Theorem rmxypos 42935

Description: For all nonnegative indices, X is positive and Y is nonnegative. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxypos	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem rmxypos

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 0))
2	1	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 0)))
3		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
4	3	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))
5	2, 4	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))))
7		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑏))
8	7	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏)))
9		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
10	9	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
11	8, 10	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))))
13		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
14	13	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1))))
15		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
16	15	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
17	14, 16	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
18	17	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
19		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑁))
20	19	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 𝑁)))
21		oveq2 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
22	21	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
23	20, 22	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))))
24	23	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))))
25		0lt1 11782	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
26		rmx0 42913	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
27	25, 26	breqtrrid 5185	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝐴 Xrm 0))
28		0le0 12364	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
29		rmy0 42917	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
30	28, 29	breqtrrid 5185	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))
31	27, 30	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))
32		simp2 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
33		nn0z 12635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
34	33	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℤ)
35		frmx 42901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
36	35	fovcl 7560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
37	32, 34, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
38	37	nn0red 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ)
39		eluzelre 12886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
40	39	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 𝐴 ∈ ℝ)
41	38, 40	remulcld 11288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℝ)
42		rmspecpos 42904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
43	42	rpred 13074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
44	43	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
45		frmy 42902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
46	45	fovcl 7560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
47	32, 34, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
48	47	zred 12719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
49	44, 48	remulcld 11288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℝ)
50		simp3l 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < (𝐴 Xrm 𝑏))
51		eluz2nn 12921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
52	51	nngt0d 12312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝐴)
53	52	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < 𝐴)
54	38, 40, 50, 53	mulgt0d 11413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴))
55	42	rpge0d 13078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − 1))
56	55	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − 1))
57		simp3r 1201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
58	44, 48, 56, 57	mulge0d 11837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
59	41, 49, 54, 58	addgtge0d 11834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
60		rmxp1 42920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
61	32, 34, 60	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
62	59, 61	breqtrrd 5175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
63	48, 40	remulcld 11288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℝ)
64		eluzge2nn0 12926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
65	64	nn0ge0d 12587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
66	65	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ 𝐴)
67	48, 40, 57, 66	mulge0d 11837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))
68	37	nn0ge0d 12587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑏))
69	63, 38, 67, 68	addge0d 11836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
70		rmyp1 42921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
71	32, 34, 70	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
72	69, 71	breqtrrd 5175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
73	62, 72	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
74	73	3exp 1118	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
75	74	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
76	6, 12, 18, 24, 31, 75	nn0ind 12710	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))))
77	76	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489  2c2 12318  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  ↑cexp 14098   X_rm crmx 42887   Y_rm crmy 42888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-numer 16768  df-denom 16769  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-squarenn 42828  df-pell1qr 42829  df-pell14qr 42830  df-pell1234qr 42831  df-pellfund 42832  df-rmx 42889  df-rmy 42890

This theorem is referenced by:  ltrmynn0  42936  ltrmxnn0  42937  rmxnn  42939  rmynn0  42945  rmyabs  42946  jm2.24nn  42947  jm2.17b  42949