Theorem ballotlem5 31867

Description: If A is not ahead throughout, there is a 𝑘 where votes are tied. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn	⊢ 𝑁 < 𝑀

Assertion

Ref	Expression
ballotlem5	⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ∃𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹   𝑘,𝐹   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. 2 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. 2 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		eldifi 4054	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝐶 ∈ 𝑂)
7	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝑀 ∈ ℕ)
8	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ)
9	7, 8	nnaddcld 11677	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
10		ballotth.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	ballotlemodife 31865	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↔ (𝐶 ∈ 𝑂 ∧ ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ≤ 0))
12	11	simprbi 500	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹‘𝐶)‘𝑖) ≤ 0)
13		ballotth.mgtn	. . . 4 ⊢ 𝑁 < 𝑀
14	2	nnrei 11634	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
15	1	nnrei 11634	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℝ
16	14, 15	posdifi 11179	. . . 4 ⊢ (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < (𝑀 − 𝑁))
17	13, 16	mpbi 233	. . 3 ⊢ 0 < (𝑀 − 𝑁)
18	1, 2, 3, 4, 5	ballotlemfmpn 31862	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))
19	6, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))
20	17, 19	breqtrrid 5068	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 0 < ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 20	ballotlemfc0 31860	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ∃𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ♯chash 13686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687

This theorem is referenced by:  ballotlemiex  31869  ballotlemsup  31872