Theorem 2z 12335

Description: 2 is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2z	⊢ 2 ∈ ℤ

Proof of Theorem 2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12029	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12327	1 ⊢ 2 ∈ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  2c2 12011  ℤcz 12302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-z 12303

This theorem is referenced by:  nn0lt2  12366  nn0le2is012  12367  zadd2cl  12416  eluz4eluz2  12607  uzuzle23  12611  2eluzge1  12616  eluz2b1  12641  nn01to3  12663  nn0ge2m1nnALT  12664  ige2m1fz  13328  fz0to3un2pr  13340  fz0to4untppr  13341  fzctr  13350  fzo0to2pr  13453  fzo0to42pr  13455  2tnp1ge0ge0  13530  flhalf  13531  m1modge3gt1  13619  2txmodxeq0  13632  f13idfv  13701  sqrecd  13849  znsqcld  13861  sq1  13893  expnass  13905  sqoddm1div8  13939  bcn2m1  14019  bcn2p1  14020  4bc2eq6  14024  hashtpg  14180  ccat2s1p2  14318  ccat2s1p2OLD  14320  pfxtrcfv0  14388  pfxtrcfvl  14391  eqwrds3  14657  iseraltlem2  15375  iseraltlem3  15376  climcndslem1  15542  climcnds  15544  bpolydiflem  15745  efgt0  15793  tanval3  15824  cos01bnd  15876  cos01gt0  15881  odd2np1  16031  even2n  16032  oddm1even  16033  oddp1even  16034  oexpneg  16035  mod2eq1n2dvds  16037  2tp1odd  16042  2teven  16045  evend2  16047  oddp1d2  16048  ltoddhalfle  16051  opoe  16053  omoe  16054  opeo  16055  omeo  16056  z0even  16057  z2even  16060  z4even  16062  4dvdseven  16063  m1expo  16065  m1exp1  16066  nn0o  16073  sumeven  16077  flodddiv4  16103  bits0e  16117  bits0o  16118  bitsp1e  16120  bitsp1o  16121  bitsfzo  16123  bitsmod  16124  bitscmp  16126  bitsinv1lem  16129  bitsinv1  16130  6gcd4e2  16227  3lcm2e6woprm  16301  lcmf2a3a4e12  16333  isprm3  16369  dvdsnprmd  16376  2prm  16378  2mulprm  16379  oddprmge3  16386  ge2nprmge4  16387  isprm7  16394  divgcdodd  16396  oddprm  16492  pythagtriplem4  16501  pythagtriplem11  16507  pythagtriplem13  16509  iserodd  16517  prmgaplem3  16735  prmgaplem7  16739  dec2dvds  16745  prmlem0  16788  4001lem1  16823  psgnunilem4  19086  efgredleme  19330  lt6abl  19477  ablsimpgfindlem1  19691  ablsimpgfindlem2  19692  zringndrg  20671  znidomb  20750  chfacfscmulfsupp  21989  chfacfpmmulfsupp  21993  minveclem2  24571  minveclem3  24574  pjthlem1  24582  dyaddisjlem  24740  mbfi1fseqlem5  24865  dvrecg  25118  dvexp3  25123  aaliou3lem6  25489  tanregt0  25676  efif1olem4  25682  tanarg  25755  cxpsqrtth  25865  2irrexpq  25866  2logb9irr  25926  2logb9irrALT  25929  sqrt2cxp2logb9e3  25930  cubic2  25979  asinlem3  26002  atantayl2  26069  cxp2limlem  26106  lgamgulmlem3  26161  lgamgulmlem4  26162  basellem2  26212  basellem3  26213  basellem4  26214  basellem5  26215  basellem8  26218  basellem9  26219  ppisval  26234  ppiprm  26281  ppinprm  26282  chtprm  26283  chtnprm  26284  chtdif  26288  ppidif  26293  ppi1  26294  cht1  26295  cht3  26303  ppieq0  26306  ppiublem1  26331  chpeq0  26337  chtub  26341  chpval2  26347  chpub  26349  mersenne  26356  perfect1  26357  perfectlem1  26358  perfectlem2  26359  bposlem1  26413  bposlem2  26414  bposlem3  26415  bposlem5  26417  bposlem6  26418  lgslem1  26426  lgsdir2lem2  26455  lgsdir2  26459  lgsqr  26480  gausslemma2dlem0i  26493  gausslemma2dlem1a  26494  gausslemma2dlem5a  26499  gausslemma2dlem5  26500  gausslemma2dlem6  26501  gausslemma2dlem7  26502  gausslemma2d  26503  lgseisenlem1  26504  lgseisenlem2  26505  lgseisenlem3  26506  lgseisenlem4  26507  lgsquadlem1  26509  lgsquadlem2  26510  lgsquad2lem1  26513  lgsquad2lem2  26514  lgsquad2  26515  lgsquad3  26516  m1lgs  26517  2lgslem1a1  26518  2lgslem1a2  26519  2lgslem1b  26521  2lgslem3b1  26530  2lgslem3c1  26531  2lgs2  26534  2lgs  26536  2lgsoddprmlem2  26538  2lgsoddprmlem3  26543  2lgsoddprm  26545  2sqblem  26560  2sqmod  26565  chebbnd1lem1  26598  chebbnd1lem3  26600  chebbnd1  26601  dchrisum0lem1a  26615  dchrvmasumiflem1  26630  dchrisum0flblem1  26637  dchrisum0flblem2  26638  dchrisum0lem1b  26644  dchrisum0lem1  26645  dchrisum0lem2a  26646  dchrisum0lem2  26647  dchrisum0lem3  26648  mulog2sumlem2  26664  pntlemd  26723  pntlema  26725  pntlemb  26726  pntlemh  26728  pntlemr  26731  pntlemf  26734  pntlemo  26736  istrkg2ld  26802  istrkg3ld  26803  axlowdimlem3  27293  axlowdimlem6  27296  axlowdimlem16  27306  axlowdimlem17  27307  axlowdim  27310  usgrexmpldifpr  27606  usgrexmplef  27607  cusgrsizeindb1  27798  pthdlem1  28113  clwlkclwwlklem2a1  28335  clwlkclwwlklem2fv1  28338  clwlkclwwlklem2fv2  28339  clwlkclwwlklem2a4  28340  clwlkclwwlklem2a  28341  clwwisshclwwslem  28357  eupth2lem3lem3  28573  konigsberglem5  28599  2clwwlk2  28691  numclwwlk2lem1  28719  numclwlk2lem2f  28720  frgrreggt1  28736  ex-fl  28790  ex-mod  28792  ex-hash  28796  ex-dvds  28799  ex-ind-dvds  28804  minvecolem3  29217  pjhthlem1  29732  wrdt2ind  31204  archirngz  31422  archiabllem2c  31428  lmat22det  31751  dya2ub  32216  dya2icoseg  32223  oddpwdc  32300  eulerpartlemd  32312  eulerpartlemt  32317  ballotlem2  32434  signslema  32520  prodfzo03  32562  hgt750leme  32617  tgoldbachgtde  32619  nn0prpwlem  34490  knoppndvlem2  34672  knoppndvlem8  34678  irrdifflemf  35475  poimirlem25  35781  poimirlem26  35782  poimirlem27  35783  poimirlem28  35784  logblebd  39963  lcm2un  40002  lcm3un  40003  lcmineqlem18  40034  lcmineqlem19  40035  lcmineqlem21  40037  lcmineqlem22  40038  3lexlogpow5ineq2  40043  3lexlogpow2ineq1  40046  aks4d1p1p3  40057  aks4d1p1p4  40059  aks4d1p1p6  40061  aks4d1p1p7  40062  aks4d1p1p5  40063  aks4d1p1  40064  aks4d1p3  40066  aks4d1p6  40069  aks4d1p7d1  40070  aks4d1p7  40071  aks4d1p8  40075  aks4d1p9  40076  5bc2eq10  40078  2np3bcnp1  40080  2ap1caineq  40081  flt4lem2  40464  flt4lem5  40467  flt4lem7  40476  nna4b4nsq  40477  acongrep  40782  acongeq  40785  jm2.18  40790  jm2.22  40797  jm2.23  40798  jm2.20nn  40799  jm2.26a  40802  jm2.26  40804  jm2.15nn0  40805  jm2.27a  40807  jm2.27c  40809  rmydioph  40816  jm3.1lem1  40819  jm3.1lem3  40821  expdiophlem1  40823  expdiophlem2  40824  hashnzfz2  41892  sumnnodd  43125  coskpi2  43361  cosknegpi  43364  dvdivbd  43418  stoweidlem26  43521  wallispilem4  43563  wallispi2lem1  43566  wallispi2lem2  43567  wallispi2  43568  stirlinglem1  43569  stirlinglem3  43571  stirlinglem7  43575  stirlinglem8  43576  stirlinglem10  43578  stirlinglem11  43579  stirlinglem15  43583  dirkertrigeqlem1  43593  dirkercncflem2  43599  fourierdlem54  43655  fourierdlem56  43657  fourierdlem57  43658  fourierdlem102  43703  fourierdlem114  43715  fourierswlem  43725  fouriersw  43726  smfmullem4  44279  fmtnorec1  44941  goldbachthlem2  44950  odz2prm2pw  44967  fmtnoprmfac1  44969  fmtnoprmfac2lem1  44970  fmtnoprmfac2  44971  fmtno4prmfac  44976  31prm  45001  sfprmdvdsmersenne  45007  lighneallem1  45009  lighneallem4a  45012  lighneallem4b  45013  lighneallem4  45014  proththdlem  45017  proththd  45018  3exp4mod41  45020  41prothprmlem2  45022  m1expevenALTV  45051  dfeven2  45053  m2even  45058  gcd2odd1  45072  oexpnegALTV  45081  oexpnegnz  45082  2evenALTV  45096  2noddALTV  45097  nn0o1gt2ALTV  45098  nnpw2evenALTV  45106  perfectALTVlem1  45125  perfectALTVlem2  45126  fppr2odd  45135  341fppr2  45138  9fppr8  45141  nfermltl2rev  45147  sbgoldbalt  45185  mogoldbb  45189  nnsum4primesodd  45200  nnsum4primesoddALTV  45201  wtgoldbnnsum4prm  45206  bgoldbnnsum3prm  45208  2even  45443  zlmodzxzequa  45789  zlmodzxznm  45790  zlmodzxzequap  45792  zlmodzxzldeplem1  45793  zlmodzxzldeplem3  45795  zlmodzxzldep  45797  ldepsnlinclem1  45798  ldepsnlinc  45801  pw2m1lepw2m1  45813  fldivexpfllog2  45863  nnlog2ge0lt1  45864  logbpw2m1  45865  fllog2  45866  blennnelnn  45874  blenpw2  45876  nnpw2blenfzo  45879  blennnt2  45887  nnolog2flm1  45888  dig2nn0ld  45902  dig2nn1st  45903  0dig2pr01  45908  0dig2nn0o  45911  ackval42  45994  itsclc0xyqsolr  46067