MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqlecan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqlecan 14173
Description: Cancel one factor of a square in a โ‰ค comparison. Unlike lemul1 12066, the common factor ๐ด may be zero. (Contributed by NM, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sqlecan (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))

Proof of Theorem sqlecan
StepHypRef Expression
1 0re 11216 . . . 4 0 โˆˆ โ„
2 leloe 11300 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
31, 2mpan 689 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
4 recn 11200 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 sqval 14080 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ดโ†‘2) = (๐ด ยท ๐ด))
76breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด)))
873ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด)))
9 lemul1 12066 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด)))
108, 9bitr4d 282 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
11103exp 1120 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))))
1211exp4a 433 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต)))))
1312pm2.43a 54 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))))
1413adantrd 493 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (0 < ๐ด โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))))
1514com23 86 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))))
16 sq0 14156 . . . . . . . . . . . 12 (0โ†‘2) = 0
17 0le0 12313 . . . . . . . . . . . 12 0 โ‰ค 0
1816, 17eqbrtri 5170 . . . . . . . . . . 11 (0โ†‘2) โ‰ค 0
19 recn 11200 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2019mul01d 11413 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
2118, 20breqtrrid 5187 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (0โ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท 0))
2221adantl 483 . . . . . . . . 9 ((0 = ๐ด โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0โ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท 0))
23 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (0 = ๐ด โ†’ (0โ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
24 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (0 = ๐ด โ†’ (๐ต ยท 0) = (๐ต ยท ๐ด))
2523, 24breq12d 5162 . . . . . . . . . 10 (0 = ๐ด โ†’ ((0โ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท 0) โ†” (๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด)))
2625adantr 482 . . . . . . . . 9 ((0 = ๐ด โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0โ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท 0) โ†” (๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด)))
2722, 26mpbid 231 . . . . . . . 8 ((0 = ๐ด โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด))
2827adantrr 716 . . . . . . 7 ((0 = ๐ด โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด))
29 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (0 = ๐ด โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
3029biimpa 478 . . . . . . . 8 ((0 = ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
3130adantrl 715 . . . . . . 7 ((0 = ๐ด โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
3228, 312thd 265 . . . . . 6 ((0 = ๐ด โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
3332ex 414 . . . . 5 (0 = ๐ด โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต)))
3433a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 = ๐ด โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))))
3515, 34jaod 858 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด) โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))))
363, 35sylbid 239 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†’ ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))))
3736imp31 419 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰ค (๐ต ยท ๐ด) โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249  2c2 12267  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator