MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isosctrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isosctrlem3 26325
Description: Lemma for isosctr 26326. Corresponds to the case where one vertex is at 0. (Contributed by Saveliy Skresanov, 1-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
isosctrlem3.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
Assertion
Ref Expression
isosctrlem3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (-๐ด๐น(๐ต โˆ’ ๐ด)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น-๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem isosctrlem3
StepHypRef Expression
1 simp1l 1198 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 simp21 1207 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰  0)
3 simp1r 1199 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
41, 3subcld 11571 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5 simp23 1209 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
61, 3, 5subne0d 11580 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰  0)
7 isosctrlem3.1 . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}), ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(๐‘ฆ / ๐‘ฅ))))
87angneg 26308 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰  0)) โ†’ (-๐ด๐น-(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ด๐น(๐ด โˆ’ ๐ต)))
91, 2, 4, 6, 8syl22anc 838 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (-๐ด๐น-(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ด๐น(๐ด โˆ’ ๐ต)))
101, 3negsubdi2d 11587 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ -(๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
1110oveq2d 7425 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (-๐ด๐น-(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (-๐ด๐น(๐ต โˆ’ ๐ด)))
12 1cnd 11209 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
13 ax-1ne0 11179 . . . . . 6 1 โ‰  0
1413a1i 11 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ 1 โ‰  0)
153, 1, 2divcld 11990 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1612, 15subcld 11571 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
175necomd 2997 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰  ๐ด)
183, 1, 2, 17divne1d 12001 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ต / ๐ด) โ‰  1)
1918necomd 2997 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ 1 โ‰  (๐ต / ๐ด))
2012, 15, 19subne0d 11580 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) โ‰  0)
217, 12, 14, 16, 20angvald 26309 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (1๐น(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) / 1))))
2216div1d 11982 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) / 1) = (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))
2322fveq2d 6896 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (logโ€˜((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) / 1)) = (logโ€˜(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))))
2423fveq2d 6896 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) / 1))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))))
253, 1, 2absdivd 15402 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜(๐ต / ๐ด)) = ((absโ€˜๐ต) / (absโ€˜๐ด)))
26 simp3 1139 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต))
2726eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜๐ต) = (absโ€˜๐ด))
2827oveq1d 7424 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((absโ€˜๐ต) / (absโ€˜๐ด)) = ((absโ€˜๐ด) / (absโ€˜๐ด)))
291abscld 15383 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3029recnd 11242 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
311, 2absne0d 15394 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰  0)
3230, 31dividd 11988 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (absโ€˜๐ด)) = 1)
3325, 28, 323eqtrd 2777 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜(๐ต / ๐ด)) = 1)
3419neneqd 2946 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ยฌ 1 = (๐ต / ๐ด))
35 isosctrlem2 26324 . . . . . 6 (((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜(๐ต / ๐ด)) = 1 โˆง ยฌ 1 = (๐ต / ๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-(๐ต / ๐ด) / (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))))))
3615, 33, 34, 35syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-(๐ต / ๐ด) / (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))))))
3715negcld 11558 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ -(๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
38 simp22 1208 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ๐ต โ‰  0)
393, 1, 38, 2divne0d 12006 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ต / ๐ด) โ‰  0)
4015, 39negne0d 11569 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ -(๐ต / ๐ด) โ‰  0)
417, 16, 20, 37, 40angvald 26309 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))๐น-(๐ต / ๐ด)) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜(-(๐ต / ๐ด) / (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))))))
4236, 41eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))) = ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))๐น-(๐ต / ๐ด)))
4321, 24, 423eqtrd 2777 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (1๐น(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))) = ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))๐น-(๐ต / ๐ด)))
441mulridd 11231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
451, 12, 15subdid 11670 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))) = ((๐ด ยท 1) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต / ๐ด))))
463, 1, 2divcan2d 11992 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด ยท (๐ต / ๐ด)) = ๐ต)
4744, 46oveq12d 7427 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท 1) โˆ’ (๐ด ยท (๐ต / ๐ด))) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
4845, 47eqtrd 2773 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
4944, 48oveq12d 7427 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท 1)๐น(๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))) = (๐ด๐น(๐ด โˆ’ ๐ต)))
507angcan 26307 . . . . 5 (((1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โ‰  0) โˆง ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) โ‰  0) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท 1)๐น(๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))) = (1๐น(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))))
5112, 14, 16, 20, 1, 2, 50syl222anc 1387 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท 1)๐น(๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))) = (1๐น(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))))
5249, 51eqtr3d 2775 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด๐น(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (1๐น(1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))))
531, 15mulneg2d 11668 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด ยท -(๐ต / ๐ด)) = -(๐ด ยท (๐ต / ๐ด)))
5446negeqd 11454 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ -(๐ด ยท (๐ต / ๐ด)) = -๐ต)
5553, 54eqtrd 2773 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด ยท -(๐ต / ๐ด)) = -๐ต)
5648, 55oveq12d 7427 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))๐น(๐ด ยท -(๐ต / ๐ด))) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น-๐ต))
577angcan 26307 . . . . 5 ((((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)) โ‰  0) โˆง (-(๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง -(๐ต / ๐ด) โ‰  0) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))๐น(๐ด ยท -(๐ต / ๐ด))) = ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))๐น-(๐ต / ๐ด)))
5816, 20, 37, 40, 1, 2, 57syl222anc 1387 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท (1 โˆ’ (๐ต / ๐ด)))๐น(๐ด ยท -(๐ต / ๐ด))) = ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))๐น-(๐ต / ๐ด)))
5956, 58eqtr3d 2775 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น-๐ต) = ((1 โˆ’ (๐ต / ๐ด))๐น-(๐ต / ๐ด)))
6043, 52, 593eqtr4d 2783 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (๐ด๐น(๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น-๐ต))
619, 11, 603eqtr3d 2781 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0 โˆง ๐ด โ‰  ๐ต) โˆง (absโ€˜๐ด) = (absโ€˜๐ต)) โ†’ (-๐ด๐น(๐ต โˆ’ ๐ด)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐น-๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โˆ– cdif 3946  {csn 4629  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„‘cim 15045  abscabs 15181  logclog 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065
This theorem is referenced by:  isosctr  26326
  Copyright terms: Public domain W3C validator