Theorem 2z 12523

Description: 2 is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2z	⊢ 2 ∈ ℤ

Proof of Theorem 2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12218	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12515	1 ⊢ 2 ∈ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  2c2 12200  ℤcz 12488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-z 12489

This theorem is referenced by:  nn0lt2  12555  nn0le2is012  12556  zadd2cl  12604  2eluzge1  12795  uzuzle23  12797  uzuzle24  12798  eluz2b1  12832  nn01to3  12854  nn0ge2m1nnALT  12855  ige2m1fz  13533  fz0to3un2pr  13545  fz0to4untppr  13546  fz0to5un2tp  13547  fzctr  13556  fzo0to2pr  13666  fzo0to42pr  13669  2tnp1ge0ge0  13749  flhalf  13750  m1modge3gt1  13841  2txmodxeq0  13854  f13idfv  13923  sqrecd  14073  znsqcld  14085  sq1  14118  expnass  14131  sqoddm1div8  14166  bcn2m1  14247  bcn2p1  14248  4bc2eq6  14252  hashtpg  14408  ccat2s1p2  14554  pfxtrcfv0  14617  pfxtrcfvl  14620  eqwrds3  14884  iseraltlem2  15606  iseraltlem3  15607  climcndslem1  15772  climcnds  15774  bpolydiflem  15977  efgt0  16028  tanval3  16059  cos01bnd  16111  cos01gt0  16116  odd2np1  16268  even2n  16269  oddm1even  16270  oddp1even  16271  oexpneg  16272  mod2eq1n2dvds  16274  2tp1odd  16279  2teven  16282  evend2  16284  oddp1d2  16285  ltoddhalfle  16288  opoe  16290  omoe  16291  opeo  16292  omeo  16293  z0even  16294  z2even  16297  z4even  16299  4dvdseven  16300  m1expo  16302  m1exp1  16303  nn0o  16310  sumeven  16314  flodddiv4  16342  bits0e  16356  bits0o  16357  bitsp1e  16359  bitsp1o  16360  bitsfzo  16362  bitsmod  16363  bitscmp  16365  bitsinv1lem  16368  bitsinv1  16369  6gcd4e2  16465  3lcm2e6woprm  16542  lcmf2a3a4e12  16574  isprm3  16610  dvdsnprmd  16617  2prm  16619  2mulprm  16620  oddprmge3  16627  ge2nprmge4  16628  isprm7  16635  divgcdodd  16637  oddprm  16738  pythagtriplem4  16747  pythagtriplem11  16753  pythagtriplem13  16755  iserodd  16763  prmgaplem3  16981  prmgaplem7  16985  dec2dvds  16991  prmlem0  17033  4001lem1  17068  ex-chn1  18560  psgnunilem4  19426  efgredleme  19672  lt6abl  19824  ablsimpgfindlem1  20038  ablsimpgfindlem2  20039  zringndrg  21423  znidomb  21516  chfacfscmulfsupp  22803  chfacfpmmulfsupp  22807  minveclem2  25382  minveclem3  25385  pjthlem1  25393  dyaddisjlem  25552  mbfi1fseqlem5  25676  dvrecg  25933  dvexp3  25938  aaliou3lem6  26312  tanregt0  26504  efif1olem4  26510  tanarg  26584  cxpsqrtth  26695  2irrexpq  26696  2logb9irr  26761  2logb9irrALT  26764  sqrt2cxp2logb9e3  26765  cubic2  26814  asinlem3  26837  atantayl2  26904  cxp2limlem  26942  lgamgulmlem3  26997  lgamgulmlem4  26998  basellem2  27048  basellem3  27049  basellem4  27050  basellem5  27051  basellem8  27054  basellem9  27055  ppisval  27070  ppiprm  27117  ppinprm  27118  chtprm  27119  chtnprm  27120  chtdif  27124  ppidif  27129  ppi1  27130  cht1  27131  cht3  27139  ppieq0  27142  ppiublem1  27169  chpeq0  27175  chtub  27179  chpval2  27185  chpub  27187  mersenne  27194  perfect1  27195  perfectlem1  27196  perfectlem2  27197  bposlem1  27251  bposlem2  27252  bposlem3  27253  bposlem5  27255  bposlem6  27256  lgslem1  27264  lgsdir2lem2  27293  lgsdir2  27297  lgsqr  27318  gausslemma2dlem0i  27331  gausslemma2dlem1a  27332  gausslemma2dlem5a  27337  gausslemma2dlem5  27338  gausslemma2dlem6  27339  gausslemma2dlem7  27340  gausslemma2d  27341  lgseisenlem1  27342  lgseisenlem2  27343  lgseisenlem3  27344  lgseisenlem4  27345  lgsquadlem1  27347  lgsquadlem2  27348  lgsquad2lem1  27351  lgsquad2lem2  27352  lgsquad2  27353  lgsquad3  27354  m1lgs  27355  2lgslem1a1  27356  2lgslem1a2  27357  2lgslem1b  27359  2lgslem3b1  27368  2lgslem3c1  27369  2lgs2  27372  2lgs  27374  2lgsoddprmlem2  27376  2lgsoddprmlem3  27381  2lgsoddprm  27383  2sqblem  27398  2sqmod  27403  chebbnd1lem1  27436  chebbnd1lem3  27438  chebbnd1  27439  dchrisum0lem1a  27453  dchrvmasumiflem1  27468  dchrisum0flblem1  27475  dchrisum0flblem2  27476  dchrisum0lem1b  27482  dchrisum0lem1  27483  dchrisum0lem2a  27484  dchrisum0lem2  27485  dchrisum0lem3  27486  mulog2sumlem2  27502  pntlemd  27561  pntlema  27563  pntlemb  27564  pntlemh  27566  pntlemr  27569  pntlemf  27572  pntlemo  27574  istrkg2ld  28532  istrkg3ld  28533  axlowdimlem3  29017  axlowdimlem6  29020  axlowdimlem16  29030  axlowdimlem17  29031  axlowdim  29034  usgrexmpldifpr  29331  usgrexmplef  29332  cusgrsizeindb1  29524  pthdlem1  29839  clwlkclwwlklem2a1  30067  clwlkclwwlklem2fv1  30070  clwlkclwwlklem2fv2  30071  clwlkclwwlklem2a4  30072  clwlkclwwlklem2a  30073  clwwisshclwwslem  30089  eupth2lem3lem3  30305  konigsberglem5  30331  2clwwlk2  30423  numclwwlk2lem1  30451  numclwlk2lem2f  30452  frgrreggt1  30468  ex-fl  30522  ex-mod  30524  ex-hash  30528  ex-dvds  30531  ex-ind-dvds  30536  minvecolem3  30951  pjhthlem1  31466  wrdt2ind  33035  archirngz  33271  archiabllem2c  33277  evl1deg2  33658  rtelextdg2  33884  constrext2chnlem  33907  constrresqrtcl  33934  2sqr3minply  33937  cos9thpiminplylem2  33940  cos9thpiminplylem5  33943  lmat22det  33979  dya2ub  34427  dya2icoseg  34434  oddpwdc  34511  eulerpartlemd  34523  eulerpartlemt  34528  ballotlem2  34646  signslema  34719  prodfzo03  34760  hgt750leme  34815  tgoldbachgtde  34817  nn0prpwlem  36516  knoppndvlem2  36713  knoppndvlem8  36719  irrdifflemf  37530  poimirlem25  37846  poimirlem26  37847  poimirlem27  37848  poimirlem28  37849  logblebd  42230  lcm2un  42268  lcm3un  42269  lcmineqlem18  42300  lcmineqlem19  42301  lcmineqlem21  42303  lcmineqlem22  42304  3lexlogpow5ineq2  42309  3lexlogpow2ineq1  42312  aks4d1p1p3  42323  aks4d1p1p4  42325  aks4d1p1p6  42327  aks4d1p1p7  42328  aks4d1p1p5  42329  aks4d1p1  42330  aks4d1p3  42332  aks4d1p6  42335  aks4d1p7d1  42336  aks4d1p7  42337  aks4d1p8  42341  aks4d1p9  42342  posbezout  42354  5bc2eq10  42396  2np3bcnp1  42398  2ap1caineq  42399  aks6d1c6lem4  42427  aks6d1c7lem1  42434  aks6d1c7lem2  42435  flt4lem2  42890  flt4lem5  42893  flt4lem7  42902  nna4b4nsq  42903  acongrep  43222  acongeq  43225  jm2.18  43230  jm2.22  43237  jm2.23  43238  jm2.20nn  43239  jm2.26a  43242  jm2.26  43244  jm2.15nn0  43245  jm2.27a  43247  jm2.27c  43249  rmydioph  43256  jm3.1lem1  43259  jm3.1lem3  43261  expdiophlem1  43263  expdiophlem2  43264  hashnzfz2  44562  sumnnodd  45876  coskpi2  46110  cosknegpi  46113  dvdivbd  46167  stoweidlem26  46270  wallispilem4  46312  wallispi2lem1  46315  wallispi2lem2  46316  wallispi2  46317  stirlinglem1  46318  stirlinglem3  46320  stirlinglem7  46324  stirlinglem8  46325  stirlinglem10  46327  stirlinglem11  46328  stirlinglem15  46332  dirkertrigeqlem1  46342  dirkercncflem2  46348  fourierdlem54  46404  fourierdlem56  46406  fourierdlem57  46407  fourierdlem102  46452  fourierdlem114  46464  fourierswlem  46474  fouriersw  46475  smfmullem4  47038  nthrucw  47130  evenwodadd  47131  ceil5half3  47586  addmodne  47590  m1modnep2mod  47598  minusmodnep2tmod  47599  modmkpkne  47607  modmknepk  47608  modm2nep1  47612  modp2nep1  47613  modm1nep2  47614  modm1nem2  47615  fmtnorec1  47783  goldbachthlem2  47792  odz2prm2pw  47809  fmtnoprmfac1  47811  fmtnoprmfac2lem1  47812  fmtnoprmfac2  47813  fmtno4prmfac  47818  31prm  47843  sfprmdvdsmersenne  47849  lighneallem1  47851  lighneallem4a  47854  lighneallem4b  47855  lighneallem4  47856  proththdlem  47859  proththd  47860  3exp4mod41  47862  41prothprmlem2  47864  m1expevenALTV  47893  dfeven2  47895  m2even  47900  gcd2odd1  47914  oexpnegALTV  47923  oexpnegnz  47924  2evenALTV  47938  2noddALTV  47939  nn0o1gt2ALTV  47940  nnpw2evenALTV  47948  perfectALTVlem1  47967  perfectALTVlem2  47968  fppr2odd  47977  341fppr2  47980  9fppr8  47983  nfermltl2rev  47989  sbgoldbalt  48027  mogoldbb  48031  nnsum4primesodd  48042  nnsum4primesoddALTV  48043  wtgoldbnnsum4prm  48048  bgoldbnnsum3prm  48050  gpg5order  48306  gpg5nbgrvtx13starlem2  48318  gpg3nbgrvtx0ALT  48323  gpg3kgrtriexlem5  48333  gpg5gricstgr3  48336  pgnbgreunbgrlem2lem1  48360  pgnbgreunbgrlem2lem2  48361  pgnbgreunbgrlem2lem3  48362  gpg5edgnedg  48376  2even  48485  zlmodzxzequa  48742  zlmodzxznm  48743  zlmodzxzequap  48745  zlmodzxzldeplem1  48746  zlmodzxzldeplem3  48748  zlmodzxzldep  48750  ldepsnlinclem1  48751  ldepsnlinc  48754  pw2m1lepw2m1  48766  fldivexpfllog2  48811  nnlog2ge0lt1  48812  logbpw2m1  48813  fllog2  48814  blennnelnn  48822  blenpw2  48824  nnpw2blenfzo  48827  blennnt2  48835  nnolog2flm1  48836  dig2nn0ld  48850  dig2nn1st  48851  0dig2pr01  48856  0dig2nn0o  48859  ackval42  48942  itsclc0xyqsolr  49015