Theorem breqtrrid 5146

Description: A chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
breqtrrid.1	⊢ 𝐴𝑅𝐵
breqtrrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
breqtrrid	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem breqtrrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breqtrrid.1	. 2 ⊢ 𝐴𝑅𝐵
2		breqtrrid.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	breqtrid 5145	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   class class class wbr 5106

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107

This theorem is used by:  r1sdom  9805  alephordilem1  10176  mulge0  11858  xsubge0  13415  xmulgt0  13437  xmulge0  13438  xlemul1a  13442  sqlecan  14377  bernneq  14397  hashge1  14557  hashge2el2dif  14649  cnpart  15433  sqrt0  15434  bitsfzo  16631  bitsmod  16632  bitsinv1lem  16637  pcge0  17066  prmreclem4  17123  prmreclem5  17124  isnzr2hash  20797  isabvd  21096  abvtrivd  21116  nmolb2d  25064  nmoi  25074  nmoleub  25077  nmo0  25081  ovolge0  25829  itg1ge0a  26059  fta1g  26515  plyrem  26653  taylfval  26713  abelthlem2  26786  sinq12ge0  26864  relogrn  26916  logneg  26943  cxpge0  27038  amgmlem  27344  bposlem5  27642  lgsdir2lem2  27680  2lgsoddprmlem3  27768  rpvmasumlem  27841  mulsge0d  28559  expsgt0  28850  eupth2lem3lem3  30858  eupth2lemb  30865  blocnilem  31433  pjssge0ii  32311  unierri  32733  xlt2addrd  33418  2sqr3minply  34479  locfinref  34540  esumcst  34762  ballotlem5  35199  poimirlem23  38752  poimirlem25  38754  poimirlem26  38755  poimirlem27  38756  poimirlem28  38757  itgaddnclem2  38788  sn-recgt0d  43732  pell14qrgt0  44057  monotoddzzfi  44140  rmxypos  44145  rmygeid  44162  stoweidlem18  47231  stoweidlem55  47268  wallispi2lem1  47284  fourierdlem62  47381  fourierdlem103  47422  fourierdlem104  47423  fourierswlem  47443  2ltceilhalf  48605  ceilhalfnn  48613  pgrpgt2nabl  49681  pw2m1lepw2m1  49835  amgmwlem  51265