MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem17 10254
Description: Lemma for ackbij1 10256. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem17 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1β†’Ο‰
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem17
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem10 10247 . 2 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
31ackbij1lem16 10253 . . 3 ((π‘Ž ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏))
43rgen2 3188 . 2 βˆ€π‘Ž ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏)
5 dff13 7259 . 2 (𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1β†’Ο‰ ↔ (𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏)))
62, 4, 5mpbir2an 709 1 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1β†’Ο‰
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533  βˆ€wral 3051   ∩ cin 3940  π’« cpw 4599  {csn 4625  βˆͺ ciun 4992   ↦ cmpt 5227   Γ— cxp 5671  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7865  Fincfn 8957  cardccrd 9953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9919  df-card 9957
This theorem is referenced by:  ackbij1  10256  ackbij1b  10257  ackbij2lem2  10258
  Copyright terms: Public domain W3C validator