Theorem addsubeq4 11386

Description: Relation between sums and differences. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
addsubeq4	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐷)))

Proof of Theorem addsubeq4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2740	. . 3 ⊢ ((𝐶 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐷) ↔ (𝐵 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐴))
2		subcl 11370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
3	2	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
4		subadd 11374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)) = 𝐵))
5	4	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)) = 𝐵))
6	5	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)) = 𝐵))
7	3, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)) = 𝐵))
8	7	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)) = 𝐵))
9	1, 8	bitrid 283	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐷) ↔ (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)) = 𝐵))
10		addcom 11310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
12	11	oveq1d 7370	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴))
13		addsubass 11381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)))
14	13	3com12 1123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)))
15	14	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)))
16	15	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)))
17	12, 16	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)))
18	17	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)))
19	18	eqeq1d 2735	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)) = 𝐵))
20		addcl 11099	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
21		subadd 11374	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
22	21	3expb 1120	. . . 4 ⊢ (((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
23	22	ancoms 458	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
24	20, 23	sylan2 593	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
25	9, 19, 24	3bitr2rd 308	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℂcc 11015   + caddc 11020   − cmin 11355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162  df-sub 11357

This theorem is referenced by:  subcan  11427  addsubeq4d  11534  dvsqrt  26698  dvcnsqrt  26700  addsubeq4com  42450