Theorem cnpart 15167

Description: The specification of restriction to the right half-plane partitions the complex plane without 0 into two disjoint pieces, which are related by a reflection about the origin (under the map 𝑥 ↦ -𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnpart	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+)))

Proof of Theorem cnpart

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3038	. . . . . 6 ⊢ (-(i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+)
2		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) = 0)
3		0le0 12250	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
4	2, 3	eqbrtrdi 5138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) ≤ 0)
5	4	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-(i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
6	1, 5	bitr3id 285	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
7	6	con1bid 355	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+))
8		ax-icn 11089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
9		mulcl 11114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	mpan 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11		reim0b 15046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0))
13		imre 15035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
15		ine0 11576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ i ≠ 0
16		divrec2 11817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((i · 𝐴) / i) = ((1 / i) · (i · 𝐴)))
17	8, 15, 16	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = ((1 / i) · (i · 𝐴)))
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = ((1 / i) · (i · 𝐴)))
19		irec 14128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / i) = -i
20	19	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / i) · (i · 𝐴)) = (-i · (i · 𝐴))
21	18, 20	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = (-i · (i · 𝐴)))
22		divcan3 11826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((i · 𝐴) / i) = 𝐴)
23	8, 15, 22	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = 𝐴)
24	21, 23	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
25	24	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
26	14, 25	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
27	26	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · 𝐴)) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = 0))
28	12, 27	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 0))
29	28	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
30	29	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
31		mulne0 11783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (i · 𝐴) ≠ 0)
32	8, 15, 31	mpanl12 703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · 𝐴) ≠ 0)
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ≠ 0)
34		rpneg 12943	. . . . . . 7 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+))
35	30, 33, 34	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+))
36	35	con2bid 354	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-(i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+))
37		df-nel 3038	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
38	36, 37	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-(i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
39	3, 2	breqtrrid 5137	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
40	39	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
41	7, 38, 40	3bitrrd 306	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
42	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 0))
43	42	necon3bbid 2970	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) ≠ 0))
44	43	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ)
45		rpre 12918	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
46	44, 45	nsyl 140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
47	46, 37	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
48	47	biantrud 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
49		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
50	49	biantrud 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0)))
51		0re 11138	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
52		recl 15037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
53		ltlen 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0)))
54		ltnle 11216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
55	53, 54	bitr3d 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
56	51, 52, 55	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
57	56	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
58	50, 57	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
59	48, 58	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
60		renegcl 11448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-(i · 𝐴) ∈ ℝ → --(i · 𝐴) ∈ ℝ)
61	10	negnegd 11487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --(i · 𝐴) = (i · 𝐴))
62	61	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (--(i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (i · 𝐴) ∈ ℝ))
63	62	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (--(i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (i · 𝐴) ∈ ℝ))
64	60, 63	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-(i · 𝐴) ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℝ))
65	44, 64	mtod 198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ)
66		rpre 12918	. . . . . . . 8 ⊢ (-(i · 𝐴) ∈ ℝ+ → -(i · 𝐴) ∈ ℝ)
67	65, 66	nsyl 140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+)
68	67, 1	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)
69	68	biantrud 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
70	69	notbid 318	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
71	59, 70	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
72	41, 71	pm2.61dane 3020	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
73		reneg 15052	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
74	73	breq2d 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐴)))
75	52	le0neg1d 11712	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐴)))
76	74, 75	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
77		mulneg2 11578	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
78	8, 77	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
79		neleq1 3043	. . . . . 6 ⊢ ((i · -𝐴) = -(i · 𝐴) → ((i · -𝐴) ∉ ℝ+ ↔ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+))
80	78, 79	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) ∉ ℝ+ ↔ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+))
81	76, 80	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
82	81	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
83	82	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
84	72, 83	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∉ wnel 3037   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031  ici 11032   · cmul 11035   < clt 11170   ≤ cle 11171  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℝ⁺crp 12909  ℜcre 15024  ℑcim 15025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-rp 12910  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028

This theorem is referenced by:  sqrmo  15178