Theorem addsubeq4 11396

Description: Relation between sums and differences. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
addsubeq4	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐷)))

Proof of Theorem addsubeq4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2736	. . 3 ⊢ ((𝐶 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐷) ↔ (𝐵 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐴))
2		subcl 11380	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
3	2	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
4		subadd 11384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)) = 𝐵))
5	4	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)) = 𝐵))
6	5	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)) = 𝐵))
7	3, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)) = 𝐵))
8	7	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐴) ↔ (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)) = 𝐵))
9	1, 8	bitrid 283	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐷) ↔ (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)) = 𝐵))
10		addcom 11320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
12	11	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴))
13		addsubass 11391	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)))
14	13	3com12 1123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)))
15	14	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)))
16	15	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐷 + 𝐶) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)))
17	12, 16	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)))
18	17	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)))
19	18	eqeq1d 2731	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐷 + (𝐶 − 𝐴)) = 𝐵))
20		addcl 11110	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
21		subadd 11384	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
22	21	3expb 1120	. . . 4 ⊢ (((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
23	22	ancoms 458	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
24	20, 23	sylan2 593	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷)))
25	9, 19, 24	3bitr2rd 308	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   + caddc 11031   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367

This theorem is referenced by:  subcan  11437  addsubeq4d  11544  dvsqrt  26667  dvcnsqrt  26669  addsubeq4com  42256