Theorem pwm1geoserap1 11449

Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwm1geoser.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoser.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
pwm1geoserap1.ap	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)

Assertion

Ref	Expression
pwm1geoserap1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoserap1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwm1geoser.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pwm1geoserap1.ap	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
3		pwm1geoser.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	geoserap 11448	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))
5		eqcom 2167	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))
6		1cnd 7915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	1, 3	expcld 10588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
8		apsym 8504	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
9	1, 6, 8	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ 1 # 𝐴))
10	2, 9	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 # 𝐴)
11	6, 7, 6, 1, 10	div2subapd 8734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = (((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)))
12	11	eqeq1d 2174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ (((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))
13		peano2cnm 8164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
14	7, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
15		0zd 9203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
16	3	nn0zd 9311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
17		peano2zm 9229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
19	15, 18	fzfigd 10366	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
20	1	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
21		elfznn0 10049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
22	21	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23	20, 22	expcld 10588	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
24	19, 23	fsumcl 11341	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
25		peano2cnm 8164	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
26	1, 25	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
27	1, 6, 2	subap0d 8542	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) # 0)
28	14, 24, 26, 27	divmulap2d 8720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
29	12, 28	bitrd 187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
30	5, 29	syl5bb 191	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
31	4, 30	mpbid 146	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  0cc0 7753  1c1 7754   · cmul 7758   − cmin 8069   # cap 8479   / cdiv 8568  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191  ...cfz 9944  ↑cexp 10454  Σcsu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by: (None)