Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmygeid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmygeid 41265
Description: Y(n) increases faster than n. Used implicitly without proof or comment in lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmygeid ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))

Proof of Theorem rmygeid
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
2 oveq2 7364 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
31, 2breq12d 5118 . . . 4 (𝑎 = 0 → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))
43imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))))
5 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
6 oveq2 7364 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
75, 6breq12d 5118 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
87imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))))
9 id 22 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → 𝑎 = (𝑏 + 1))
10 oveq2 7364 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
119, 10breq12d 5118 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
13 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁𝑎 = 𝑁)
14 oveq2 7364 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
1513, 14breq12d 5118 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
1615imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))))
17 0le0 12253 . . . 4 0 ≤ 0
18 rmy0 41230 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
1917, 18breqtrrid 5143 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))
20 nn0z 12523 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
21203ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
2221peano2zd 12609 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
2322zred 12606 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ∈ ℝ)
24 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
25 frmy 41215 . . . . . . . . . 10 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
2625fovcl 7483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2724, 21, 26syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2827peano2zd 12609 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ∈ ℤ)
2928zred 12606 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ∈ ℝ)
3025fovcl 7483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
3124, 22, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
3231zred 12606 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
33 nn0re 12421 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℝ)
34333ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
3527zred 12606 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
36 1red 11155 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 1 ∈ ℝ)
37 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
3834, 35, 36, 37leadd1dd 11768 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ≤ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1))
3934ltp1d 12084 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 < (𝑏 + 1))
40 ltrmy 41253 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝑏 < (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4124, 21, 22, 40syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 < (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4239, 41mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
43 zltp1le 12552 . . . . . . . 8 (((𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4427, 31, 43syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4542, 44mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
4623, 29, 32, 38, 45letrd 11311 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
47463exp 1119 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
4847a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
494, 8, 12, 16, 19, 48nn0ind 12597 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
5049impcom 408 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7356  cr 11049  0cc0 11050  1c1 11051   + caddc 11053   < clt 11188  cle 11189  2c2 12207  0cn0 12412  cz 12498  cuz 12762   Yrm crmy 41201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-inf2 9576  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128  ax-addf 11129  ax-mulf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-supp 8092  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8647  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9305  df-fi 9346  df-sup 9377  df-inf 9378  df-oi 9445  df-card 9874  df-acn 9877  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-xnn0 12485  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-q 12873  df-rp 12915  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13906  df-exp 13967  df-fac 14173  df-bc 14202  df-hash 14230  df-shft 14951  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-limsup 15352  df-clim 15369  df-rlim 15370  df-sum 15570  df-ef 15949  df-sin 15951  df-cos 15952  df-pi 15954  df-dvds 16136  df-gcd 16374  df-numer 16609  df-denom 16610  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-starv 17147  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-unif 17155  df-hom 17156  df-cco 17157  df-rest 17303  df-topn 17304  df-0g 17322  df-gsum 17323  df-topgen 17324  df-pt 17325  df-prds 17328  df-xrs 17383  df-qtop 17388  df-imas 17389  df-xps 17391  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-submnd 18601  df-mulg 18871  df-cntz 19095  df-cmn 19562  df-psmet 20786  df-xmet 20787  df-met 20788  df-bl 20789  df-mopn 20790  df-fbas 20791  df-fg 20792  df-cnfld 20795  df-top 22241  df-topon 22258  df-topsp 22280  df-bases 22294  df-cld 22368  df-ntr 22369  df-cls 22370  df-nei 22447  df-lp 22485  df-perf 22486  df-cn 22576  df-cnp 22577  df-haus 22664  df-tx 22911  df-hmeo 23104  df-fil 23195  df-fm 23287  df-flim 23288  df-flf 23289  df-xms 23671  df-ms 23672  df-tms 23673  df-cncf 24239  df-limc 25228  df-dv 25229  df-log 25910  df-squarenn 41141  df-pell1qr 41142  df-pell14qr 41143  df-pell1234qr 41144  df-pellfund 41145  df-rmx 41202  df-rmy 41203
This theorem is referenced by:  jm2.27a  41306  jm2.27c  41308  expdiophlem1  41322
  Copyright terms: Public domain W3C validator