MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addsubass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addsubass 10888
Description: Associative-type law for addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
addsubass ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵𝐶)))

Proof of Theorem addsubass
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 subcl 10877 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
323adant1 1124 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
4 simp3 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
51, 3, 4addassd 10655 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (𝐵𝐶)) + 𝐶) = (𝐴 + ((𝐵𝐶) + 𝐶)))
6 npcan 10887 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) + 𝐶) = 𝐵)
763adant1 1124 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) + 𝐶) = 𝐵)
87oveq2d 7164 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((𝐵𝐶) + 𝐶)) = (𝐴 + 𝐵))
95, 8eqtrd 2854 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (𝐵𝐶)) + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵))
109oveq1d 7163 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 + (𝐵𝐶)) + 𝐶) − 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))
111, 3addcld 10652 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
12 pncan 10884 . . 3 (((𝐴 + (𝐵𝐶)) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 + (𝐵𝐶)) + 𝐶) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵𝐶)))
1311, 4, 12syl2anc 586 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 + (𝐵𝐶)) + 𝐶) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵𝐶)))
1410, 13eqtr3d 2856 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = (𝐴 + (𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7148  cc 10527   + caddc 10532  cmin 10862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864
This theorem is referenced by:  addsub  10889  subadd23  10890  addsubeq4  10893  npncan  10899  subsub  10908  subsub3  10910  addsub4  10921  negsub  10926  addsubassi  10969  addsubassd  11009  zeo  12060  fzen2  13329  fsumcube  15406  odd2np1  15682  chtub  25780  axcontlem2  26743  numclwlk2lem2f  28148  dnibndlem3  33807  stoweidlem26  42296
  Copyright terms: Public domain W3C validator