Theorem 2zrngnmlid 46687

Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngnmlid	⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∃𝑎 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2	1	2even 46671	. . . 4 ⊢ 2 ∈ 𝐸
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 2 ∈ 𝐸)
4		oveq2 7404	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑏 · 𝑎) = (𝑏 · 2))
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → 𝑎 = 2)
6	4, 5	neeq12d 3003	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 2 → ((𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎 ↔ (𝑏 · 2) ≠ 2))
7	6	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑎 = 2) → ((𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎 ↔ (𝑏 · 2) ≠ 2))
8		elrabi 3675	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12654	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
10	9, 1	eleq2s 2852	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
11	1	1neven 46670	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∉ 𝐸
12		elnelne2 3059	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
13	11, 12	mpan2 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ≠ 1)
14	13	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ≠ 1)
15		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
16		2cnd 12277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
17		2ne0 12303	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
19	15, 16, 18	divcan4d 11983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) / 2) = 𝑏)
20		2cnne0 12409	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
21		divid 11888	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 / 2) = 1)
22	20, 21	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 / 2) = 1)
23	14, 19, 22	3netr4d 3019	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) / 2) ≠ (2 / 2))
24	15, 16	mulcld 11221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏 · 2) ∈ ℂ)
25	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
26		div11 11887	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 · 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2) ↔ (𝑏 · 2) = 2))
27	24, 16, 25, 26	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2) ↔ (𝑏 · 2) = 2))
28	27	biimprd 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) = 2 → ((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2)))
29	28	necon3d 2962	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝑏 · 2) / 2) ≠ (2 / 2) → (𝑏 · 2) ≠ 2))
30	23, 29	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏 · 2) ≠ 2)
31	10, 30	mpdan 686	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → (𝑏 · 2) ≠ 2)
32	3, 7, 31	rspcedvd 3613	. 2 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → ∃𝑎 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎)
33	32	rgen 3064	1 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∃𝑎 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∉ wnel 3047  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  ℂcc 11095  0cc0 11097  1c1 11098   · cmul 11102   / cdiv 11858  2c2 12254  ℤcz 12545   ↾_s cress 17160  mulGrpcmgp 19970  ℂ_fldccnfld 20918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-n0 12460  df-z 12546

This theorem is referenced by:  2zrngnring  46690