Theorem sqlecan 14356

Description: Cancel one factor of a square in a ≤ comparison. Unlike lemul1 12172, the common factor 𝐴 may be zero. (Contributed by NM, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sqlecan	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem sqlecan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11313	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leloe 11399	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
3	1, 2	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4		recn 11293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		sqval 14260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
7	6	breq1d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
9		lemul1 12172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
10	8, 9	bitr4d 285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
11	10	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
12	11	exp4a 437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵)))))
13	12	pm2.43a 55	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
14	13	adantrd 497	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
15	14	com23 87	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
16		sq0 14338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑2) = 0
17		0le0 12447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
18	16, 17	eqbrtri 5125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0↑2) ≤ 0
19		recn 11293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	mul01d 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
21	18, 20	breqtrrid 5142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0↑2) ≤ (𝐵 · 0))
22	21	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0↑2) ≤ (𝐵 · 0))
23		oveq1 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝐴 → (0↑2) = (𝐴↑2))
24		oveq2 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝐴 → (𝐵 · 0) = (𝐵 · 𝐴))
25	23, 24	breq12d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝐴 → ((0↑2) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
26	25	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0↑2) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
27	22, 26	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴))
28	27	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴))
29		breq1 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
30	29	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
31	30	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
32	28, 31	2thd 268	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
33	32	ex 418	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵)))
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
35	15, 34	jaod 873	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
36	3, 35	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
37	36	imp31 423	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203   · cmul 11208   < clt 11346   ≤ cle 11347  2c2 12400  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by: (None)