MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvsqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvsqrt 26769
Description: The derivative of the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dvsqrt (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))

Proof of Theorem dvsqrt
StepHypRef Expression
1 halfcn 12479 . . 3 (1 / 2) ∈ ℂ
2 dvcxp1 26767 . . 3 ((1 / 2) ∈ ℂ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)))))
31, 2ax-mp 5 . 2 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))))
4 rpcn 13038 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
5 cxpsqrt 26730 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
76mpteq2ia 5256 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))
87oveq2i 7435 . 2 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥)))
9 1p0e1 12388 . . . . . . . . . . 11 (1 + 0) = 1
10 ax-1cn 11216 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
11 2halves 12492 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
139, 12eqtr4i 2757 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2))
14 0cn 11256 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
15 addsubeq4 11525 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ)) → ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))))
1610, 14, 1, 1, 15mp4an 691 . . . . . . . . . 10 ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2)))
1713, 16mpbi 229 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))
18 df-neg 11497 . . . . . . . . 9 -(1 / 2) = (0 − (1 / 2))
1917, 18eqtr4i 2757 . . . . . . . 8 ((1 / 2) − 1) = -(1 / 2)
2019oveq2i 7435 . . . . . . 7 (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (𝑥𝑐-(1 / 2))
21 rpne0 13044 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℂ)
234, 21, 22cxpnegd 26742 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
2420, 23eqtrid 2778 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
256oveq2d 7440 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
2624, 25eqtrd 2766 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (√‘𝑥)))
2726oveq2d 7440 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))) = ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))))
2810a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
29 2cnne0 12474 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
3029a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
31 rpsqrtcl 15269 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
3231rpcnne0d 13079 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
33 divmuldiv 11965 . . . . . 6 (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))) → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))))
3428, 28, 30, 32, 33syl22anc 837 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))))
35 1t1e1 12426 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
3635oveq1i 7434 . . . . 5 ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥)))
3734, 36eqtrdi 2782 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
3827, 37eqtrd 2766 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
3938mpteq2ia 5256 . 2 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
403, 8, 393eqtr3i 2762 1 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cmpt 5236  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163  cmin 11494  -cneg 11495   / cdiv 11921  2c2 12319  +crp 13028  csqrt 15238   D cdv 25883  𝑐ccxp 26582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887  df-log 26583  df-cxp 26584
This theorem is referenced by:  loglesqrt  26789  divsqrtsumlem  27008  areacirclem1  37409
  Copyright terms: Public domain W3C validator