Theorem isosctrlem3 26782

Description: Lemma for isosctr 26783. Corresponds to the case where one vertex is at 0. (Contributed by Saveliy Skresanov, 1-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isosctrlem3.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
isosctrlem3	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹(𝐵 − 𝐴)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isosctrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp21 1207	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐴 ≠ 0)
3		simp1r 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 3	subcld 11594	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5		simp23 1209	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
6	1, 3, 5	subne0d 11603	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
7		isosctrlem3.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
8	7	angneg 26765	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)) → (-𝐴𝐹-(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)))
9	1, 2, 4, 6, 8	syl22anc 838	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹-(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)))
10	1, 3	negsubdi2d 11610	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
11	10	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹-(𝐴 − 𝐵)) = (-𝐴𝐹(𝐵 − 𝐴)))
12		1cnd 11230	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
13		ax-1ne0 11198	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 1 ≠ 0)
15	3, 1, 2	divcld 12017	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
16	12, 15	subcld 11594	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1 − (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
17	5	necomd 2987	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
18	3, 1, 2, 17	divne1d 12028	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐵 / 𝐴) ≠ 1)
19	18	necomd 2987	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 1 ≠ (𝐵 / 𝐴))
20	12, 15, 19	subne0d 11603	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1 − (𝐵 / 𝐴)) ≠ 0)
21	7, 12, 14, 16, 20	angvald 26766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))) = (ℑ‘(log‘((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1))))
22	16	div1d 12009	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
23	22	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (log‘((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1)) = (log‘(1 − (𝐵 / 𝐴))))
24	23	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1))) = (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))))
25	3, 1, 2	absdivd 15474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
26		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵))
27	26	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐵) = (abs‘𝐴))
28	27	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)))
29	1	abscld 15455	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
30	29	recnd 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
31	1, 2	absne0d 15466	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
32	30, 31	dividd 12015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
33	25, 28, 32	3eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = 1)
34	19	neneqd 2937	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ¬ 1 = (𝐵 / 𝐴))
35		isosctrlem2 26781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = 1 ∧ ¬ 1 = (𝐵 / 𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (ℑ‘(log‘(-(𝐵 / 𝐴) / (1 − (𝐵 / 𝐴))))))
36	15, 33, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (ℑ‘(log‘(-(𝐵 / 𝐴) / (1 − (𝐵 / 𝐴))))))
37	15	negcld 11581	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
38		simp22 1208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
39	3, 1, 38, 2	divne0d 12033	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
40	15, 39	negne0d 11592	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
41	7, 16, 20, 37, 40	angvald 26766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)) = (ℑ‘(log‘(-(𝐵 / 𝐴) / (1 − (𝐵 / 𝐴))))))
42	36, 41	eqtr4d 2773	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
43	21, 24, 42	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
44	1	mulridd 11252	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
45	1, 12, 15	subdid 11693	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((𝐴 · 1) − (𝐴 · (𝐵 / 𝐴))))
46	3, 1, 2	divcan2d 12019	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐴)) = 𝐵)
47	44, 46	oveq12d 7423	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · 1) − (𝐴 · (𝐵 / 𝐴))) = (𝐴 − 𝐵))
48	45, 47	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴))) = (𝐴 − 𝐵))
49	44, 48	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)))
50	7	angcan 26764	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((1 − (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))))
51	12, 14, 16, 20, 1, 2, 50	syl222anc 1388	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))))
52	49, 51	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)) = (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))))
53	1, 15	mulneg2d 11691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · -(𝐵 / 𝐴)) = -(𝐴 · (𝐵 / 𝐴)))
54	46	negeqd 11476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐴 · (𝐵 / 𝐴)) = -𝐵)
55	53, 54	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · -(𝐵 / 𝐴)) = -𝐵)
56	48, 55	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · -(𝐵 / 𝐴))) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))
57	7	angcan 26764	. . . . 5 ⊢ ((((1 − (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) ∧ (-(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · -(𝐵 / 𝐴))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
58	16, 20, 37, 40, 1, 2, 57	syl222anc 1388	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · -(𝐵 / 𝐴))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
59	56, 58	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
60	43, 52, 59	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))
61	9, 11, 60	3eqtr3d 2778	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹(𝐵 − 𝐴)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3923  {csn 4601  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134   − cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11894  ℑcim 15117  abscabs 15253  logclog 26515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086  df-pi 16088  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820  df-log 26517

This theorem is referenced by:  isosctr  26783