Theorem cnpart 15213

Description: The specification of restriction to the right half-plane partitions the complex plane without 0 into two disjoint pieces, which are related by a reflection about the origin (under the map 𝑥 ↦ -𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnpart	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+)))

Proof of Theorem cnpart

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3031	. . . . . 6 ⊢ (-(i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+)
2		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) = 0)
3		0le0 12294	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
4	2, 3	eqbrtrdi 5149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) ≤ 0)
5	4	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-(i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
6	1, 5	bitr3id 285	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
7	6	con1bid 355	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+))
8		ax-icn 11134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ i ∈ ℂ
9		mulcl 11159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11		reim0b 15092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0))
13		imre 15081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
15		ine0 11620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ i ≠ 0
16		divrec2 11861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((i · 𝐴) / i) = ((1 / i) · (i · 𝐴)))
17	8, 15, 16	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = ((1 / i) · (i · 𝐴)))
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = ((1 / i) · (i · 𝐴)))
19		irec 14173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / i) = -i
20	19	oveq1i 7400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / i) · (i · 𝐴)) = (-i · (i · 𝐴))
21	18, 20	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = (-i · (i · 𝐴)))
22		divcan3 11870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((i · 𝐴) / i) = 𝐴)
23	8, 15, 22	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = 𝐴)
24	21, 23	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
25	24	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
26	14, 25	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
27	26	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · 𝐴)) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = 0))
28	12, 27	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 0))
29	28	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
30	29	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
31		mulne0 11827	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (i · 𝐴) ≠ 0)
32	8, 15, 31	mpanl12 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · 𝐴) ≠ 0)
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ≠ 0)
34		rpneg 12992	. . . . . . 7 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+))
35	30, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+))
36	35	con2bid 354	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-(i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+))
37		df-nel 3031	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
38	36, 37	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-(i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
39	3, 2	breqtrrid 5148	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
40	39	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
41	7, 38, 40	3bitrrd 306	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
42	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 0))
43	42	necon3bbid 2963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) ≠ 0))
44	43	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ)
45		rpre 12967	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
46	44, 45	nsyl 140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
47	46, 37	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
48	47	biantrud 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
49		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
50	49	biantrud 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0)))
51		0re 11183	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
52		recl 15083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
53		ltlen 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0)))
54		ltnle 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
55	53, 54	bitr3d 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
56	51, 52, 55	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
57	56	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
58	50, 57	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
59	48, 58	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
60		renegcl 11492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-(i · 𝐴) ∈ ℝ → --(i · 𝐴) ∈ ℝ)
61	10	negnegd 11531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --(i · 𝐴) = (i · 𝐴))
62	61	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (--(i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (i · 𝐴) ∈ ℝ))
63	62	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (--(i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (i · 𝐴) ∈ ℝ))
64	60, 63	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-(i · 𝐴) ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℝ))
65	44, 64	mtod 198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ)
66		rpre 12967	. . . . . . . 8 ⊢ (-(i · 𝐴) ∈ ℝ+ → -(i · 𝐴) ∈ ℝ)
67	65, 66	nsyl 140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+)
68	67, 1	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)
69	68	biantrud 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
70	69	notbid 318	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
71	59, 70	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
72	41, 71	pm2.61dane 3013	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
73		reneg 15098	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
74	73	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐴)))
75	52	le0neg1d 11756	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐴)))
76	74, 75	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
77		mulneg2 11622	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
78	8, 77	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
79		neleq1 3036	. . . . . 6 ⊢ ((i · -𝐴) = -(i · 𝐴) → ((i · -𝐴) ∉ ℝ+ ↔ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+))
80	78, 79	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) ∉ ℝ+ ↔ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+))
81	76, 80	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
82	81	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
83	82	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
84	72, 83	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∉ wnel 3030   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  ici 11077   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216  -cneg 11413   / cdiv 11842  ℝ⁺crp 12958  ℜcre 15070  ℑcim 15071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-rp 12959  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074

This theorem is referenced by:  sqrmo  15224