Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlem5 33156
Description: If A is not ahead throughout, there is a 𝑘 where votes are tied. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
Assertion
Ref Expression
ballotlem5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ∃𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹   𝑘,𝐹   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem5
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . 2 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . 2 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . 2 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . 2 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . 2 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 eldifi 4087 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 𝐶𝑂)
71a1i 11 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 𝑀 ∈ ℕ)
82a1i 11 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ)
97, 8nnaddcld 12210 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
10 ballotth.e . . . 4 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
111, 2, 3, 4, 5, 10ballotlemodife 33154 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ↔ (𝐶𝑂 ∧ ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹𝐶)‘𝑖) ≤ 0))
1211simprbi 498 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹𝐶)‘𝑖) ≤ 0)
13 ballotth.mgtn . . . 4 𝑁 < 𝑀
142nnrei 12167 . . . . 5 𝑁 ∈ ℝ
151nnrei 12167 . . . . 5 𝑀 ∈ ℝ
1614, 15posdifi 11710 . . . 4 (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < (𝑀𝑁))
1713, 16mpbi 229 . . 3 0 < (𝑀𝑁)
181, 2, 3, 4, 5ballotlemfmpn 33151 . . . 4 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀𝑁))
196, 18syl 17 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀𝑁))
2017, 19breqtrrid 5144 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 0 < ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 20ballotlemfc0 33149 1 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ∃𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  {crab 3406  cdif 3908  cin 3910  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5106  cmpt 5189  cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cle 11195  cmin 11390   / cdiv 11817  cn 12158  cz 12504  ...cfz 13430  chash 14236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237
This theorem is referenced by:  ballotlemiex  33158  ballotlemsup  33161
  Copyright terms: Public domain W3C validator