Theorem sqlecan 14118

Description: Cancel one factor of a square in a ≤ comparison. Unlike lemul1 11980, the common factor 𝐴 may be zero. (Contributed by NM, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sqlecan	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem sqlecan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11121	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leloe 11206	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4		recn 11103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		sqval 14023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
7	6	breq1d 5103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
9		lemul1 11980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
10	8, 9	bitr4d 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
11	10	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
12	11	exp4a 431	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵)))))
13	12	pm2.43a 54	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
14	13	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
15	14	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
16		sq0 14101	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑2) = 0
17		0le0 12233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
18	16, 17	eqbrtri 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0↑2) ≤ 0
19		recn 11103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	mul01d 11319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
21	18, 20	breqtrrid 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0↑2) ≤ (𝐵 · 0))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0↑2) ≤ (𝐵 · 0))
23		oveq1 7359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝐴 → (0↑2) = (𝐴↑2))
24		oveq2 7360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝐴 → (𝐵 · 0) = (𝐵 · 𝐴))
25	23, 24	breq12d 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝐴 → ((0↑2) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0↑2) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
27	22, 26	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴))
28	27	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴))
29		breq1 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
30	29	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
31	30	adantrl 716	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
32	28, 31	2thd 265	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
33	32	ex 412	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵)))
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
35	15, 34	jaod 859	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
36	3, 35	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
37	36	imp31 417	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013   · cmul 11018   < clt 11153   ≤ cle 11154  2c2 12187  ↑cexp 13970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-seq 13911  df-exp 13971

This theorem is referenced by: (None)