Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngnmlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngnmlid 42550
Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
2zrngmmgm.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
2zrngnmlid 𝑏𝐸𝑎𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmlid
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . . . 5 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
212even 42534 . . . 4 2 ∈ 𝐸
32a1i 11 . . 3 (𝑏𝐸 → 2 ∈ 𝐸)
4 oveq2 6850 . . . . 5 (𝑎 = 2 → (𝑏 · 𝑎) = (𝑏 · 2))
5 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 2 → 𝑎 = 2)
64, 5neeq12d 2998 . . . 4 (𝑎 = 2 → ((𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎 ↔ (𝑏 · 2) ≠ 2))
76adantl 473 . . 3 ((𝑏𝐸𝑎 = 2) → ((𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎 ↔ (𝑏 · 2) ≠ 2))
8 elrabi 3514 . . . . . 6 (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
98zcnd 11730 . . . . 5 (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
109, 1eleq2s 2862 . . . 4 (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)
1111neven 42533 . . . . . . . 8 1 ∉ 𝐸
12 elnelne2 3051 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
1311, 12mpan2 682 . . . . . . 7 (𝑏𝐸𝑏 ≠ 1)
1413adantr 472 . . . . . 6 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ≠ 1)
15 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
16 2cnd 11350 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
17 2ne0 11383 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
1915, 16, 18divcan4d 11061 . . . . . 6 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) / 2) = 𝑏)
20 2cnne0 11488 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
21 divid 10968 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 / 2) = 1)
2220, 21mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (2 / 2) = 1)
2314, 19, 223netr4d 3014 . . . . 5 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) / 2) ≠ (2 / 2))
2415, 16mulcld 10314 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏 · 2) ∈ ℂ)
2520a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
26 div11 10967 . . . . . . . 8 (((𝑏 · 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2) ↔ (𝑏 · 2) = 2))
2724, 16, 25, 26syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2) ↔ (𝑏 · 2) = 2))
2827biimprd 239 . . . . . 6 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) = 2 → ((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2)))
2928necon3d 2958 . . . . 5 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (((𝑏 · 2) / 2) ≠ (2 / 2) → (𝑏 · 2) ≠ 2))
3023, 29mpd 15 . . . 4 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏 · 2) ≠ 2)
3110, 30mpdan 678 . . 3 (𝑏𝐸 → (𝑏 · 2) ≠ 2)
323, 7, 31rspcedvd 3468 . 2 (𝑏𝐸 → ∃𝑎𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎)
3332rgen 3069 1 𝑏𝐸𝑎𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wnel 3040  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194   / cdiv 10938  2c2 11327  cz 11624  s cress 16133  mulGrpcmgp 18756  fldccnfld 20019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625
This theorem is referenced by:  2zrngnring  42553
  Copyright terms: Public domain W3C validator