Theorem isosctrlem3 25703

Description: Lemma for isosctr 25704. Corresponds to the case where one vertex is at 0. (Contributed by Saveliy Skresanov, 1-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isosctrlem3.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
isosctrlem3	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹(𝐵 − 𝐴)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isosctrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1199	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp21 1208	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐴 ≠ 0)
3		simp1r 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 3	subcld 11189	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5		simp23 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
6	1, 3, 5	subne0d 11198	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
7		isosctrlem3.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
8	7	angneg 25686	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)) → (-𝐴𝐹-(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)))
9	1, 2, 4, 6, 8	syl22anc 839	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹-(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)))
10	1, 3	negsubdi2d 11205	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
11	10	oveq2d 7229	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹-(𝐴 − 𝐵)) = (-𝐴𝐹(𝐵 − 𝐴)))
12		1cnd 10828	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
13		ax-1ne0 10798	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 1 ≠ 0)
15	3, 1, 2	divcld 11608	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
16	12, 15	subcld 11189	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1 − (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
17	5	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
18	3, 1, 2, 17	divne1d 11619	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐵 / 𝐴) ≠ 1)
19	18	necomd 2996	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 1 ≠ (𝐵 / 𝐴))
20	12, 15, 19	subne0d 11198	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1 − (𝐵 / 𝐴)) ≠ 0)
21	7, 12, 14, 16, 20	angvald 25687	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))) = (ℑ‘(log‘((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1))))
22	16	div1d 11600	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
23	22	fveq2d 6721	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (log‘((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1)) = (log‘(1 − (𝐵 / 𝐴))))
24	23	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1))) = (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))))
25	3, 1, 2	absdivd 15019	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
26		simp3 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵))
27	26	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐵) = (abs‘𝐴))
28	27	oveq1d 7228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)))
29	1	abscld 15000	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
30	29	recnd 10861	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
31	1, 2	absne0d 15011	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
32	30, 31	dividd 11606	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
33	25, 28, 32	3eqtrd 2781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = 1)
34	19	neneqd 2945	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ¬ 1 = (𝐵 / 𝐴))
35		isosctrlem2 25702	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = 1 ∧ ¬ 1 = (𝐵 / 𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (ℑ‘(log‘(-(𝐵 / 𝐴) / (1 − (𝐵 / 𝐴))))))
36	15, 33, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (ℑ‘(log‘(-(𝐵 / 𝐴) / (1 − (𝐵 / 𝐴))))))
37	15	negcld 11176	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
38		simp22 1209	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
39	3, 1, 38, 2	divne0d 11624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
40	15, 39	negne0d 11187	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
41	7, 16, 20, 37, 40	angvald 25687	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)) = (ℑ‘(log‘(-(𝐵 / 𝐴) / (1 − (𝐵 / 𝐴))))))
42	36, 41	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
43	21, 24, 42	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
44	1	mulid1d 10850	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
45	1, 12, 15	subdid 11288	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((𝐴 · 1) − (𝐴 · (𝐵 / 𝐴))))
46	3, 1, 2	divcan2d 11610	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐴)) = 𝐵)
47	44, 46	oveq12d 7231	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · 1) − (𝐴 · (𝐵 / 𝐴))) = (𝐴 − 𝐵))
48	45, 47	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴))) = (𝐴 − 𝐵))
49	44, 48	oveq12d 7231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)))
50	7	angcan 25685	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((1 − (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))))
51	12, 14, 16, 20, 1, 2, 50	syl222anc 1388	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))))
52	49, 51	eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)) = (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))))
53	1, 15	mulneg2d 11286	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · -(𝐵 / 𝐴)) = -(𝐴 · (𝐵 / 𝐴)))
54	46	negeqd 11072	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐴 · (𝐵 / 𝐴)) = -𝐵)
55	53, 54	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · -(𝐵 / 𝐴)) = -𝐵)
56	48, 55	oveq12d 7231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · -(𝐵 / 𝐴))) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))
57	7	angcan 25685	. . . . 5 ⊢ ((((1 − (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) ∧ (-(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · -(𝐵 / 𝐴))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
58	16, 20, 37, 40, 1, 2, 57	syl222anc 1388	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · -(𝐵 / 𝐴))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
59	56, 58	eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
60	43, 52, 59	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))
61	9, 11, 60	3eqtr3d 2785	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹(𝐵 − 𝐴)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3863  {csn 4541  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ∈ cmpo 7215  ℂcc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734   − cmin 11062  -cneg 11063   / cdiv 11489  ℑcim 14661  abscabs 14797  logclog 25443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445

This theorem is referenced by:  isosctr  25704