Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmygeid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rmygeid 42005
Description: Y(n) increases faster than n. Used implicitly without proof or comment in lemma 2.27 of [JonesMatijasevic] p. 697. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmygeid ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ≀ (𝐴 Yrm 𝑁))
Proof of Theorem rmygeid
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ π‘Ž = 0)
2 oveq2 7419 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 0))
31, 2breq12d 5161 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž) ↔ 0 ≀ (𝐴 Yrm 0)))
43imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ π‘Ž ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ≀ (𝐴 Yrm 0))))
5 id 22 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ π‘Ž = 𝑏)
6 oveq2 7419 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑏))
75, 6breq12d 5161 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž) ↔ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)))
87imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ π‘Ž ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))))
9 id 22 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ π‘Ž = (𝑏 + 1))
10 oveq2 7419 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
119, 10breq12d 5161 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π‘Ž ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž) ↔ (𝑏 + 1) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
1211imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ π‘Ž ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑏 + 1) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
13 id 22 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ π‘Ž = 𝑁)
14 oveq2 7419 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Yrm π‘Ž) = (𝐴 Yrm 𝑁))
1513, 14breq12d 5161 . . . 4 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (π‘Ž ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž) ↔ 𝑁 ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))
1615imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ π‘Ž ≀ (𝐴 Yrm π‘Ž)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ≀ (𝐴 Yrm 𝑁))))
17 0le0 12317 . . . 4 0 ≀ 0
18 rmy0 41970 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
1917, 18breqtrrid 5186 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ≀ (𝐴 Yrm 0))
20 nn0z 12587 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ β„€)
21203ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
2221peano2zd 12673 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ (𝑏 + 1) ∈ β„€)
2322zred 12670 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ (𝑏 + 1) ∈ ℝ)
24 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
25 frmy 41955 . . . . . . . . . 10 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2625fovcl 7539 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
2724, 21, 26syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
2827peano2zd 12673 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ∈ β„€)
2928zred 12670 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ∈ ℝ)
3025fovcl 7539 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ β„€)
3124, 22, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ β„€)
3231zred 12670 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
33 nn0re 12485 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
34333ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
3527zred 12670 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
36 1red 11219 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ 1 ∈ ℝ)
37 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏))
3834, 35, 36, 37leadd1dd 11832 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ (𝑏 + 1) ≀ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1))
3934ltp1d 12148 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ 𝑏 < (𝑏 + 1))
40 ltrmy 41993 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝑏 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝑏 < (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4124, 21, 22, 40syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ (𝑏 < (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4239, 41mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
43 zltp1le 12616 . . . . . . . 8 (((𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4427, 31, 43syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
4542, 44mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑏) + 1) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
4623, 29, 32, 38, 45letrd 11375 . . . . 5 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ (𝑏 + 1) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
47463exp 1119 . . . 4 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏) β†’ (𝑏 + 1) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
4847a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑏 ≀ (𝐴 Yrm 𝑏)) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑏 + 1) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
494, 8, 12, 16, 19, 48nn0ind 12661 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))
5049impcom 408 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ≀ (𝐴 Yrm 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826   Yrm crmy 41941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-numer 16675  df-denom 16676  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25607  df-dv 25608  df-log 26289  df-squarenn 41881  df-pell1qr 41882  df-pell14qr 41883  df-pell1234qr 41884  df-pellfund 41885  df-rmx 41942  df-rmy 41943
This theorem is referenced by:  jm2.27a  42046  jm2.27c  42048  expdiophlem1  42062
  Copyright terms: Public domain W3C validator