MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqlecan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqlecan 13178
Description: Cancel one factor of a square in a comparison. Unlike lemul1 11129, the common factor 𝐴 may be zero. (Contributed by NM, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sqlecan (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))

Proof of Theorem sqlecan
StepHypRef Expression
1 0re 10295 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 leloe 10378 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
31, 2mpan 681 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4 recn 10279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5 sqval 13129 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
76breq1d 4819 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
873ad2ant1 1163 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
9 lemul1 11129 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
108, 9bitr4d 273 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
11103exp 1148 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))))
1211exp4a 422 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵)))))
1312pm2.43a 54 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))))
1413adantrd 485 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))))
1514com23 86 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))))
16 sq0 13162 . . . . . . . . . . . 12 (0↑2) = 0
17 0le0 11380 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 0
1816, 17eqbrtri 4830 . . . . . . . . . . 11 (0↑2) ≤ 0
19 recn 10279 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
2019mul01d 10489 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
2118, 20syl5breqr 4847 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (0↑2) ≤ (𝐵 · 0))
2221adantl 473 . . . . . . . . 9 ((0 = 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → (0↑2) ≤ (𝐵 · 0))
23 oveq1 6849 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝐴 → (0↑2) = (𝐴↑2))
24 oveq2 6850 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝐴 → (𝐵 · 0) = (𝐵 · 𝐴))
2523, 24breq12d 4822 . . . . . . . . . 10 (0 = 𝐴 → ((0↑2) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
2625adantr 472 . . . . . . . . 9 ((0 = 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → ((0↑2) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
2722, 26mpbid 223 . . . . . . . 8 ((0 = 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴))
2827adantrr 708 . . . . . . 7 ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴))
29 breq1 4812 . . . . . . . . 9 (0 = 𝐴 → (0 ≤ 𝐵𝐴𝐵))
3029biimpa 468 . . . . . . . 8 ((0 = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵)
3130adantrl 707 . . . . . . 7 ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴𝐵)
3228, 312thd 256 . . . . . 6 ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
3332ex 401 . . . . 5 (0 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵)))
3433a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))))
3515, 34jaod 885 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))))
363, 35sylbid 231 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))))
3736imp31 408 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  2c2 11327  cexp 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator