ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pwm1geoserap1 GIF version

Theorem pwm1geoserap1 11529
Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2 +... + ๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
pwm1geoser.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
pwm1geoser.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
pwm1geoserap1.ap (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 1)
Assertion
Ref Expression
pwm1geoserap1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem pwm1geoserap1
StepHypRef Expression
1 pwm1geoser.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 pwm1geoserap1.ap . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 1)
3 pwm1geoser.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
41, 2, 3geoserap 11528 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
5 eqcom 2189 . . 3 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) โ†” ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜))
6 1cnd 7986 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
71, 3expcld 10667 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
8 apsym 8576 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # 1 โ†” 1 # ๐ด))
91, 6, 8syl2anc 411 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด # 1 โ†” 1 # ๐ด))
102, 9mpbid 147 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 # ๐ด)
116, 7, 6, 1, 10div2subapd 8808 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = (((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) / (๐ด โˆ’ 1)))
1211eqeq1d 2196 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” (((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) / (๐ด โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜)))
13 peano2cnm 8236 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
147, 13syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
15 0zd 9278 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
163nn0zd 9386 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
17 peano2zm 9304 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1816, 17syl 14 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1915, 18fzfigd 10444 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
201adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
21 elfznn0 10127 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2221adantl 277 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2320, 22expcld 10667 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2419, 23fsumcl 11421 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
25 peano2cnm 8236 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
261, 25syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
271, 6, 2subap0d 8614 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) # 0)
2814, 24, 26, 27divmulap2d 8794 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) / (๐ด โˆ’ 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜))))
2912, 28bitrd 188 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜))))
305, 29bitrid 192 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) โ†” ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜))))
314, 30mpbid 147 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  0cc0 7824  1c1 7825   ยท cmul 7829   โˆ’ cmin 8141   # cap 8551   / cdiv 8642  โ„•0cn0 9189  โ„คcz 9266  ...cfz 10021  โ†‘cexp 10532  ฮฃcsu 11374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator