Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmygeid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmygeid 39903
Description: Y(n) increases faster than n. Used implicitly without proof or comment in lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmygeid ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))

Proof of Theorem rmygeid
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 0 → 𝑎 = 0)
2 oveq2 7143 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
31, 2breq12d 5043 . . . 4 (𝑎 = 0 → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))
43imbi2d 344 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))))
5 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
6 oveq2 7143 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
75, 6breq12d 5043 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
87imbi2d 344 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))))
9 id 22 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → 𝑎 = (𝑏 + 1))
10 oveq2 7143 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
119, 10breq12d 5043 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
1211imbi2d 344 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
13 id 22 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁𝑎 = 𝑁)
14 oveq2 7143 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
1513, 14breq12d 5043 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → (𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
1615imbi2d 344 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))))
17 0le0 11726 . . . 4 0 ≤ 0
18 rmy0 39868 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
1917, 18breqtrrid 5068 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))
20 nn0z 11993 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
21203ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
2221peano2zd 12078 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
2322zred 12075 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ∈ ℝ)
24 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
25 frmy 39853 . . . . . . . . . 10 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
2625fovcl 7258 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2724, 21, 26syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
2827peano2zd 12078 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ∈ ℤ)
2928zred 12075 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ∈ ℝ)
3025fovcl 7258 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
3124, 22, 30syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
3231zred 12075 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
33 nn0re 11894 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℝ)
34333ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℝ)
3527zred 12075 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
36 1red 10631 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 1 ∈ ℝ)
37 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
3834, 35, 36, 37leadd1dd 11243 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ≤ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1))
3934ltp1d 11559 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → 𝑏 < (𝑏 + 1))
40 ltrmy 39891 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝑏 < (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4124, 21, 22, 40syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 < (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4239, 41mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
43 zltp1le 12020 . . . . . . . 8 (((𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4427, 31, 43syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4542, 44mpbid 235 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
4623, 29, 32, 38, 45letrd 10786 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
47463exp 1116 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
4847a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑏 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝑏 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
494, 8, 12, 16, 19, 48nn0ind 12065 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
5049impcom 411 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  cle 10665  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231   Yrm crmy 39840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-numer 16065  df-denom 16066  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-log 25148  df-squarenn 39780  df-pell1qr 39781  df-pell14qr 39782  df-pell1234qr 39783  df-pellfund 39784  df-rmx 39841  df-rmy 39842
This theorem is referenced by:  jm2.27a  39944  jm2.27c  39946  expdiophlem1  39960
  Copyright terms: Public domain W3C validator