Theorem 2z 12015

Description: 2 is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2z	⊢ 2 ∈ ℤ

Proof of Theorem 2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11711	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12007	1 ⊢ 2 ∈ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  2c2 11693  ℤcz 11982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-z 11983

This theorem is referenced by:  nn0lt2  12046  nn0le2is012  12047  zadd2cl  12096  eluz4eluz2  12286  uzuzle23  12290  2eluzge1  12295  eluz2b1  12320  nn01to3  12342  nn0ge2m1nnALT  12343  ige2m1fz  12998  fz0to3un2pr  13010  fz0to4untppr  13011  fzctr  13020  fzo0to2pr  13123  fzo0to42pr  13125  2tnp1ge0ge0  13200  flhalf  13201  m1modge3gt1  13287  2txmodxeq0  13300  f13idfv  13369  sqrecd  13515  znsqcld  13527  sq1  13559  expnass  13571  sqoddm1div8  13605  bcn2m1  13685  bcn2p1  13686  4bc2eq6  13690  hashtpg  13844  ccat2s1p2  13986  ccat2s1p2OLD  13988  pfxtrcfv0  14056  pfxtrcfvl  14059  eqwrds3  14325  iseraltlem2  15039  iseraltlem3  15040  climcndslem1  15204  climcnds  15206  bpolydiflem  15408  efgt0  15456  tanval3  15487  cos01bnd  15539  cos01gt0  15544  odd2np1  15690  even2n  15691  oddm1even  15692  oddp1even  15693  oexpneg  15694  mod2eq1n2dvds  15696  2tp1odd  15701  2teven  15704  evend2  15706  oddp1d2  15707  ltoddhalfle  15710  opoe  15712  omoe  15713  opeo  15714  omeo  15715  z0even  15716  n2dvds1OLD  15718  z2even  15720  n2dvds3OLD  15722  z4even  15723  4dvdseven  15724  m1expo  15726  m1exp1  15727  nn0o  15734  sumeven  15738  flodddiv4  15764  bits0e  15778  bits0o  15779  bitsp1e  15781  bitsp1o  15782  bitsfzo  15784  bitsmod  15785  bitscmp  15787  bitsinv1lem  15790  bitsinv1  15791  6gcd4e2  15886  3lcm2e6woprm  15959  lcmf2a3a4e12  15991  isprm3  16027  dvdsnprmd  16034  2prm  16036  2mulprm  16037  oddprmge3  16044  ge2nprmge4  16045  isprm7  16052  divgcdodd  16054  oddprm  16147  pythagtriplem4  16156  pythagtriplem11  16162  pythagtriplem13  16164  iserodd  16172  prmgaplem3  16389  prmgaplem7  16393  dec2dvds  16399  prmlem0  16439  4001lem1  16474  psgnunilem4  18625  efgredleme  18869  lt6abl  19015  ablsimpgfindlem1  19229  ablsimpgfindlem2  19230  zringndrg  20637  znidomb  20708  chfacfscmulfsupp  21467  chfacfpmmulfsupp  21471  minveclem2  24029  minveclem3  24032  pjthlem1  24040  dyaddisjlem  24196  mbfi1fseqlem5  24320  dvrecg  24570  dvexp3  24575  aaliou3lem6  24937  tanregt0  25123  efif1olem4  25129  tanarg  25202  cxpsqrtth  25312  2irrexpq  25313  2logb9irr  25373  2logb9irrALT  25376  sqrt2cxp2logb9e3  25377  cubic2  25426  asinlem3  25449  atantayl2  25516  cxp2limlem  25553  lgamgulmlem3  25608  lgamgulmlem4  25609  basellem2  25659  basellem3  25660  basellem4  25661  basellem5  25662  basellem8  25665  basellem9  25666  ppisval  25681  ppiprm  25728  ppinprm  25729  chtprm  25730  chtnprm  25731  chtdif  25735  ppidif  25740  ppi1  25741  cht1  25742  cht3  25750  ppieq0  25753  ppiublem1  25778  chpeq0  25784  chtub  25788  chpval2  25794  chpub  25796  mersenne  25803  perfect1  25804  perfectlem1  25805  perfectlem2  25806  bposlem1  25860  bposlem2  25861  bposlem3  25862  bposlem5  25864  bposlem6  25865  lgslem1  25873  lgsdir2lem2  25902  lgsdir2  25906  lgsqr  25927  gausslemma2dlem0i  25940  gausslemma2dlem1a  25941  gausslemma2dlem5a  25946  gausslemma2dlem5  25947  gausslemma2dlem6  25948  gausslemma2dlem7  25949  gausslemma2d  25950  lgseisenlem1  25951  lgseisenlem2  25952  lgseisenlem3  25953  lgseisenlem4  25954  lgsquadlem1  25956  lgsquadlem2  25957  lgsquad2lem1  25960  lgsquad2lem2  25961  lgsquad2  25962  lgsquad3  25963  m1lgs  25964  2lgslem1a1  25965  2lgslem1a2  25966  2lgslem1b  25968  2lgslem3b1  25977  2lgslem3c1  25978  2lgs2  25981  2lgs  25983  2lgsoddprmlem2  25985  2lgsoddprmlem3  25990  2lgsoddprm  25992  2sqblem  26007  2sqmod  26012  chebbnd1lem1  26045  chebbnd1lem3  26047  chebbnd1  26048  dchrisum0lem1a  26062  dchrvmasumiflem1  26077  dchrisum0flblem1  26084  dchrisum0flblem2  26085  dchrisum0lem1b  26091  dchrisum0lem1  26092  dchrisum0lem2a  26093  dchrisum0lem2  26094  dchrisum0lem3  26095  mulog2sumlem2  26111  pntlemd  26170  pntlema  26172  pntlemb  26173  pntlemh  26175  pntlemr  26178  pntlemf  26181  pntlemo  26183  istrkg2ld  26246  istrkg3ld  26247  axlowdimlem3  26730  axlowdimlem6  26733  axlowdimlem16  26743  axlowdimlem17  26744  axlowdim  26747  usgrexmpldifpr  27040  usgrexmplef  27041  cusgrsizeindb1  27232  pthdlem1  27547  clwlkclwwlklem2a1  27770  clwlkclwwlklem2fv1  27773  clwlkclwwlklem2fv2  27774  clwlkclwwlklem2a4  27775  clwlkclwwlklem2a  27776  clwwisshclwwslem  27792  eupth2lem3lem3  28009  konigsberglem5  28035  2clwwlk2  28127  numclwwlk2lem1  28155  numclwlk2lem2f  28156  frgrreggt1  28172  ex-fl  28226  ex-mod  28228  ex-hash  28232  ex-dvds  28235  ex-ind-dvds  28240  minvecolem3  28653  pjhthlem1  29168  wrdt2ind  30627  archirngz  30818  archiabllem2c  30824  lmat22det  31087  dya2ub  31528  dya2icoseg  31535  oddpwdc  31612  eulerpartlemd  31624  eulerpartlemt  31629  ballotlem2  31746  signslema  31832  prodfzo03  31874  hgt750leme  31929  tgoldbachgtde  31931  nn0prpwlem  33670  knoppndvlem2  33852  knoppndvlem8  33858  poimirlem25  34932  poimirlem26  34933  poimirlem27  34934  poimirlem28  34935  lcm2un  39135  lcm3un  39136  acongrep  39626  acongeq  39629  jm2.18  39634  jm2.22  39641  jm2.23  39642  jm2.20nn  39643  jm2.26a  39646  jm2.26  39648  jm2.15nn0  39649  jm2.27a  39651  jm2.27c  39653  rmydioph  39660  jm3.1lem1  39663  jm3.1lem3  39665  expdiophlem1  39667  expdiophlem2  39668  hashnzfz2  40702  sumnnodd  41960  coskpi2  42196  cosknegpi  42199  dvdivbd  42257  stoweidlem26  42360  wallispilem4  42402  wallispi2lem1  42405  wallispi2lem2  42406  wallispi2  42407  stirlinglem1  42408  stirlinglem3  42410  stirlinglem7  42414  stirlinglem8  42415  stirlinglem10  42417  stirlinglem11  42418  stirlinglem15  42422  dirkertrigeqlem1  42432  dirkercncflem2  42438  fourierdlem54  42494  fourierdlem56  42496  fourierdlem57  42497  fourierdlem102  42542  fourierdlem114  42554  fourierswlem  42564  fouriersw  42565  smfmullem4  43118  fmtnorec1  43748  goldbachthlem2  43757  odz2prm2pw  43774  fmtnoprmfac1  43776  fmtnoprmfac2lem1  43777  fmtnoprmfac2  43778  fmtno4prmfac  43783  31prm  43809  sfprmdvdsmersenne  43817  lighneallem1  43819  lighneallem4a  43822  lighneallem4b  43823  lighneallem4  43824  proththdlem  43827  proththd  43828  3exp4mod41  43830  41prothprmlem2  43832  m1expevenALTV  43861  dfeven2  43863  m2even  43868  gcd2odd1  43882  oexpnegALTV  43891  oexpnegnz  43892  2evenALTV  43906  2noddALTV  43907  nn0o1gt2ALTV  43908  nnpw2evenALTV  43916  perfectALTVlem1  43935  perfectALTVlem2  43936  fppr2odd  43945  341fppr2  43948  9fppr8  43951  nfermltl2rev  43957  sbgoldbalt  43995  mogoldbb  43999  nnsum4primesodd  44010  nnsum4primesoddALTV  44011  wtgoldbnnsum4prm  44016  bgoldbnnsum3prm  44018  2even  44253  zlmodzxzequa  44600  zlmodzxznm  44601  zlmodzxzequap  44603  zlmodzxzldeplem1  44604  zlmodzxzldeplem3  44606  zlmodzxzldep  44608  ldepsnlinclem1  44609  ldepsnlinc  44612  pw2m1lepw2m1  44624  fldivexpfllog2  44674  nnlog2ge0lt1  44675  logbpw2m1  44676  fllog2  44677  blennnelnn  44685  blenpw2  44687  nnpw2blenfzo  44690  blennnt2  44698  nnolog2flm1  44699  dig2nn0ld  44713  dig2nn1st  44714  0dig2pr01  44719  0dig2nn0o  44722  itsclc0xyqsolr  44805