ↑cexp 10285  Σcsu 11115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator