Theorem pncan3oi 11440

Description: Subtraction and addition of equals. Almost but not exactly the same as pncan3i 11502 and pncan 11430, this order happens often when applying "operations to both sides" so create a theorem specifically for it. A deduction version of this is available as pncand 11537. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pncan3oi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
pncan3oi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
pncan3oi	⊢ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴

Proof of Theorem pncan3oi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pncan3oi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		pncan3oi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		pncan 11430	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 702	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℂcc 11065   + caddc 11070   − cmin 11408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-sub 11410

This theorem is referenced by:  mvrraddi  11441  mvrladdi  11442  mvlladdi  11443  climcndslem1  15870  3dvds  16356  2503prm  17167  ovolicc2lem4  25570  eff1o  26602  basellem8  27140  bposlem6  27341  bposlem8  27343  lnfn0i  32202  lmatfvlem  34073  quad3  35981  poimirlem16  38096  poimirlem17  38097  poimirlem19  38099  poimirlem20  38100  fdc  38205  heiborlem6  38276  areaquad  43754  inductionexd  44692  stoweidlem34  46569  fouriersw  46766  mvlraddi  50353