Theorem rmygeid 42935

Description: Y(n) increases faster than n. Used implicitly without proof or comment in lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmygeid	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))

Proof of Theorem rmygeid

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
2		oveq2 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
3	1, 2	breq12d 5132	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))
4	3	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))))
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → 𝑎 = 𝑏)
6		oveq2 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
7	5, 6	breq12d 5132	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))))
9		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → 𝑎 = (𝑏 + 1))
10		oveq2 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
11	9, 10	breq12d 5132	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
13		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → 𝑎 = 𝑁)
14		oveq2 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
15	13, 14	breq12d 5132	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
16	15	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))))
17		0le0 12339	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
18		rmy0 42900	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
19	17, 18	breqtrrid 5157	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))
20		nn0z 12611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
21	20	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
22	21	peano2zd 12698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
23	22	zred 12695	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ∈ ℝ)
24		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
25		frmy 42885	. . . . . . . . . 10 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
26	25	fovcl 7533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
27	24, 21, 26	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
28	27	peano2zd 12698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ∈ ℤ)
29	28	zred 12695	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ∈ ℝ)
30	25	fovcl 7533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
31	24, 22, 30	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
32	31	zred 12695	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
33		nn0re 12508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℝ)
34	33	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
35	27	zred 12695	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
36		1red 11234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 1 ∈ ℝ)
37		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
38	34, 35, 36, 37	leadd1dd 11849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ≤ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1))
39	34	ltp1d 12170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 < (𝑏 + 1))
40		ltrmy 42923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝑏 < (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
41	24, 21, 22, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 < (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
42	39, 41	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
43		zltp1le 12640	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
44	27, 31, 43	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
45	42, 44	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
46	23, 29, 32, 38, 45	letrd 11390	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
47	46	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
48	47	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
49	4, 8, 12, 16, 19, 48	nn0ind 12686	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
50	49	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11267   ≤ cle 11268  2c2 12293  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850   Y_rm crmy 42871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-acn 9954  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-fac 14290  df-bc 14319  df-hash 14347  df-shft 15084  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15485  df-clim 15502  df-rlim 15503  df-sum 15701  df-ef 16081  df-sin 16083  df-cos 16084  df-pi 16086  df-dvds 16271  df-gcd 16512  df-numer 16752  df-denom 16753  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-ntr 22956  df-cls 22957  df-nei 23034  df-lp 23072  df-perf 23073  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-haus 23251  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-fil 23782  df-fm 23874  df-flim 23875  df-flf 23876  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-cncf 24820  df-limc 25817  df-dv 25818  df-log 26515  df-squarenn 42811  df-pell1qr 42812  df-pell14qr 42813  df-pell1234qr 42814  df-pellfund 42815  df-rmx 42872  df-rmy 42873

This theorem is referenced by:  jm2.27a  42976  jm2.27c  42978  expdiophlem1  42992