Theorem rmxypos 43393

Description: For all nonnegative indices, X is positive and Y is nonnegative. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxypos	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem rmxypos

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 0))
2	1	breq2d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 0)))
3		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
4	3	breq2d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))
5	2, 4	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))))
7		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑏))
8	7	breq2d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏)))
9		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
10	9	breq2d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
11	8, 10	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))))
13		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
14	13	breq2d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1))))
15		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
16	15	breq2d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
17	14, 16	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
18	17	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
19		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑁))
20	19	breq2d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 𝑁)))
21		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
22	21	breq2d 5098	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
23	20, 22	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))))
24	23	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))))
25		0lt1 11663	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
26		rmx0 43371	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
27	25, 26	breqtrrid 5124	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝐴 Xrm 0))
28		0le0 12273	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
29		rmy0 43375	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
30	28, 29	breqtrrid 5124	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))
31	27, 30	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))
32		simp2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
33		nn0z 12539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
34	33	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℤ)
35		frmx 43359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
36	35	fovcl 7488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
37	32, 34, 36	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
38	37	nn0red 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ)
39		eluzelre 12790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
40	39	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 𝐴 ∈ ℝ)
41	38, 40	remulcld 11166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℝ)
42		rmspecpos 43362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
43	42	rpred 12977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
44	43	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
45		frmy 43360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
46	45	fovcl 7488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
47	32, 34, 46	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
48	47	zred 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
49	44, 48	remulcld 11166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℝ)
50		simp3l 1203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < (𝐴 Xrm 𝑏))
51		eluz2nn 12829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
52	51	nngt0d 12217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝐴)
53	52	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < 𝐴)
54	38, 40, 50, 53	mulgt0d 11292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴))
55	42	rpge0d 12981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − 1))
56	55	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − 1))
57		simp3r 1204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
58	44, 48, 56, 57	mulge0d 11718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
59	41, 49, 54, 58	addgtge0d 11715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
60		rmxp1 43378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
61	32, 34, 60	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
62	59, 61	breqtrrd 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
63	48, 40	remulcld 11166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℝ)
64		eluzge2nn0 12833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
65	64	nn0ge0d 12492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
66	65	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ 𝐴)
67	48, 40, 57, 66	mulge0d 11718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))
68	37	nn0ge0d 12492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑏))
69	63, 38, 67, 68	addge0d 11717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
70		rmyp1 43379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
71	32, 34, 70	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
72	69, 71	breqtrrd 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
73	62, 72	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
74	73	3exp 1120	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
75	74	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
76	6, 12, 18, 24, 31, 75	nn0ind 12615	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))))
77	76	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ↑cexp 14014   X_rm crmx 43346   Y_rm crmy 43347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-numer 16696  df-denom 16697  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-squarenn 43287  df-pell1qr 43288  df-pell14qr 43289  df-pell1234qr 43290  df-pellfund 43291  df-rmx 43348  df-rmy 43349

This theorem is referenced by:  ltrmynn0  43394  ltrmxnn0  43395  rmxnn  43397  rmynn0  43403  rmyabs  43404  jm2.24nn  43405  jm2.17b  43407