Theorem ackbij1lem17 10118

Description: Lemma for ackbij1 10120. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem17	⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem17

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2	1	ackbij1lem10 10111	. 2 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3	1	ackbij1lem16 10117	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏))
4	3	rgen2 3170	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)
5		dff13 7183	. 2 ⊢ (𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω ↔ (𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
6	2, 4, 5	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)–1-1→ω

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ∀wral 3045   ∩ cin 3899  𝒫 cpw 4548  {csn 4574  ∪ ciun 4939   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612  ⟶wf 6473  –1-1→wf1 6474  ‘cfv 6477  ωcom 7791  Fincfn 8864  cardccrd 9820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-dju 9786  df-card 9824

This theorem is referenced by:  ackbij1  10120  ackbij1b  10121  ackbij2lem2  10122