MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpart Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnpart 15183
Description: The specification of restriction to the right half-plane partitions the complex plane without 0 into two disjoint pieces, which are related by a reflection about the origin (under the map ๐‘ฅ โ†ฆ -๐‘ฅ). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
cnpart ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โˆง (i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+) โ†” ยฌ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ด) โˆง (i ยท -๐ด) โˆ‰ โ„+)))

Proof of Theorem cnpart
StepHypRef Expression
1 df-nel 3047 . . . . . 6 (-(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+ โ†” ยฌ -(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
2 simpr 485 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) = 0)
3 0le0 12309 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 0
42, 3eqbrtrdi 5186 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0)
54biantrurd 533 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (-(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+ โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โˆง -(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)))
61, 5bitr3id 284 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (ยฌ -(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โˆง -(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)))
76con1bid 355 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (ยฌ ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โˆง -(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+) โ†” -(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+))
8 ax-icn 11165 . . . . . . . . . . . 12 i โˆˆ โ„‚
9 mulcl 11190 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
108, 9mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
11 reim0b 15062 . . . . . . . . . . 11 ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)) = 0))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)) = 0))
13 imre 15051 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)) = (โ„œโ€˜(-i ยท (i ยท ๐ด))))
1410, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)) = (โ„œโ€˜(-i ยท (i ยท ๐ด))))
15 ine0 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i โ‰  0
16 divrec2 11885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0) โ†’ ((i ยท ๐ด) / i) = ((1 / i) ยท (i ยท ๐ด)))
178, 15, 16mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) / i) = ((1 / i) ยท (i ยท ๐ด)))
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) / i) = ((1 / i) ยท (i ยท ๐ด)))
19 irec 14161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / i) = -i
2019oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / i) ยท (i ยท ๐ด)) = (-i ยท (i ยท ๐ด))
2118, 20eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) / i) = (-i ยท (i ยท ๐ด)))
22 divcan3 11894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0) โ†’ ((i ยท ๐ด) / i) = ๐ด)
238, 15, 22mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) / i) = ๐ด)
2421, 23eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-i ยท (i ยท ๐ด)) = ๐ด)
2524fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(-i ยท (i ยท ๐ด))) = (โ„œโ€˜๐ด))
2614, 25eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)) = (โ„œโ€˜๐ด))
2726eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜(i ยท ๐ด)) = 0 โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = 0))
2812, 27bitrd 278 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = 0))
2928biimpar 478 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
3029adantlr 713 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
31 mulne0 11852 . . . . . . . . 9 (((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (i ยท ๐ด) โ‰  0)
328, 15, 31mpanl12 700 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (i ยท ๐ด) โ‰  0)
3332adantr 481 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (i ยท ๐ด) โ‰  0)
34 rpneg 13002 . . . . . . 7 (((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ๐ด) โ‰  0) โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†” ยฌ -(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+))
3530, 33, 34syl2anc 584 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) = 0) โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†” ยฌ -(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+))
3635con2bid 354 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (-(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†” ยฌ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+))
37 df-nel 3047 . . . . 5 ((i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+ โ†” ยฌ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
3836, 37bitr4di 288 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) = 0) โ†’ (-(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†” (i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+))
393, 2breqtrrid 5185 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) = 0) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด))
4039biantrurd 533 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) = 0) โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+ โ†” (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โˆง (i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)))
417, 38, 403bitrrd 305 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) = 0) โ†’ ((0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โˆง (i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+) โ†” ยฌ ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โˆง -(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)))
4228adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜๐ด) = 0))
4342necon3bbid 2978 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (ยฌ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0))
4443biimpar 478 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ ยฌ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
45 rpre 12978 . . . . . . . 8 ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
4644, 45nsyl 140 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ ยฌ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
4746, 37sylibr 233 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)
4847biantrud 532 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โ†” (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โˆง (i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)))
49 simpr 485 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0)
5049biantrud 532 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โ†” (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0)))
51 0re 11212 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
52 recl 15053 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
53 ltlen 11311 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โ†” (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0)))
54 ltnle 11289 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (โ„œโ€˜๐ด) โ†” ยฌ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0))
5553, 54bitr3d 280 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†” ยฌ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0))
5651, 52, 55sylancr 587 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†” ยฌ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0))
5756ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ ((0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†” ยฌ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0))
5850, 57bitrd 278 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โ†” ยฌ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0))
5948, 58bitr3d 280 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ ((0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โˆง (i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+) โ†” ยฌ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0))
60 renegcl 11519 . . . . . . . . . 10 (-(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ --(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
6110negnegd 11558 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ --(i ยท ๐ด) = (i ยท ๐ด))
6261eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (--(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
6362ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ (--(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
6460, 63imbitrid 243 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ (-(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„))
6544, 64mtod 197 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ ยฌ -(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
66 rpre 12978 . . . . . . . 8 (-(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ -(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
6765, 66nsyl 140 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ ยฌ -(i ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
6867, 1sylibr 233 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ -(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)
6968biantrud 532 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โˆง -(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)))
7069notbid 317 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ (ยฌ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โ†” ยฌ ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โˆง -(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)))
7159, 70bitrd 278 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ ((0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โˆง (i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+) โ†” ยฌ ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โˆง -(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)))
7241, 71pm2.61dane 3029 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โˆง (i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+) โ†” ยฌ ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โˆง -(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)))
73 reneg 15068 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜-๐ด) = -(โ„œโ€˜๐ด))
7473breq2d 5159 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ด) โ†” 0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ด)))
7552le0neg1d 11781 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ด)))
7674, 75bitr4d 281 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ด) โ†” (โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0))
77 mulneg2 11647 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -๐ด) = -(i ยท ๐ด))
788, 77mpan 688 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท -๐ด) = -(i ยท ๐ด))
79 neleq1 3052 . . . . . 6 ((i ยท -๐ด) = -(i ยท ๐ด) โ†’ ((i ยท -๐ด) โˆ‰ โ„+ โ†” -(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+))
8078, 79syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท -๐ด) โˆ‰ โ„+ โ†” -(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+))
8176, 80anbi12d 631 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ด) โˆง (i ยท -๐ด) โˆ‰ โ„+) โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โˆง -(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)))
8281notbid 317 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (ยฌ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ด) โˆง (i ยท -๐ด) โˆ‰ โ„+) โ†” ยฌ ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โˆง -(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)))
8382adantr 481 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (ยฌ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ด) โˆง (i ยท -๐ด) โˆ‰ โ„+) โ†” ยฌ ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค 0 โˆง -(i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+)))
8472, 83bitr4d 281 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด) โˆง (i ยท ๐ด) โˆ‰ โ„+) โ†” ยฌ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ด) โˆง (i ยท -๐ด) โˆ‰ โ„+)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   โˆ‰ wnel 3046   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245  -cneg 11441   / cdiv 11867  โ„+crp 12970  โ„œcre 15040  โ„‘cim 15041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044
This theorem is referenced by:  sqrmo  15194
  Copyright terms: Public domain W3C validator