Theorem pncan3oi 10641

Description: Subtraction and addition of equals. Almost but not exactly the same as pncan3i 10702 and pncan 10630, this order happens often when applying "operations to both sides" so create a theorem specifically for it. A deduction version of this is available as pncand 10737. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pncan3oi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
pncan3oi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
pncan3oi	⊢ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴

Proof of Theorem pncan3oi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pncan3oi.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		pncan3oi.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		pncan 10630	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 682	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6924  ℂcc 10272   + caddc 10277   − cmin 10608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-ltxr 10418  df-sub 10610

This theorem is referenced by:  mvrraddi  10642  mvlladdi  10643  climcndslem1  14989  3dvds  15463  2503prm  16249  ovolicc2lem4  23728  eff1o  24737  log2tlbnd  25128  birthday  25137  basellem8  25270  ppiublem2  25384  ppiub  25385  bposlem6  25470  bposlem8  25472  ex-ind-dvds  27897  lnfn0i  29477  lmatfvlem  30483  quad3  32165  poimirlem16  34056  poimirlem17  34057  poimirlem19  34059  poimirlem20  34060  fdc  34170  heiborlem6  34244  areaquad  38770  inductionexd  39419  stoweidlem34  41188  fouriersw  41385  mvlraddi  43632  mvrladdi  43633