Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngnmlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngnmlid 48099
Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
2zrngmmgm.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
2zrngnmlid 𝑏𝐸𝑎𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmlid
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . . . 5 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
212even 48083 . . . 4 2 ∈ 𝐸
32a1i 11 . . 3 (𝑏𝐸 → 2 ∈ 𝐸)
4 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑎 = 2 → (𝑏 · 𝑎) = (𝑏 · 2))
5 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 2 → 𝑎 = 2)
64, 5neeq12d 3000 . . . 4 (𝑎 = 2 → ((𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎 ↔ (𝑏 · 2) ≠ 2))
76adantl 481 . . 3 ((𝑏𝐸𝑎 = 2) → ((𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎 ↔ (𝑏 · 2) ≠ 2))
8 elrabi 3690 . . . . . 6 (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
98zcnd 12721 . . . . 5 (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
109, 1eleq2s 2857 . . . 4 (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)
1111neven 48082 . . . . . . . 8 1 ∉ 𝐸
12 elnelne2 3056 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
1311, 12mpan2 691 . . . . . . 7 (𝑏𝐸𝑏 ≠ 1)
1413adantr 480 . . . . . 6 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ≠ 1)
15 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
16 2cnd 12342 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
17 2ne0 12368 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
1915, 16, 18divcan4d 12047 . . . . . 6 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) / 2) = 𝑏)
20 2cnne0 12474 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
21 divid 11951 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 / 2) = 1)
2220, 21mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (2 / 2) = 1)
2314, 19, 223netr4d 3016 . . . . 5 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) / 2) ≠ (2 / 2))
2415, 16mulcld 11279 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏 · 2) ∈ ℂ)
2520a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
26 div11 11948 . . . . . . . 8 (((𝑏 · 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2) ↔ (𝑏 · 2) = 2))
2724, 16, 25, 26syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2) ↔ (𝑏 · 2) = 2))
2827biimprd 248 . . . . . 6 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) = 2 → ((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2)))
2928necon3d 2959 . . . . 5 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (((𝑏 · 2) / 2) ≠ (2 / 2) → (𝑏 · 2) ≠ 2))
3023, 29mpd 15 . . . 4 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏 · 2) ≠ 2)
3110, 30mpdan 687 . . 3 (𝑏𝐸 → (𝑏 · 2) ≠ 2)
323, 7, 31rspcedvd 3624 . 2 (𝑏𝐸 → ∃𝑎𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎)
3332rgen 3061 1 𝑏𝐸𝑎𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wnel 3044  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   / cdiv 11918  2c2 12319  cz 12611  s cress 17274  mulGrpcmgp 20152  fldccnfld 21382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612
This theorem is referenced by:  2zrngnring  48102
  Copyright terms: Public domain W3C validator