MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem17 10245
Description: Lemma for ackbij1 10247. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem17 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1β†’Ο‰
Distinct variable group:   π‘₯,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem17
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem10 10238 . 2 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
31ackbij1lem16 10244 . . 3 ((π‘Ž ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏))
43rgen2 3192 . 2 βˆ€π‘Ž ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏)
5 dff13 7259 . 2 (𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1β†’Ο‰ ↔ (𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βˆ€π‘ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏)))
62, 4, 5mpbir2an 710 1 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1β†’Ο‰
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534  βˆ€wral 3056   ∩ cin 3943  π’« cpw 4598  {csn 4624  βˆͺ ciun 4991   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€˜cfv 6542  Ο‰com 7862  Fincfn 8953  cardccrd 9944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948
This theorem is referenced by:  ackbij1  10247  ackbij1b  10248  ackbij2lem2  10249
  Copyright terms: Public domain W3C validator