Theorem 2zrngnmlid 47210

Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngnmlid	⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∃𝑎 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2	1	2even 47194	. . . 4 ⊢ 2 ∈ 𝐸
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 2 ∈ 𝐸)
4		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑏 · 𝑎) = (𝑏 · 2))
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → 𝑎 = 2)
6	4, 5	neeq12d 2996	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 2 → ((𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎 ↔ (𝑏 · 2) ≠ 2))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑎 = 2) → ((𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎 ↔ (𝑏 · 2) ≠ 2))
8		elrabi 3672	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12671	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
10	9, 1	eleq2s 2845	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
11	1	1neven 47193	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∉ 𝐸
12		elnelne2 3052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
13	11, 12	mpan2 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ≠ 1)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ≠ 1)
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
16		2cnd 12294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
17		2ne0 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
19	15, 16, 18	divcan4d 12000	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) / 2) = 𝑏)
20		2cnne0 12426	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
21		divid 11905	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 / 2) = 1)
22	20, 21	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 / 2) = 1)
23	14, 19, 22	3netr4d 3012	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) / 2) ≠ (2 / 2))
24	15, 16	mulcld 11238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏 · 2) ∈ ℂ)
25	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
26		div11 11904	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 · 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2) ↔ (𝑏 · 2) = 2))
27	24, 16, 25, 26	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2) ↔ (𝑏 · 2) = 2))
28	27	biimprd 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) = 2 → ((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2)))
29	28	necon3d 2955	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝑏 · 2) / 2) ≠ (2 / 2) → (𝑏 · 2) ≠ 2))
30	23, 29	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏 · 2) ≠ 2)
31	10, 30	mpdan 684	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → (𝑏 · 2) ≠ 2)
32	3, 7, 31	rspcedvd 3608	. 2 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → ∃𝑎 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎)
33	32	rgen 3057	1 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∃𝑎 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∉ wnel 3040  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  {crab 3426  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   / cdiv 11875  2c2 12271  ℤcz 12562   ↾_s cress 17182  mulGrpcmgp 20039  ℂ_fldccnfld 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563

This theorem is referenced by:  2zrngnring  47213