Theorem 2zrngnmlid 48731

Description: R has no multiplicative (left) identity. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
2zrng.e	⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r	⊢ 𝑅 = (ℂfld ↾s 𝐸)
2zrngmmgm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2zrngnmlid	⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∃𝑎 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧   𝐸,𝑎,𝑏   𝑅,𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑥,𝐸,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngnmlid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2zrng.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2	1	2even 48715	. . . 4 ⊢ 2 ∈ 𝐸
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 2 ∈ 𝐸)
4		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑏 · 𝑎) = (𝑏 · 2))
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → 𝑎 = 2)
6	4, 5	neeq12d 2993	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 2 → ((𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎 ↔ (𝑏 · 2) ≠ 2))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑎 = 2) → ((𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎 ↔ (𝑏 · 2) ≠ 2))
8		elrabi 3630	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12634	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℂ)
10	9, 1	eleq2s 2854	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ∈ ℂ)
11	1	1neven 48714	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∉ 𝐸
12		elnelne2 3048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 1 ∉ 𝐸) → 𝑏 ≠ 1)
13	11, 12	mpan2 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → 𝑏 ≠ 1)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ≠ 1)
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ℂ)
16		2cnd 12259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
17		2ne0 12285	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
19	15, 16, 18	divcan4d 11937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) / 2) = 𝑏)
20		2cnne0 12386	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
21		divid 11840	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 / 2) = 1)
22	20, 21	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 / 2) = 1)
23	14, 19, 22	3netr4d 3009	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) / 2) ≠ (2 / 2))
24	15, 16	mulcld 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏 · 2) ∈ ℂ)
25	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
26		div11 11837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 · 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2) ↔ (𝑏 · 2) = 2))
27	24, 16, 25, 26	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2) ↔ (𝑏 · 2) = 2))
28	27	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑏 · 2) = 2 → ((𝑏 · 2) / 2) = (2 / 2)))
29	28	necon3d 2953	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((𝑏 · 2) / 2) ≠ (2 / 2) → (𝑏 · 2) ≠ 2))
30	23, 29	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐸 ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑏 · 2) ≠ 2)
31	10, 30	mpdan 688	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → (𝑏 · 2) ≠ 2)
32	3, 7, 31	rspcedvd 3566	. 2 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐸 → ∃𝑎 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎)
33	32	rgen 3053	1 ⊢ ∀𝑏 ∈ 𝐸 ∃𝑎 ∈ 𝐸 (𝑏 · 𝑎) ≠ 𝑎

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   / cdiv 11807  2c2 12236  ℤcz 12524   ↾_s cress 17200  mulGrpcmgp 20121  ℂ_fldccnfld 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525

This theorem is referenced by:  2zrngnring  48734