Theorem sqlecan 14277

Description: Cancel one factor of a square in a ≤ comparison. Unlike lemul1 12095, the common factor 𝐴 may be zero. (Contributed by NM, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sqlecan	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem sqlecan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11238	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leloe 11324	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
3	1, 2	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4		recn 11218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		sqval 14182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
7	6	breq1d 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
9		lemul1 12095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
10	8, 9	bitr4d 285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
11	10	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
12	11	exp4a 437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵)))))
13	12	pm2.43a 55	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
14	13	adantrd 497	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
15	14	com23 87	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
16		sq0 14260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑2) = 0
17		0le0 12370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
18	16, 17	eqbrtri 5130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0↑2) ≤ 0
19		recn 11218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	mul01d 11437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
21	18, 20	breqtrrid 5147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0↑2) ≤ (𝐵 · 0))
22	21	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0↑2) ≤ (𝐵 · 0))
23		oveq1 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝐴 → (0↑2) = (𝐴↑2))
24		oveq2 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝐴 → (𝐵 · 0) = (𝐵 · 𝐴))
25	23, 24	breq12d 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝐴 → ((0↑2) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
26	25	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0↑2) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
27	22, 26	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴))
28	27	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴))
29		breq1 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
30	29	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
31	30	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
32	28, 31	2thd 268	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
33	32	ex 418	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵)))
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
35	15, 34	jaod 873	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
36	3, 35	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
37	36	imp31 423	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272  2c2 12323  ↑cexp 14129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-seq 14070  df-exp 14130

This theorem is used by: (None)