Theorem sqlecan 14232

Description: Cancel one factor of a square in a ≤ comparison. Unlike lemul1 12098, the common factor 𝐴 may be zero. (Contributed by NM, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sqlecan	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem sqlecan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11242	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leloe 11326	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4		recn 11224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5		sqval 14137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
7	6	breq1d 5134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
9		lemul1 12098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
10	8, 9	bitr4d 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
11	10	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
12	11	exp4a 431	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵)))))
13	12	pm2.43a 54	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
14	13	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
15	14	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
16		sq0 14215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑2) = 0
17		0le0 12346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
18	16, 17	eqbrtri 5145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0↑2) ≤ 0
19		recn 11224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
20	19	mul01d 11439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
21	18, 20	breqtrrid 5162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (0↑2) ≤ (𝐵 · 0))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0↑2) ≤ (𝐵 · 0))
23		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝐴 → (0↑2) = (𝐴↑2))
24		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝐴 → (𝐵 · 0) = (𝐵 · 𝐴))
25	23, 24	breq12d 5137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 = 𝐴 → ((0↑2) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0↑2) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
27	22, 26	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴))
28	27	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴))
29		breq1 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
30	29	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
31	30	adantrl 716	. . . . . . 7 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
32	28, 31	2thd 265	. . . . . 6 ⊢ ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
33	32	ex 412	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵)))
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
35	15, 34	jaod 859	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
36	3, 35	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))))
37	36	imp31 417	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134   · cmul 11139   < clt 11274   ≤ cle 11275  2c2 12300  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by: (None)