Theorem ackbij1lem17 10219

Description: Lemma for ackbij1 10221. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem17	⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem17

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2	1	ackbij1lem10 10212	. 2 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3	1	ackbij1lem16 10218	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
4	3	rgen2 3205	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)
5		dff13 7254	. 2 ⊢ (𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω ↔ (𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
6	2, 4, 5	mpbir2an 723	1 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570  ∀wral 3079   ∩ cin 3905  𝒫 cpw 4563  {csn 4590  ∪ ciun 4957   ↦ cmpt 5193   × cxp 5661  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  ‘cfv 6538  ωcom 7863  Fincfn 8944  cardccrd 9922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926

This theorem is referenced by:  ackbij1  10221  ackbij1b  10222  ackbij2lem2  10223