Theorem dvsqrt 25978

Description: The derivative of the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dvsqrt	⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))

Proof of Theorem dvsqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 12268	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2		dvcxp1 25976	. . 3 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))))
4		rpcn 12820	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
5		cxpsqrt 25941	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
7	6	mpteq2ia 5190	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))
8	7	oveq2i 7328	. 2 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥)))
9		1p0e1 12177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 0) = 1
10		ax-1cn 11009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		2halves 12281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
13	9, 12	eqtr4i 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2))
14		0cn 11047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
15		addsubeq4 11316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ)) → ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))))
16	10, 14, 1, 1, 15	mp4an 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2)))
17	13, 16	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))
18		df-neg 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 2) = (0 − (1 / 2))
19	17, 18	eqtr4i 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) − 1) = -(1 / 2)
20	19	oveq2i 7328	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (𝑥↑𝑐-(1 / 2))
21		rpne0 12826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ≠ 0)
22	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℂ)
23	4, 21, 22	cxpnegd 25953	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥↑𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))
24	20, 23	eqtrid 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))
25	6	oveq2d 7333	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
26	24, 25	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (√‘𝑥)))
27	26	oveq2d 7333	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))) = ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))))
28	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
29		2cnne0 12263	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
30	29	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
31		rpsqrtcl 15055	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
32	31	rpcnne0d 12861	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
33		divmuldiv 11755	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))) → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))))
34	28, 28, 30, 32, 33	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))))
35		1t1e1 12215	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
36	35	oveq1i 7327	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥)))
37	34, 36	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
38	27, 37	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
39	38	mpteq2ia 5190	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
40	3, 8, 39	3eqtr3i 2773	1 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317  ℂcc 10949  ℝcr 10950  0cc0 10951  1c1 10952   + caddc 10954   · cmul 10956   − cmin 11285  -cneg 11286   / cdiv 11712  2c2 12108  ℝ⁺crp 12810  √csqrt 15023   D cdv 25110  ↑_𝑐ccxp 25794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-inf2 9477  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029  ax-addf 11030  ax-mulf 11031

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-se 5564  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-isom 6475  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-of 7575  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-supp 8027  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-2o 8347  df-er 8548  df-map 8667  df-pm 8668  df-ixp 8736  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-fsupp 9206  df-fi 9247  df-sup 9278  df-inf 9279  df-oi 9346  df-card 9775  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-z 12400  df-dec 12518  df-uz 12663  df-q 12769  df-rp 12811  df-xneg 12928  df-xadd 12929  df-xmul 12930  df-ioo 13163  df-ioc 13164  df-ico 13165  df-icc 13166  df-fz 13320  df-fzo 13463  df-fl 13592  df-mod 13670  df-seq 13802  df-exp 13863  df-fac 14068  df-bc 14097  df-hash 14125  df-shft 14857  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891  df-sqrt 15025  df-abs 15026  df-limsup 15259  df-clim 15276  df-rlim 15277  df-sum 15477  df-ef 15856  df-sin 15858  df-cos 15859  df-pi 15861  df-struct 16925  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-starv 17054  df-sca 17055  df-vsca 17056  df-ip 17057  df-tset 17058  df-ple 17059  df-ds 17061  df-unif 17062  df-hom 17063  df-cco 17064  df-rest 17210  df-topn 17211  df-0g 17229  df-gsum 17230  df-topgen 17231  df-pt 17232  df-prds 17235  df-xrs 17290  df-qtop 17295  df-imas 17296  df-xps 17298  df-mre 17372  df-mrc 17373  df-acs 17375  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-submnd 18508  df-mulg 18777  df-cntz 18999  df-cmn 19463  df-psmet 20672  df-xmet 20673  df-met 20674  df-bl 20675  df-mopn 20676  df-fbas 20677  df-fg 20678  df-cnfld 20681  df-top 22126  df-topon 22143  df-topsp 22165  df-bases 22179  df-cld 22253  df-ntr 22254  df-cls 22255  df-nei 22332  df-lp 22370  df-perf 22371  df-cn 22461  df-cnp 22462  df-haus 22549  df-cmp 22621  df-tx 22796  df-hmeo 22989  df-fil 23080  df-fm 23172  df-flim 23173  df-flf 23174  df-xms 23556  df-ms 23557  df-tms 23558  df-cncf 24124  df-limc 25113  df-dv 25114  df-log 25795  df-cxp 25796

This theorem is referenced by:  loglesqrt  25994  divsqrtsumlem  26212  areacirclem1  35937