Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngnmlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngnmlid 46837
Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e ๐ธ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
2zrngbas.r ๐‘… = (โ„‚fld โ†พs ๐ธ)
2zrngmmgm.1 ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
2zrngnmlid โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ธ (๐‘ ยท ๐‘Ž) โ‰  ๐‘Ž
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ง   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘   ๐‘…,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘ฅ,๐ธ,๐‘ง   ๐‘€,๐‘Ž,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ง)

Proof of Theorem 2zrngnmlid
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . . . 5 ๐ธ = {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)}
212even 46821 . . . 4 2 โˆˆ ๐ธ
32a1i 11 . . 3 (๐‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ 2 โˆˆ ๐ธ)
4 oveq2 7416 . . . . 5 (๐‘Ž = 2 โ†’ (๐‘ ยท ๐‘Ž) = (๐‘ ยท 2))
5 id 22 . . . . 5 (๐‘Ž = 2 โ†’ ๐‘Ž = 2)
64, 5neeq12d 3002 . . . 4 (๐‘Ž = 2 โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘Ž) โ‰  ๐‘Ž โ†” (๐‘ ยท 2) โ‰  2))
76adantl 482 . . 3 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘Ž = 2) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘Ž) โ‰  ๐‘Ž โ†” (๐‘ ยท 2) โ‰  2))
8 elrabi 3677 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)} โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
98zcnd 12666 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ๐‘ง = (2 ยท ๐‘ฅ)} โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
109, 1eleq2s 2851 . . . 4 (๐‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1111neven 46820 . . . . . . . 8 1 โˆ‰ ๐ธ
12 elnelne2 3058 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง 1 โˆ‰ ๐ธ) โ†’ ๐‘ โ‰  1)
1311, 12mpan2 689 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐‘ โ‰  1)
1413adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โ‰  1)
15 simpr 485 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
16 2cnd 12289 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
17 2ne0 12315 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ 2 โ‰  0)
1915, 16, 18divcan4d 11995 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ ยท 2) / 2) = ๐‘)
20 2cnne0 12421 . . . . . . 7 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
21 divid 11900 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ (2 / 2) = 1)
2220, 21mp1i 13 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 / 2) = 1)
2314, 19, 223netr4d 3018 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ ยท 2) / 2) โ‰  (2 / 2))
2415, 16mulcld 11233 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
2520a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
26 div11 11899 . . . . . . . 8 (((๐‘ ยท 2) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ ยท 2) / 2) = (2 / 2) โ†” (๐‘ ยท 2) = 2))
2724, 16, 25, 26syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ ยท 2) / 2) = (2 / 2) โ†” (๐‘ ยท 2) = 2))
2827biimprd 247 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ ยท 2) = 2 โ†’ ((๐‘ ยท 2) / 2) = (2 / 2)))
2928necon3d 2961 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐‘ ยท 2) / 2) โ‰  (2 / 2) โ†’ (๐‘ ยท 2) โ‰  2))
3023, 29mpd 15 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท 2) โ‰  2)
3110, 30mpdan 685 . . 3 (๐‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ (๐‘ ยท 2) โ‰  2)
323, 7, 31rspcedvd 3614 . 2 (๐‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ธ (๐‘ ยท ๐‘Ž) โ‰  ๐‘Ž)
3332rgen 3063 1 โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ธ (๐‘ ยท ๐‘Ž) โ‰  ๐‘Ž
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โˆ‰ wnel 3046  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3432  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   / cdiv 11870  2c2 12266  โ„คcz 12557   โ†พs cress 17172  mulGrpcmgp 19986  โ„‚fldccnfld 20943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558
This theorem is referenced by:  2zrngnring  46840
  Copyright terms: Public domain W3C validator