![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > angneg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Cancel a negative sign in the angle function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
ang.1 | โข ๐น = (๐ฅ โ (โ โ {0}), ๐ฆ โ (โ โ {0}) โฆ (โโ(logโ(๐ฆ / ๐ฅ)))) |
Ref | Expression |
---|---|
angneg | โข (((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ (-๐ด๐น-๐ต) = (๐ด๐น๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulm1 11662 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด) | |
2 | 1 | ad2antrr 723 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด) |
3 | mulm1 11662 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ (-1 ยท ๐ต) = -๐ต) | |
4 | 3 | ad2antrl 725 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ (-1 ยท ๐ต) = -๐ต) |
5 | 2, 4 | oveq12d 7430 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ ((-1 ยท ๐ด)๐น(-1 ยท ๐ต)) = (-๐ด๐น-๐ต)) |
6 | neg1cn 12333 | . . . 4 โข -1 โ โ | |
7 | neg1ne0 12335 | . . . 4 โข -1 โ 0 | |
8 | 6, 7 | pm3.2i 470 | . . 3 โข (-1 โ โ โง -1 โ 0) |
9 | ang.1 | . . . 4 โข ๐น = (๐ฅ โ (โ โ {0}), ๐ฆ โ (โ โ {0}) โฆ (โโ(logโ(๐ฆ / ๐ฅ)))) | |
10 | 9 | angcan 26648 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0) โง (-1 โ โ โง -1 โ 0)) โ ((-1 ยท ๐ด)๐น(-1 ยท ๐ต)) = (๐ด๐น๐ต)) |
11 | 8, 10 | mp3an3 1449 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ ((-1 ยท ๐ด)๐น(-1 ยท ๐ต)) = (๐ด๐น๐ต)) |
12 | 5, 11 | eqtr3d 2773 | 1 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต โ 0)) โ (-๐ด๐น-๐ต) = (๐ด๐น๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1540 โ wcel 2105 โ wne 2939 โ cdif 3945 {csn 4628 โcfv 6543 (class class class)co 7412 โ cmpo 7414 โcc 11114 0cc0 11116 1c1 11117 ยท cmul 11121 -cneg 11452 / cdiv 11878 โcim 15052 logclog 26403 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-resscn 11173 ax-1cn 11174 ax-icn 11175 ax-addcl 11176 ax-addrcl 11177 ax-mulcl 11178 ax-mulrcl 11179 ax-mulcom 11180 ax-addass 11181 ax-mulass 11182 ax-distr 11183 ax-i2m1 11184 ax-1ne0 11185 ax-1rid 11186 ax-rnegex 11187 ax-rrecex 11188 ax-cnre 11189 ax-pre-lttri 11190 ax-pre-lttrn 11191 ax-pre-ltadd 11192 ax-pre-mulgt0 11193 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5574 df-po 5588 df-so 5589 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-er 8709 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-pnf 11257 df-mnf 11258 df-xr 11259 df-ltxr 11260 df-le 11261 df-sub 11453 df-neg 11454 df-div 11879 |
This theorem is referenced by: ang180 26660 isosctrlem3 26666 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |