Theorem ackbij1lem17 10343

Description: Lemma for ackbij1 10345. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem17	⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶1-1ω

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem17

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2	1	ackbij1lem10 10336	. 2 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3	1	ackbij1lem16 10342	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
4	3	rgen2 3206	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)
5		dff13 7284	. 2 ⊢ (𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶1-1ω ↔ (𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
6	2, 4, 5	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶1-1ω

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∀wral 3080   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  ∪ ciun 4954   ↦ cmpt 5190   × cxp 5654  ⟶wf 6557  ⟶1-1wf1 6558  ‘cfv 6561  ωcom 7904  Fincfn 9004  cardccrd 10046

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-dju 10012  df-card 10050

This theorem is used by:  ackbij1  10345  ackbij1b  10346  ackbij2lem2  10347