Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngnmlid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngnmlid 43652
Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
2zrngmmgm.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
2zrngnmlid 𝑏𝐸𝑎𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmlid
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . . . 5 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
212even 43636 . . . 4 2 ∈ 𝐸
32a1i 11 . . 3 (𝑏𝐸 → 2 ∈ 𝐸)
4 oveq2 7015 . . . . 5 (𝑎 = 2 → (𝑏 · 𝑎) = (𝑏 · 2))
5 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 2 → 𝑎 = 2)
64, 5neeq12d 3043 . . . 4 (𝑎 = 2 → ((𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎 ↔ (𝑏 · 2) ≠ 2))
76adantl 482 . . 3 ((𝑏𝐸𝑎 = 2) → ((𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎 ↔ (𝑏 · 2) ≠ 2))
8 elrabi 3608 . . . . . 6 (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
98zcnd 11926 . . . . 5 (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
109, 1eleq2s 2899 . . . 4 (𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ)
1111neven 43635 . . . . . . . 8 1 ∉ 𝐸
12 elnelne2 3099 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
1311, 12mpan2 687 . . . . . . 7 (𝑏𝐸𝑏 ≠ 1)
1413adantr 481 . . . . . 6 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ≠ 1)
15 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
16 2cnd 11552 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
17 2ne0 11578 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
1915, 16, 18divcan4d 11259 . . . . . 6 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) / 2) = 𝑏)
20 2cnne0 11684 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
21 divid 11164 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 / 2) = 1)
2220, 21mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (2 / 2) = 1)
2314, 19, 223netr4d 3059 . . . . 5 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) / 2) ≠ (2 / 2))
2415, 16mulcld 10496 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏 · 2) ∈ ℂ)
2520a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
26 div11 11163 . . . . . . . 8 (((𝑏 · 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2) ↔ (𝑏 · 2) = 2))
2724, 16, 25, 26syl3anc 1362 . . . . . . 7 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2) ↔ (𝑏 · 2) = 2))
2827biimprd 249 . . . . . 6 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) = 2 → ((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2)))
2928necon3d 3003 . . . . 5 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (((𝑏 · 2) / 2) ≠ (2 / 2) → (𝑏 · 2) ≠ 2))
3023, 29mpd 15 . . . 4 ((𝑏𝐸𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏 · 2) ≠ 2)
3110, 30mpdan 683 . . 3 (𝑏𝐸 → (𝑏 · 2) ≠ 2)
323, 7, 31rspcedvd 3561 . 2 (𝑏𝐸 → ∃𝑎𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎)
3332rgen 3113 1 𝑏𝐸𝑎𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982  wnel 3088  wral 3103  wrex 3104  {crab 3107  cfv 6217  (class class class)co 7007  cc 10370  0cc0 10372  1c1 10373   · cmul 10377   / cdiv 11134  2c2 11529  cz 11818  s cress 16301  mulGrpcmgp 18917  fldccnfld 20215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-n0 11735  df-z 11819
This theorem is referenced by:  2zrngnring  43655
  Copyright terms: Public domain W3C validator