Theorem isosctrlem3 26803

Description: Lemma for isosctr 26804. Corresponds to the case where one vertex is at 0. (Contributed by Saveliy Skresanov, 1-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
isosctrlem3.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
isosctrlem3	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹(𝐵 − 𝐴)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isosctrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1204	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp21 1213	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐴 ≠ 0)
3		simp1r 1205	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 3	subcld 11497	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5		simp23 1215	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
6	1, 3, 5	subne0d 11506	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
7		isosctrlem3.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
8	7	angneg 26786	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)) → (-𝐴𝐹-(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)))
9	1, 2, 4, 6, 8	syl22anc 844	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹-(𝐴 − 𝐵)) = (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)))
10	1, 3	negsubdi2d 11513	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
11	10	oveq2d 7373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹-(𝐴 − 𝐵)) = (-𝐴𝐹(𝐵 − 𝐴)))
12		1cnd 11131	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
13		ax-1ne0 11099	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 1 ≠ 0)
15	3, 1, 2	divcld 11923	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
16	12, 15	subcld 11497	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1 − (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
17	5	necomd 2989	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
18	3, 1, 2, 17	divne1d 11934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐵 / 𝐴) ≠ 1)
19	18	necomd 2989	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 1 ≠ (𝐵 / 𝐴))
20	12, 15, 19	subne0d 11506	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1 − (𝐵 / 𝐴)) ≠ 0)
21	7, 12, 14, 16, 20	angvald 26787	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))) = (ℑ‘(log‘((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1))))
22	16	div1d 11915	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
23	22	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (log‘((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1)) = (log‘(1 − (𝐵 / 𝐴))))
24	23	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘((1 − (𝐵 / 𝐴)) / 1))) = (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))))
25	3, 1, 2	absdivd 15412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)))
26		simp3 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵))
27	26	eqcomd 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐵) = (abs‘𝐴))
28	27	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((abs‘𝐵) / (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)))
29	1	abscld 15393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
30	29	recnd 11165	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
31	1, 2	absne0d 15404	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
32	30, 31	dividd 11921	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
33	25, 28, 32	3eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = 1)
34	19	neneqd 2939	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ¬ 1 = (𝐵 / 𝐴))
35		isosctrlem2 26802	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 / 𝐴)) = 1 ∧ ¬ 1 = (𝐵 / 𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (ℑ‘(log‘(-(𝐵 / 𝐴) / (1 − (𝐵 / 𝐴))))))
36	15, 33, 34, 35	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (ℑ‘(log‘(-(𝐵 / 𝐴) / (1 − (𝐵 / 𝐴))))))
37	15	negcld 11484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
38		simp22 1214	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → 𝐵 ≠ 0)
39	3, 1, 38, 2	divne0d 11939	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
40	15, 39	negne0d 11495	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
41	7, 16, 20, 37, 40	angvald 26787	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)) = (ℑ‘(log‘(-(𝐵 / 𝐴) / (1 − (𝐵 / 𝐴))))))
42	36, 41	eqtr4d 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘(1 − (𝐵 / 𝐴)))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
43	21, 24, 42	3eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
44	1	mulridd 11154	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
45	1, 12, 15	subdid 11598	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((𝐴 · 1) − (𝐴 · (𝐵 / 𝐴))))
46	3, 1, 2	divcan2d 11925	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐴)) = 𝐵)
47	44, 46	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · 1) − (𝐴 · (𝐵 / 𝐴))) = (𝐴 − 𝐵))
48	45, 47	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴))) = (𝐴 − 𝐵))
49	44, 48	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)))
50	7	angcan 26785	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ ((1 − (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))))
51	12, 14, 16, 20, 1, 2, 50	syl222anc 1394	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · 1)𝐹(𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))) = (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))))
52	49, 51	eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)) = (1𝐹(1 − (𝐵 / 𝐴))))
53	1, 15	mulneg2d 11596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · -(𝐵 / 𝐴)) = -(𝐴 · (𝐵 / 𝐴)))
54	46	negeqd 11379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → -(𝐴 · (𝐵 / 𝐴)) = -𝐵)
55	53, 54	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴 · -(𝐵 / 𝐴)) = -𝐵)
56	48, 55	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · -(𝐵 / 𝐴))) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))
57	7	angcan 26785	. . . . 5 ⊢ ((((1 − (𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) ∧ (-(𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ -(𝐵 / 𝐴) ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · -(𝐵 / 𝐴))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
58	16, 20, 37, 40, 1, 2, 57	syl222anc 1394	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 · (1 − (𝐵 / 𝐴)))𝐹(𝐴 · -(𝐵 / 𝐴))) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
59	56, 58	eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵) = ((1 − (𝐵 / 𝐴))𝐹-(𝐵 / 𝐴)))
60	43, 52, 59	3eqtr4d 2784	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (𝐴𝐹(𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))
61	9, 11, 60	3eqtr3d 2782	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)) → (-𝐴𝐹(𝐵 − 𝐴)) = ((𝐴 − 𝐵)𝐹-𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3880  {csn 4556  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035   − cmin 11369  -cneg 11370   / cdiv 11799  ℑcim 15052  abscabs 15188  logclog 26537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-ioo 13294  df-ioc 13295  df-ico 13296  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-mod 13821  df-seq 13956  df-exp 14016  df-fac 14228  df-bc 14257  df-hash 14285  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15425  df-clim 15442  df-rlim 15443  df-sum 15641  df-ef 16024  df-sin 16026  df-cos 16027  df-pi 16029  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-hom 17236  df-cco 17237  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17458  df-qtop 17463  df-imas 17464  df-xps 17466  df-mre 17540  df-mrc 17541  df-acs 17543  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-mulg 19036  df-cntz 19284  df-cmn 19749  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-cnfld 21349  df-top 22878  df-topon 22895  df-topsp 22917  df-bases 22930  df-cld 23003  df-ntr 23004  df-cls 23005  df-nei 23082  df-lp 23120  df-perf 23121  df-cn 23211  df-cnp 23212  df-haus 23299  df-tx 23546  df-hmeo 23739  df-fil 23830  df-fm 23922  df-flim 23923  df-flf 23924  df-xms 24304  df-ms 24305  df-tms 24306  df-cncf 24864  df-limc 25852  df-dv 25853  df-log 26539

This theorem is referenced by:  isosctr  26804