Theorem pncan3oi 11491

Description: Subtraction and addition of equals. Almost but not exactly the same as pncan3i 11553 and pncan 11481, this order happens often when applying "operations to both sides" so create a theorem specifically for it. A deduction version of this is available as pncand 11588. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pncan3oi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
pncan3oi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
pncan3oi	⊢ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴

Proof of Theorem pncan3oi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pncan3oi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		pncan3oi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		pncan 11481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 692	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7400  ℂcc 11120   + caddc 11125   − cmin 11459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-ltxr 11267  df-sub 11461

This theorem is referenced by:  mvrraddi  11492  mvrladdi  11493  mvlladdi  11494  climcndslem1  15854  3dvds  16337  2503prm  17146  ovolicc2lem4  25460  eff1o  26496  basellem8  27036  bposlem6  27238  bposlem8  27240  lnfn0i  31957  lmatfvlem  33775  quad3  35621  poimirlem16  37589  poimirlem17  37590  poimirlem19  37592  poimirlem20  37593  fdc  37698  heiborlem6  37769  areaquad  43172  inductionexd  44111  stoweidlem34  45999  fouriersw  46196  mvlraddi  49476