Theorem ballotlem5 33963

Description: If A is not ahead throughout, there is a 𝑘 where votes are tied. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn	⊢ 𝑁 < 𝑀

Assertion

Ref	Expression
ballotlem5	⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ∃𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹   𝑘,𝐹   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		eldifi 4126	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝐶 ∈ 𝑂)
7	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝑀 ∈ ℕ)
8	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	7, 8	nnaddcld 12271	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
10		ballotth.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	ballotlemodife 33961	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↔ (𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ≤ 0))
12	11	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ≤ 0)
13		ballotth.mgtn	. . . 4 ⊢ 𝑁 < 𝑀
14	2	nnrei 12228	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
15	1	nnrei 12228	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
16	14, 15	posdifi 11771	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < (𝑀 − 𝑁))
17	13, 16	mpbi 229	. . 3 ⊢ 0 < (𝑀 − 𝑁)
18	1, 2, 3, 4, 5	ballotlemfmpn 33958	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))
19	6, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))
20	17, 19	breqtrrid 5186	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 0 < ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 20	ballotlemfc0 33956	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ∃𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3431   ∖ cdif 3945   ∩ cin 3947  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   < clt 11255   ≤ cle 11256   − cmin 11451   / cdiv 11878  ℕcn 12219  ℤcz 12565  ...cfz 13491  ♯chash 14297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-hash 14298

This theorem is referenced by:  ballotlemiex  33965  ballotlemsup  33968