Theorem sqlecan 14258

Description: Cancel one factor of a square in a ≤ comparison. Unlike lemul1 12146, the common factor 𝐴 may be zero. (Contributed by NM, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sqlecan	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem sqlecan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11292	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leloe 11376	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
3	1, 2	mpan 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4		recn 11274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		sqval 14165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
7	6	breq1d 5176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
9		lemul1 12146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
10	8, 9	bitr4d 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
11	10	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
12	11	exp4a 431	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵)))))
13	12	pm2.43a 54	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
14	13	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
15	14	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
16		sq0 14241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑2) = 0
17		0le0 12394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
18	16, 17	eqbrtri 5187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0↑2) ≤ 0
19		recn 11274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	mul01d 11489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
21	18, 20	breqtrrid 5204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0↑2) ≤ (𝐵 · 0))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0↑2) ≤ (𝐵 · 0))
23		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝐴 → (0↑2) = (𝐴↑2))
24		oveq2 7456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝐴 → (𝐵 · 0) = (𝐵 · 𝐴))
25	23, 24	breq12d 5179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝐴 → ((0↑2) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0↑2) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
27	22, 26	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴))
28	27	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴))
29		breq1 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
30	29	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
31	30	adantrl 715	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
32	28, 31	2thd 265	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
33	32	ex 412	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵)))
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
35	15, 34	jaod 858	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
36	3, 35	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
37	36	imp31 417	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325  2c2 12348  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by: (None)