Theorem ackbij1lem17 10294

Description: Lemma for ackbij1 10296. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem17	⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem17

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2	1	ackbij1lem10 10287	. 2 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3	1	ackbij1lem16 10293	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
4	3	rgen2 3203	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)
5		dff13 7250	. 2 ⊢ (𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω ↔ (𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
6	2, 4, 5	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∀wral 3077   ∩ cin 3898  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ∪ ciun 4951   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ⟶wf 6527  –1-1→wf1 6528  ‘cfv 6531  ωcom 7866  Fincfn 8957  cardccrd 9997

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9963  df-card 10001

This theorem is used by:  ackbij1  10296  ackbij1b  10297  ackbij2lem2  10298