ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pwm1geoserap1 GIF version

Theorem pwm1geoserap1 11471
Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
pwm1geoser.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoser.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
pwm1geoserap1.ap (𝜑𝐴 # 1)
Assertion
Ref Expression
pwm1geoserap1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoserap1
StepHypRef Expression
1 pwm1geoser.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pwm1geoserap1.ap . . 3 (𝜑𝐴 # 1)
3 pwm1geoser.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
41, 2, 3geoserap 11470 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)))
5 eqcom 2172 . . 3 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))
6 1cnd 7936 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
71, 3expcld 10609 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
8 apsym 8525 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
91, 6, 8syl2anc 409 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
102, 9mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → 1 # 𝐴)
116, 7, 6, 1, 10div2subapd 8755 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = (((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)))
1211eqeq1d 2179 . . . 4 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ (((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
13 peano2cnm 8185 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) ∈ ℂ → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
147, 13syl 14 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) ∈ ℂ)
15 0zd 9224 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
163nn0zd 9332 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
17 peano2zm 9250 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
1816, 17syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
1915, 18fzfigd 10387 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
201adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
21 elfznn0 10070 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2221adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2320, 22expcld 10609 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2419, 23fsumcl 11363 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ∈ ℂ)
25 peano2cnm 8185 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
261, 25syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
271, 6, 2subap0d 8563 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 − 1) # 0)
2814, 24, 26, 27divmulap2d 8741 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
2912, 28bitrd 187 . . 3 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
305, 29syl5bb 191 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))))
314, 30mpbid 146 1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  cc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779  cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589  0cn0 9135  cz 9212  ...cfz 9965  cexp 10475  Σcsu 11316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator