Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxypos Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rmxypos 42246
Description: For all nonnegative indices, X is positive and Y is nonnegative. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxypos ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))
Proof of Theorem rmxypos
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7412 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 0))
21breq2d 5153 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (0 < (𝐴 Xrm π‘Ž) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 0)))
3 oveq2 7412 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 0))
43breq2d 5153 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (0 ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž) ↔ 0 ≀ (𝐴 Yrm 0)))
52, 4anbi12d 630 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((0 < (𝐴 Xrm π‘Ž) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 0))))
65imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 < (𝐴 Xrm π‘Ž) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž))) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 0)))))
7 oveq2 7412 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑏))
87breq2d 5153 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (0 < (𝐴 Xrm π‘Ž) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏)))
9 oveq2 7412 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑏))
109breq2d 5153 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (0 ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž) ↔ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)))
118, 10anbi12d 630 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((0 < (𝐴 Xrm π‘Ž) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))))
1211imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 < (𝐴 Xrm π‘Ž) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž))) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)))))
13 oveq2 7412 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
1413breq2d 5153 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (0 < (𝐴 Xrm π‘Ž) ↔ 0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1))))
15 oveq2 7412 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
1615breq2d 5153 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (0 ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž) ↔ 0 ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
1714, 16anbi12d 630 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((0 < (𝐴 Xrm π‘Ž) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
1817imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 < (𝐴 Xrm π‘Ž) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž))) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
19 oveq2 7412 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Xrm π‘Ž) = (𝐴 Xrm 𝑁))
2019breq2d 5153 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (0 < (𝐴 Xrm π‘Ž) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 𝑁)))
21 oveq2 7412 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑁))
2221breq2d 5153 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (0 ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž) ↔ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))
2320, 22anbi12d 630 . . . 4 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((0 < (𝐴 Xrm π‘Ž) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑁))))
2423imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 < (𝐴 Xrm π‘Ž) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž))) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))))
25 0lt1 11737 . . . . 5 0 < 1
26 rmx0 42224 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Xrm 0) = 1)
2725, 26breqtrrid 5179 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 < (𝐴 Xrm 0))
28 0le0 12314 . . . . 5 0 ≀ 0
29 rmy0 42228 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
3028, 29breqtrrid 5179 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ≀ (𝐴 Yrm 0))
3127, 30jca 511 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 0)))
32 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
33 nn0z 12584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ β„€)
34333ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
35 frmx 42212 . . . . . . . . . . . 12 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
3635fovcl 7532 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„•0)
3732, 34, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ β„•0)
3837nn0red 12534 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ)
39 eluzelre 12834 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
40393ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4138, 40remulcld 11245 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ ℝ)
42 rmspecpos 42215 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ ℝ+)
4342rpred 13019 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
44433ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
45 frmy 42213 . . . . . . . . . . . 12 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
4645fovcl 7532 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
4732, 34, 46syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
4847zred 12667 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
4944, 48remulcld 11245 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℝ)
50 simp3l 1198 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏))
51 eluz2nn 12869 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
5251nngt0d 12262 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 < 𝐴)
53523ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 0 < 𝐴)
5438, 40, 50, 53mulgt0d 11370 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 0 < ((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴))
5542rpge0d 13023 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ≀ ((𝐴↑2) βˆ’ 1))
56553ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 0 ≀ ((𝐴↑2) βˆ’ 1))
57 simp3r 1199 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))
5844, 48, 56, 57mulge0d 11792 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 0 ≀ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏)))
5941, 49, 54, 58addgtge0d 11789 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 0 < (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
60 rmxp1 42231 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
6132, 34, 60syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑏))))
6259, 61breqtrrd 5169 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
6348, 40remulcld 11245 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) ∈ ℝ)
64 eluzge2nn0 12872 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
6564nn0ge0d 12536 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ≀ 𝐴)
66653ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 0 ≀ 𝐴)
6748, 40, 57, 66mulge0d 11792 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 0 ≀ ((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴))
6837nn0ge0d 12536 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 0 ≀ (𝐴 Xrm 𝑏))
6963, 38, 67, 68addge0d 11791 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 0 ≀ (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
70 rmyp1 42232 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
7132, 34, 70syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑏) Β· 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
7269, 71breqtrrd 5169 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ 0 ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
7362, 72jca 511 . . . . 5 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
74733exp 1116 . . . 4 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
7574a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
766, 12, 18, 24, 31, 75nn0ind 12658 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑁))))
7776impcom 407 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   < clt 11249   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  2c2 12268  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  β†‘cexp 14029   Xrm crmx 42198   Yrm crmy 42199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016  df-cos 16017  df-pi 16019  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-numer 16677  df-denom 16678  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-log 26440  df-squarenn 42139  df-pell1qr 42140  df-pell14qr 42141  df-pell1234qr 42142  df-pellfund 42143  df-rmx 42200  df-rmy 42201
This theorem is referenced by:  ltrmynn0  42247  ltrmxnn0  42248  rmxnn  42250  rmynn0  42256  rmyabs  42257  jm2.24nn  42258  jm2.17b  42260
  Copyright terms: Public domain W3C validator