Theorem 2z 12559

Description: 2 is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2z	⊢ 2 ∈ ℤ

Proof of Theorem 2z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12254	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12551	1 ⊢ 2 ∈ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  2c2 12236  ℤcz 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-z 12525

This theorem is referenced by:  nn0lt2  12592  nn0le2is012  12593  zadd2cl  12641  2eluzge1  12832  uzuzle23  12834  uzuzle24  12835  eluz2b1  12869  nn01to3  12891  nn0ge2m1nnALT  12892  ige2m1fz  13571  fz0to3un2pr  13583  fz0to4untppr  13584  fz0to5un2tp  13585  fzctr  13594  fzo0to2pr  13705  fzo0to42pr  13708  2tnp1ge0ge0  13788  flhalf  13789  m1modge3gt1  13880  2txmodxeq0  13893  f13idfv  13962  sqrecd  14112  znsqcld  14124  sq1  14157  expnass  14170  sqoddm1div8  14205  bcn2m1  14286  bcn2p1  14287  4bc2eq6  14291  hashtpg  14447  ccat2s1p2  14593  pfxtrcfv0  14656  pfxtrcfvl  14659  eqwrds3  14923  iseraltlem2  15645  iseraltlem3  15646  climcndslem1  15814  climcnds  15816  bpolydiflem  16019  efgt0  16070  tanval3  16101  cos01bnd  16153  cos01gt0  16158  odd2np1  16310  even2n  16311  oddm1even  16312  oddp1even  16313  oexpneg  16314  mod2eq1n2dvds  16316  2tp1odd  16321  2teven  16324  evend2  16326  oddp1d2  16327  ltoddhalfle  16330  opoe  16332  omoe  16333  opeo  16334  omeo  16335  z0even  16336  z2even  16339  z4even  16341  4dvdseven  16342  m1expo  16344  m1exp1  16345  nn0o  16352  sumeven  16356  flodddiv4  16384  bits0e  16398  bits0o  16399  bitsp1e  16401  bitsp1o  16402  bitsfzo  16404  bitsmod  16405  bitscmp  16407  bitsinv1lem  16410  bitsinv1  16411  6gcd4e2  16507  3lcm2e6woprm  16584  lcmf2a3a4e12  16616  isprm3  16652  dvdsnprmd  16659  2prm  16661  2mulprm  16662  oddprmge3  16670  ge2nprmge4  16671  isprm7  16678  divgcdodd  16680  oddprm  16781  pythagtriplem4  16790  pythagtriplem11  16796  pythagtriplem13  16798  iserodd  16806  prmgaplem3  17024  prmgaplem7  17028  dec2dvds  17034  prmlem0  17076  4001lem1  17111  ex-chn1  18603  psgnunilem4  19472  efgredleme  19718  lt6abl  19870  ablsimpgfindlem1  20084  ablsimpgfindlem2  20085  zringndrg  21448  znidomb  21541  chfacfscmulfsupp  22824  chfacfpmmulfsupp  22828  minveclem2  25393  minveclem3  25396  pjthlem1  25404  dyaddisjlem  25562  mbfi1fseqlem5  25686  dvrecg  25940  dvexp3  25945  aaliou3lem6  26314  tanregt0  26503  efif1olem4  26509  tanarg  26583  cxpsqrtth  26694  2irrexpq  26695  2logb9irr  26759  2logb9irrALT  26762  sqrt2cxp2logb9e3  26763  cubic2  26812  asinlem3  26835  atantayl2  26902  cxp2limlem  26939  lgamgulmlem3  26994  lgamgulmlem4  26995  basellem2  27045  basellem3  27046  basellem4  27047  basellem5  27048  basellem8  27051  basellem9  27052  ppisval  27067  ppiprm  27114  ppinprm  27115  chtprm  27116  chtnprm  27117  chtdif  27121  ppidif  27126  ppi1  27127  cht1  27128  cht3  27136  ppieq0  27139  ppiublem1  27165  chpeq0  27171  chtub  27175  chpval2  27181  chpub  27183  mersenne  27190  perfect1  27191  perfectlem1  27192  perfectlem2  27193  bposlem1  27247  bposlem2  27248  bposlem3  27249  bposlem5  27251  bposlem6  27252  lgslem1  27260  lgsdir2lem2  27289  lgsdir2  27293  lgsqr  27314  gausslemma2dlem0i  27327  gausslemma2dlem1a  27328  gausslemma2dlem5a  27333  gausslemma2dlem5  27334  gausslemma2dlem6  27335  gausslemma2dlem7  27336  gausslemma2d  27337  lgseisenlem1  27338  lgseisenlem2  27339  lgseisenlem3  27340  lgseisenlem4  27341  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  lgsquad2lem1  27347  lgsquad2lem2  27348  lgsquad2  27349  lgsquad3  27350  m1lgs  27351  2lgslem1a1  27352  2lgslem1a2  27353  2lgslem1b  27355  2lgslem3b1  27364  2lgslem3c1  27365  2lgs2  27368  2lgs  27370  2lgsoddprmlem2  27372  2lgsoddprmlem3  27377  2lgsoddprm  27379  2sqblem  27394  2sqmod  27399  chebbnd1lem1  27432  chebbnd1lem3  27434  chebbnd1  27435  dchrisum0lem1a  27449  dchrvmasumiflem1  27464  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0flblem2  27472  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  dchrisum0lem3  27482  mulog2sumlem2  27498  pntlemd  27557  pntlema  27559  pntlemb  27560  pntlemh  27562  pntlemr  27565  pntlemf  27568  pntlemo  27570  istrkg2ld  28528  istrkg3ld  28529  axlowdimlem3  29013  axlowdimlem6  29016  axlowdimlem16  29026  axlowdimlem17  29027  axlowdim  29030  usgrexmpldifpr  29327  usgrexmplef  29328  cusgrsizeindb1  29519  pthdlem1  29834  clwlkclwwlklem2a1  30062  clwlkclwwlklem2fv1  30065  clwlkclwwlklem2fv2  30066  clwlkclwwlklem2a4  30067  clwlkclwwlklem2a  30068  clwwisshclwwslem  30084  eupth2lem3lem3  30300  konigsberglem5  30326  2clwwlk2  30418  numclwwlk2lem1  30446  numclwlk2lem2f  30447  frgrreggt1  30463  ex-fl  30517  ex-mod  30519  ex-hash  30523  ex-dvds  30526  ex-ind-dvds  30531  minvecolem3  30947  pjhthlem1  31462  wrdt2ind  33013  archirngz  33250  archiabllem2c  33256  evl1deg2  33637  rtelextdg2  33871  constrext2chnlem  33894  constrresqrtcl  33921  2sqr3minply  33924  cos9thpiminplylem2  33927  cos9thpiminplylem5  33930  lmat22det  33966  dya2ub  34414  dya2icoseg  34421  oddpwdc  34498  eulerpartlemd  34510  eulerpartlemt  34515  ballotlem2  34633  signslema  34706  prodfzo03  34747  hgt750leme  34802  tgoldbachgtde  34804  nn0prpwlem  36504  knoppndvlem2  36773  knoppndvlem8  36779  irrdifflemf  37639  qdiff  37641  poimirlem25  37966  poimirlem26  37967  poimirlem27  37968  poimirlem28  37969  logblebd  42416  lcm2un  42453  lcm3un  42454  lcmineqlem18  42485  lcmineqlem19  42486  lcmineqlem21  42488  lcmineqlem22  42489  3lexlogpow5ineq2  42494  3lexlogpow2ineq1  42497  aks4d1p1p3  42508  aks4d1p1p4  42510  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p1p5  42514  aks4d1p1  42515  aks4d1p3  42517  aks4d1p6  42520  aks4d1p7d1  42521  aks4d1p7  42522  aks4d1p8  42526  aks4d1p9  42527  posbezout  42539  5bc2eq10  42581  2np3bcnp1  42583  2ap1caineq  42584  aks6d1c6lem4  42612  aks6d1c7lem1  42619  aks6d1c7lem2  42620  flt4lem2  43080  flt4lem5  43083  flt4lem7  43092  nna4b4nsq  43093  acongrep  43408  acongeq  43411  jm2.18  43416  jm2.22  43423  jm2.23  43424  jm2.20nn  43425  jm2.26a  43428  jm2.26  43430  jm2.15nn0  43431  jm2.27a  43433  jm2.27c  43435  rmydioph  43442  jm3.1lem1  43445  jm3.1lem3  43447  expdiophlem1  43449  expdiophlem2  43450  hashnzfz2  44748  sumnnodd  46060  coskpi2  46294  cosknegpi  46297  dvdivbd  46351  stoweidlem26  46454  wallispilem4  46496  wallispi2lem1  46499  wallispi2lem2  46500  wallispi2  46501  stirlinglem1  46502  stirlinglem3  46504  stirlinglem7  46508  stirlinglem8  46509  stirlinglem10  46511  stirlinglem11  46512  stirlinglem15  46516  dirkertrigeqlem1  46526  dirkercncflem2  46532  fourierdlem54  46588  fourierdlem56  46590  fourierdlem57  46591  fourierdlem102  46636  fourierdlem114  46648  fourierswlem  46658  fouriersw  46659  smfmullem4  47222  nthrucw  47316  evenwodadd  47317  nnmul2  47778  ceil5half3  47794  addmodne  47798  m1modnep2mod  47806  minusmodnep2tmod  47807  modmkpkne  47815  modmknepk  47816  modm2nep1  47820  modp2nep1  47821  modm1nep2  47822  modm1nem2  47823  2timesltsq  47826  2timesltsqm1  47827  fmtnorec1  48000  goldbachthlem2  48009  odz2prm2pw  48026  fmtnoprmfac1  48028  fmtnoprmfac2lem1  48029  fmtnoprmfac2  48030  fmtno4prmfac  48035  31prm  48060  sfprmdvdsmersenne  48066  lighneallem1  48068  lighneallem4a  48071  lighneallem4b  48072  lighneallem4  48073  proththdlem  48076  proththd  48077  3exp4mod41  48079  41prothprmlem2  48081  nprmdvdsfacm1lem1  48083  nprmdvdsfacm1lem2  48084  nprmdvdsfacm1lem4  48086  ppivalnnnprmge6  48089  ppivalnn  48095  m1expevenALTV  48123  dfeven2  48125  m2even  48130  gcd2odd1  48144  oexpnegALTV  48153  oexpnegnz  48154  2evenALTV  48168  2noddALTV  48169  nn0o1gt2ALTV  48170  nnpw2evenALTV  48178  perfectALTVlem1  48197  perfectALTVlem2  48198  fppr2odd  48207  341fppr2  48210  9fppr8  48213  nfermltl2rev  48219  sbgoldbalt  48257  mogoldbb  48261  nnsum4primesodd  48272  nnsum4primesoddALTV  48273  wtgoldbnnsum4prm  48278  bgoldbnnsum3prm  48280  gpg5order  48536  gpg5nbgrvtx13starlem2  48548  gpg3nbgrvtx0ALT  48553  gpg3kgrtriexlem5  48563  gpg5gricstgr3  48566  pgnbgreunbgrlem2lem1  48590  pgnbgreunbgrlem2lem2  48591  pgnbgreunbgrlem2lem3  48592  gpg5edgnedg  48606  2even  48715  zlmodzxzequa  48972  zlmodzxznm  48973  zlmodzxzequap  48975  zlmodzxzldeplem1  48976  zlmodzxzldeplem3  48978  zlmodzxzldep  48980  ldepsnlinclem1  48981  ldepsnlinc  48984  pw2m1lepw2m1  48996  fldivexpfllog2  49041  nnlog2ge0lt1  49042  logbpw2m1  49043  fllog2  49044  blennnelnn  49052  blenpw2  49054  nnpw2blenfzo  49057  blennnt2  49065  nnolog2flm1  49066  dig2nn0ld  49080  dig2nn1st  49081  0dig2pr01  49086  0dig2nn0o  49089  ackval42  49172  itsclc0xyqsolr  49245