MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isosctrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isosctrlem3 26561
Description: Lemma for isosctr 26562. Corresponds to the case where one vertex is at 0. (Contributed by Saveliy Skresanov, 1-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
isosctrlem3.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
Assertion
Ref Expression
isosctrlem3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (-๐ด๐น(๐ต โˆ’ ๐ด)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น-๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem isosctrlem3
StepHypRef Expression
1 simp1l 1195 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 simp21 1204 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
3 simp1r 1196 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
41, 3subcld 11575 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5 simp23 1206 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
61, 3, 5subne0d 11584 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰  0)
7 isosctrlem3.1 . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
87angneg 26544 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰  0)) โ†’ (-๐ด๐น-(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ด๐น(๐ด โˆ’ ๐ต)))
91, 2, 4, 6, 8syl22anc 835 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (-๐ด๐น-(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ด๐น(๐ด โˆ’ ๐ต)))
101, 3negsubdi2d 11591 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ -(๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
1110oveq2d 7427 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (-๐ด๐น-(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (-๐ด๐น(๐ต โˆ’ ๐ด)))
12 1cnd 11213 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
13 ax-1ne0 11181 . . . . . 6 1 โ‰  0
1413a1i 11 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ 1 โ‰  0)
153, 1, 2divcld 11994 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1612, 15subcld 11575 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
175necomd 2994 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰  ๐ด)
183, 1, 2, 17divne1d 12005 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ต / ๐ด) โ‰  1)
1918necomd 2994 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ 1 โ‰  (๐ต / ๐ด))
2012, 15, 19subne0d 11584 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) โ‰  0)
217, 12, 14, 16, 20angvald 26545 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (1๐น(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) / 1))))
2216div1d 11986 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) / 1) = (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))
2322fveq2d 6894 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (logโ€˜((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) / 1)) = (logโ€˜(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))))
2423fveq2d 6894 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) / 1))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))))
253, 1, 2absdivd 15406 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜(๐ต / ๐ด)) = ((absโ€˜๐ต) / (absโ€˜๐ด)))
26 simp3 1136 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต))
2726eqcomd 2736 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜๐ต) = (absโ€˜๐ด))
2827oveq1d 7426 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / (absโ€˜๐ด)) = ((absโ€˜๐ด) / (absโ€˜๐ด)))
291abscld 15387 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3029recnd 11246 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
311, 2absne0d 15398 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰  0)
3230, 31dividd 11992 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (absโ€˜๐ด)) = 1)
3325, 28, 323eqtrd 2774 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜(๐ต / ๐ด)) = 1)
3419neneqd 2943 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ยฌ 1 = (๐ต / ๐ด))
35 isosctrlem2 26560 . . . . . 6 (((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜(๐ต / ๐ด)) = 1 โˆง ยฌ 1 = (๐ต / ๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-(๐ต / ๐ด) / (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))))))
3615, 33, 34, 35syl3anc 1369 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-(๐ต / ๐ด) / (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))))))
3715negcld 11562 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ -(๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
38 simp22 1205 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
393, 1, 38, 2divne0d 12010 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ต / ๐ด) โ‰  0)
4015, 39negne0d 11573 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ -(๐ต / ๐ด) โ‰  0)
417, 16, 20, 37, 40angvald 26545 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))๐น-(๐ต / ๐ด)) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-(๐ต / ๐ด) / (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))))))
4236, 41eqtr4d 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))) = ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))๐น-(๐ต / ๐ด)))
4321, 24, 423eqtrd 2774 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (1๐น(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))) = ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))๐น-(๐ต / ๐ด)))
441mulridd 11235 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
451, 12, 15subdid 11674 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))) = ((๐ด ยท 1) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต / ๐ด))))
463, 1, 2divcan2d 11996 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด ยท (๐ต / ๐ด)) = ๐ต)
4744, 46oveq12d 7429 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท 1) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต / ๐ด))) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
4845, 47eqtrd 2770 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
4944, 48oveq12d 7429 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท 1)๐น(๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))) = (๐ด๐น(๐ด โˆ’ ๐ต)))
507angcan 26543 . . . . 5 (((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โ‰  0) โˆง ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) โ‰  0) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท 1)๐น(๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))) = (1๐น(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))))
5112, 14, 16, 20, 1, 2, 50syl222anc 1384 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท 1)๐น(๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))) = (1๐น(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))))
5249, 51eqtr3d 2772 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด๐น(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (1๐น(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))))
531, 15mulneg2d 11672 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด ยท -(๐ต / ๐ด)) = -(๐ด ยท (๐ต / ๐ด)))
5446negeqd 11458 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ -(๐ด ยท (๐ต / ๐ด)) = -๐ต)
5553, 54eqtrd 2770 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด ยท -(๐ต / ๐ด)) = -๐ต)
5648, 55oveq12d 7429 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))๐น(๐ด ยท -(๐ต / ๐ด))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น-๐ต))
577angcan 26543 . . . . 5 ((((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) โ‰  0) โˆง (-(๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง -(๐ต / ๐ด) โ‰  0) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))๐น(๐ด ยท -(๐ต / ๐ด))) = ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))๐น-(๐ต / ๐ด)))
5816, 20, 37, 40, 1, 2, 57syl222anc 1384 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))๐น(๐ด ยท -(๐ต / ๐ด))) = ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))๐น-(๐ต / ๐ด)))
5956, 58eqtr3d 2772 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น-๐ต) = ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))๐น-(๐ต / ๐ด)))
6043, 52, 593eqtr4d 2780 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด๐น(๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น-๐ต))
619, 11, 603eqtr3d 2778 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (-๐ด๐น(๐ต โˆ’ ๐ด)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น-๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   โˆ– cdif 3944  {csn 4627  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„‘cim 15049  abscabs 15185  logclog 26299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301
This theorem is referenced by:  isosctr  26562
  Copyright terms: Public domain W3C validator