MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqlecan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqlecan 13178
Description: Cancel one factor of a square in a comparison. Unlike lemul1 11077, the common factor 𝐴 may be zero. (Contributed by NM, 17-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sqlecan (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))

Proof of Theorem sqlecan
StepHypRef Expression
1 0re 10242 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 leloe 10326 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
31, 2mpan 670 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4 recn 10228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5 sqval 13129 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
76breq1d 4796 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
873ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
9 lemul1 11077 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐴) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
108, 9bitr4d 271 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
11103exp 1112 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))))
1211exp4a 418 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵)))))
1312pm2.43a 54 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))))
1413adantrd 479 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐴 → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))))
1514com23 86 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))))
16 sq0 13162 . . . . . . . . . . . 12 (0↑2) = 0
17 0le0 11312 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 0
1816, 17eqbrtri 4807 . . . . . . . . . . 11 (0↑2) ≤ 0
19 recn 10228 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
2019mul01d 10437 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 0) = 0)
2118, 20syl5breqr 4824 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (0↑2) ≤ (𝐵 · 0))
2221adantl 467 . . . . . . . . 9 ((0 = 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → (0↑2) ≤ (𝐵 · 0))
23 oveq1 6800 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝐴 → (0↑2) = (𝐴↑2))
24 oveq2 6801 . . . . . . . . . . 11 (0 = 𝐴 → (𝐵 · 0) = (𝐵 · 𝐴))
2523, 24breq12d 4799 . . . . . . . . . 10 (0 = 𝐴 → ((0↑2) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
2625adantr 466 . . . . . . . . 9 ((0 = 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → ((0↑2) ≤ (𝐵 · 0) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴)))
2722, 26mpbid 222 . . . . . . . 8 ((0 = 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴))
2827adantrr 696 . . . . . . 7 ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴))
29 breq1 4789 . . . . . . . . 9 (0 = 𝐴 → (0 ≤ 𝐵𝐴𝐵))
3029biimpa 462 . . . . . . . 8 ((0 = 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 𝐴𝐵)
3130adantrl 695 . . . . . . 7 ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 𝐴𝐵)
3228, 312thd 255 . . . . . 6 ((0 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
3332ex 397 . . . . 5 (0 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵)))
3433a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))))
3515, 34jaod 848 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))))
363, 35sylbid 230 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))))
3736imp31 404 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → ((𝐴↑2) ≤ (𝐵 · 𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  2c2 11272  cexp 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator