MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnpart Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnpart 15279
Description: The specification of restriction to the right half-plane partitions the complex plane without 0 into two disjoint pieces, which are related by a reflection about the origin (under the map 𝑥 ↦ -𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
cnpart ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+)))

Proof of Theorem cnpart
StepHypRef Expression
1 df-nel 3047 . . . . . 6 (-(i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+)
2 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) = 0)
3 0le0 12367 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
42, 3eqbrtrdi 5182 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) ≤ 0)
54biantrurd 532 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-(i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
61, 5bitr3id 285 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
76con1bid 355 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+))
8 ax-icn 11214 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ ℂ
9 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
108, 9mpan 690 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11 reim0b 15158 . . . . . . . . . . 11 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0))
13 imre 15147 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
1410, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))))
15 ine0 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ≠ 0
16 divrec2 11939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((i · 𝐴) / i) = ((1 / i) · (i · 𝐴)))
178, 15, 16mp3an23 1455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = ((1 / i) · (i · 𝐴)))
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = ((1 / i) · (i · 𝐴)))
19 irec 14240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / i) = -i
2019oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / i) · (i · 𝐴)) = (-i · (i · 𝐴))
2118, 20eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = (-i · (i · 𝐴)))
22 divcan3 11948 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((i · 𝐴) / i) = 𝐴)
238, 15, 22mp3an23 1455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) / i) = 𝐴)
2421, 23eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
2524fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-i · (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
2614, 25eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
2726eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · 𝐴)) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = 0))
2812, 27bitrd 279 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 0))
2928biimpar 477 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
3029adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
31 mulne0 11905 . . . . . . . . 9 (((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (i · 𝐴) ≠ 0)
328, 15, 31mpanl12 702 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · 𝐴) ≠ 0)
3332adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ≠ 0)
34 rpneg 13067 . . . . . . 7 (((i · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ≠ 0) → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+))
3530, 33, 34syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+))
3635con2bid 354 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-(i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+))
37 df-nel 3047 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
3836, 37bitr4di 289 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-(i · 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
393, 2breqtrrid 5181 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
4039biantrurd 532 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
417, 38, 403bitrrd 306 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
4228adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 0))
4342necon3bbid 2978 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) ≠ 0))
4443biimpar 477 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ)
45 rpre 13043 . . . . . . . 8 ((i · 𝐴) ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
4644, 45nsyl 140 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
4746, 37sylibr 234 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
4847biantrud 531 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
49 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
5049biantrud 531 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0)))
51 0re 11263 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
52 recl 15149 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
53 ltlen 11362 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0)))
54 ltnle 11340 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
5553, 54bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
5651, 52, 55sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
5756ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
5850, 57bitrd 279 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 ≤ (ℜ‘𝐴) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
5948, 58bitr3d 281 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
60 renegcl 11572 . . . . . . . . . 10 (-(i · 𝐴) ∈ ℝ → --(i · 𝐴) ∈ ℝ)
6110negnegd 11611 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → --(i · 𝐴) = (i · 𝐴))
6261eleq1d 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (--(i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (i · 𝐴) ∈ ℝ))
6362ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (--(i · 𝐴) ∈ ℝ ↔ (i · 𝐴) ∈ ℝ))
6460, 63imbitrid 244 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-(i · 𝐴) ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℝ))
6544, 64mtod 198 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ)
66 rpre 13043 . . . . . . . 8 (-(i · 𝐴) ∈ ℝ+ → -(i · 𝐴) ∈ ℝ)
6765, 66nsyl 140 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ -(i · 𝐴) ∈ ℝ+)
6867, 1sylibr 234 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)
6968biantrud 531 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
7069notbid 318 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (¬ (ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
7159, 70bitrd 279 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
7241, 71pm2.61dane 3029 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
73 reneg 15164 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
7473breq2d 5155 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐴)))
7552le0neg1d 11834 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐴)))
7674, 75bitr4d 282 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ↔ (ℜ‘𝐴) ≤ 0))
77 mulneg2 11700 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
788, 77mpan 690 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
79 neleq1 3052 . . . . . 6 ((i · -𝐴) = -(i · 𝐴) → ((i · -𝐴) ∉ ℝ+ ↔ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+))
8078, 79syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) ∉ ℝ+ ↔ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+))
8176, 80anbi12d 632 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
8281notbid 318 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
8382adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ ((ℜ‘𝐴) ≤ 0 ∧ -(i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
8472, 83bitr4d 282 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+) ↔ ¬ (0 ≤ (ℜ‘-𝐴) ∧ (i · -𝐴) ∉ ℝ+)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wnel 3046   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493   / cdiv 11920  +crp 13034  cre 15136  cim 15137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-rp 13035  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140
This theorem is referenced by:  sqrmo  15290
  Copyright terms: Public domain W3C validator