Theorem 2z 12721

Description: 2 is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2z	⊢ 2 ∈ ℤ

Proof of Theorem 2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12409	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12713	1 ⊢ 2 ∈ ℤ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  2c2 12390  ℤcz 12686

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-z 12687

This theorem is used by:  nn0lt2  12755  nn0le2is012  12756  zadd2cl  12804  2eluzge1  13002  uzuzle23  13004  uzuzle24  13005  eluz2b1  13039  nn01to3  13061  nn0ge2m1nnALT  13062  ige2m1fz  13744  fz0to3un2pr  13756  fz0to4untppr  13757  fz0to5un2tp  13758  fzctr  13767  fzo0to2pr  13878  fzo0to42pr  13881  2tnp1ge0ge0  13962  flhalf  13963  m1modge3gt1  14054  2txmodxeq0  14067  f13idfv  14136  sqrecd  14286  znsqcld  14298  sq1  14331  expnass  14345  sqoddm1div8  14380  bcn2m1  14461  bcn2p1  14462  4bc2eq6  14466  hashtpg  14623  ccat2s1p2  14771  pfxtrcfv0  14836  pfxtrcfvl  14839  eqwrds3  15107  iseraltlem2  15843  iseraltlem3  15844  climcndslem1  16011  climcnds  16013  bpolydiflem  16213  efgt0  16264  tanval3  16295  cos01bnd  16347  cos01gt0  16352  odd2np1  16504  even2n  16505  oddm1even  16506  oddp1even  16507  oexpneg  16508  mod2eq1n2dvds  16510  2tp1odd  16515  2teven  16518  evend2  16520  oddp1d2  16521  ltoddhalfle  16524  opoe  16526  omoe  16527  opeo  16528  omeo  16529  z0even  16530  z2even  16533  z4even  16535  4dvdseven  16536  m1expo  16538  m1exp1  16539  nn0o  16546  sumeven  16550  flodddiv4  16578  bits0e  16592  bits0o  16593  bitsp1e  16595  bitsp1o  16596  bitsfzo  16598  bitsmod  16599  bitscmp  16601  bitsinv1lem  16604  bitsinv1  16605  6gcd4e2  16704  3lcm2e6woprm  16783  lcmf2a3a4e12  16815  isprm3  16851  dvdsnprmd  16858  2prm  16860  2mulprm  16861  oddprmge3  16869  ge2nprmge4  16870  isprm7  16877  divgcdodd  16879  oddprm  16981  pythagtriplem4  16990  pythagtriplem11  16996  pythagtriplem13  16998  iserodd  17006  prmgaplem3  17224  prmgaplem7  17228  dec2dvds  17234  prmlem0  17276  4001lem1  17312  ex-chn1  18804  psgnunilem4  19704  efgredleme  19950  lt6abl  20102  ablsimpgfindlem1  20316  ablsimpgfindlem2  20317  zringndrg  21767  znidomb  21860  chfacfscmulfsupp  23170  chfacfpmmulfsupp  23174  minveclem2  25740  minveclem3  25743  pjthlem1  25751  dyaddisjlem  25909  mbfi1fseqlem5  26033  dvrecg  26286  dvexp3  26291  aaliou3lem6  26668  tanregt0  26860  efif1olem4  26866  tanarg  26940  cxpsqrtth  27051  2irrexpq  27052  2logb9irr  27116  2logb9irrALT  27119  sqrt2cxp2logb9e3  27120  cubic2  27169  asinlem3  27192  atantayl2  27259  cxp2limlem  27296  lgamgulmlem3  27351  lgamgulmlem4  27352  basellem2  27402  basellem3  27403  basellem4  27404  basellem5  27405  basellem8  27408  basellem9  27409  ppisval  27424  ppiprm  27471  ppinprm  27472  chtprm  27473  chtnprm  27474  chtdif  27478  ppidif  27483  ppi1  27484  cht1  27485  cht3  27493  ppieq0  27496  ppiublem1  27522  chpeq0  27528  chtub  27532  chpval2  27538  chpub  27540  mersenne  27547  perfect1  27548  perfectlem1  27549  perfectlem2  27550  bposlem1  27604  bposlem2  27605  bposlem3  27606  bposlem5  27608  bposlem6  27609  lgslem1  27617  lgsdir2lem2  27646  lgsdir2  27650  lgsqr  27671  gausslemma2dlem0i  27684  gausslemma2dlem1a  27685  gausslemma2dlem5a  27690  gausslemma2dlem5  27691  gausslemma2dlem6  27692  gausslemma2dlem7  27693  gausslemma2d  27694  lgseisenlem1  27695  lgseisenlem2  27696  lgseisenlem3  27697  lgseisenlem4  27698  lgsquadlem1  27700  lgsquadlem2  27701  lgsquad2lem1  27704  lgsquad2lem2  27705  lgsquad2  27706  lgsquad3  27707  m1lgs  27708  2lgslem1a1  27709  2lgslem1a2  27710  2lgslem1b  27712  2lgslem3b1  27721  2lgslem3c1  27722  2lgs2  27725  2lgs  27727  2lgsoddprmlem2  27729  2lgsoddprmlem3  27734  2lgsoddprm  27736  2sqblem  27751  2sqmod  27756  chebbnd1lem1  27789  chebbnd1lem3  27791  chebbnd1  27792  dchrisum0lem1a  27806  dchrvmasumiflem1  27821  dchrisum0flblem1  27828  dchrisum0flblem2  27829  dchrisum0lem1b  27835  dchrisum0lem1  27836  dchrisum0lem2a  27837  dchrisum0lem2  27838  dchrisum0lem3  27839  mulog2sumlem2  27855  pntlemd  27914  pntlema  27916  pntlemb  27917  pntlemh  27919  pntlemr  27922  pntlemf  27925  pntlemo  27927  flt4lem2  27970  flt4lem5  27973  flt4lem7  27982  nna4b4nsq  27983  fltoprmlem2  27987  fltoprmgt3  27989  istrkg2ld  28915  istrkg3ld  28916  axlowdimlem3  29515  axlowdimlem6  29518  axlowdimlem16  29528  axlowdimlem17  29529  axlowdim  29532  usgrexmpldifpr  29832  usgrexmplef  29833  cusgrsizeindb1  30024  pthdlem1  30345  clwlkclwwlklem2a1  30576  clwlkclwwlklem2fv1  30579  clwlkclwwlklem2fv2  30580  clwlkclwwlklem2a4  30581  clwlkclwwlklem2a  30582  clwwisshclwwslem  30598  eupth2lem3lem3  30824  konigsberglem5  30850  2clwwlk2  30942  numclwwlk2lem1  30970  numclwlk2lem2f  30971  frgrreggt1  30987  ex-fl  31041  ex-mod  31043  ex-hash  31047  ex-dvds  31050  ex-ind-dvds  31055  minvecolem3  31471  pjhthlem1  31986  wrdt2ind  33509  archirngz  33743  archiabllem2c  33749  evl1deg2  34102  rtelextdg2  34352  constrext2chnlem  34375  constrresqrtcl  34402  2sqr3minply  34405  cos9thpiminplylem2  34408  cos9thpiminplylem5  34411  lmat22det  34447  dya2ub  34895  dya2icoseg  34902  oddpwdc  34979  eulerpartlemd  34991  eulerpartlemt  34996  ballotlem2  35114  signslema  35184  prodfzo03  35225  hgt750leme  35280  tgoldbachgtde  35282  nn0prpwlem  37090  knoppndvlem2  37359  knoppndvlem8  37365  irrdifflemf  38226  qdiff  38228  poimirlem25  38543  poimirlem26  38544  poimirlem27  38545  poimirlem28  38546  logblebd  43007  lcm2un  43044  lcm3un  43045  lcmineqlem18  43076  lcmineqlem19  43077  lcmineqlem21  43079  lcmineqlem22  43080  3lexlogpow5ineq2  43085  3lexlogpow2ineq1  43088  aks4d1p1p3  43099  aks4d1p1p4  43101  aks4d1p1p6  43103  aks4d1p1p7  43104  aks4d1p1p5  43105  aks4d1p1  43106  aks4d1p3  43108  aks4d1p6  43111  aks4d1p7d1  43112  aks4d1p7  43113  aks4d1p8  43117  aks4d1p9  43118  posbezout  43130  5bc2eq10  43172  2np3bcnp1  43174  2ap1caineq  43175  aks6d1c6lem4  43203  aks6d1c7lem1  43210  aks6d1c7lem2  43211  acongrep  43966  acongeq  43969  jm2.18  43974  jm2.22  43981  jm2.23  43982  jm2.20nn  43983  jm2.26a  43986  jm2.26  43988  jm2.15nn0  43989  jm2.27a  43991  jm2.27c  43993  rmydioph  44000  jm3.1lem1  44003  jm3.1lem3  44005  expdiophlem1  44007  expdiophlem2  44008  hashnzfz2  45290  sumnnodd  46611  coskpi2  46845  cosknegpi  46848  dvdivbd  46902  stoweidlem26  47005  wallispilem4  47047  wallispi2lem1  47050  wallispi2lem2  47051  wallispi2  47052  stirlinglem1  47053  stirlinglem3  47055  stirlinglem7  47059  stirlinglem8  47060  stirlinglem10  47062  stirlinglem11  47063  stirlinglem15  47067  dirkertrigeqlem1  47077  dirkercncflem2  47083  fourierdlem54  47139  fourierdlem56  47141  fourierdlem57  47142  fourierdlem102  47187  fourierdlem114  47199  fourierswlem  47209  fouriersw  47210  smfmullem4  47773  evenwodadd  47880  sqrtnpoly  47912  nnmul2  48369  ceil5half3  48385  addmodne  48389  m1modnep2mod  48397  minusmodnep2tmod  48398  modmkpkne  48406  modmknepk  48407  modm2nep1  48411  modp2nep1  48412  modm1nep2  48413  modm1nem2  48414  2timesltsq  48417  2timesltsqm1  48418  fmtnorec1  48591  goldbachthlem2  48600  odz2prm2pw  48617  fmtnoprmfac1  48619  fmtnoprmfac2lem1  48620  fmtnoprmfac2  48621  fmtno4prmfac  48626  31prm  48651  sfprmdvdsmersenne  48657  lighneallem1  48659  lighneallem4a  48662  lighneallem4b  48663  lighneallem4  48664  proththdlem  48667  proththd  48668  3exp4mod41  48670  41prothprmlem2  48672  nprmdvdsfacm1lem1  48674  nprmdvdsfacm1lem2  48675  nprmdvdsfacm1lem4  48677  ppivalnnnprmge6  48680  ppivalnn  48686  m1expevenALTV  48714  dfeven2  48716  m2even  48721  gcd2odd1  48735  oexpnegALTV  48744  oexpnegnz  48745  2evenALTV  48759  2noddALTV  48760  nn0o1gt2ALTV  48761  nnpw2evenALTV  48769  perfectALTVlem1  48788  perfectALTVlem2  48789  fppr2odd  48798  341fppr2  48801  9fppr8  48804  nfermltl2rev  48810  sbgoldbalt  48848  mogoldbb  48852  nnsum4primesodd  48863  nnsum4primesoddALTV  48864  wtgoldbnnsum4prm  48869  bgoldbnnsum3prm  48871  gpg5order  49127  gpg5nbgrvtx13starlem2  49139  gpg3nbgrvtx0ALT  49144  gpg3kgrtriexlem5  49154  gpg5gricstgr3  49157  pgnbgreunbgrlem2lem1  49181  pgnbgreunbgrlem2lem2  49182  pgnbgreunbgrlem2lem3  49183  gpg5edgnedg  49197  2even  49305  zlmodzxzequa  49577  zlmodzxznm  49578  zlmodzxzequap  49580  zlmodzxzldeplem1  49581  zlmodzxzldeplem3  49583  zlmodzxzldep  49585  ldepsnlinclem1  49586  ldepsnlinc  49589  pw2m1lepw2m1  49601  fldivexpfllog2  49646  nnlog2ge0lt1  49647  logbpw2m1  49648  fllog2  49649  blennnelnn  49657  blenpw2  49659  nnpw2blenfzo  49662  blennnt2  49670  nnolog2flm1  49671  dig2nn0ld  49685  dig2nn1st  49686  0dig2pr01  49691  0dig2nn0o  49694  ackval42  49777  itsclc0xyqsolr  49850  crosspdotsumlem  50933  veronesev2lem  50943