MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv1lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsinv1lem 16413
Description: Lemma for bitsinv1 16414. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv1lem ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0)))
Proof of Theorem bitsinv1lem
StepHypRef Expression
1 oveq2 7423 . . 3 ((2↑𝑀) = if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0) β†’ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0)))
21eqeq2d 2736 . 2 ((2↑𝑀) = if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)) ↔ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0))))
3 oveq2 7423 . . 3 (0 = if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0) β†’ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0)))
43eqeq2d 2736 . 2 (0 = if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) ↔ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0))))
5 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
6 2nn 12313 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
76a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
8 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
97, 8nnexpcld 14237 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„•)
105, 9zmodcld 13887 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ β„•0)
1110nn0cnd 12562 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ β„‚)
1211adantr 479 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ β„‚)
13 1nn0 12516 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„•0
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„•0)
158, 14nn0addcld 12564 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
167, 15nnexpcld 14237 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ β„•)
175, 16zmodcld 13887 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ β„•0)
1817nn0cnd 12562 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
1918adantr 479 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
2012, 19pncan3d 11602 . . 3 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
2118, 11subcld 11599 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ β„‚)
2221adantr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ β„‚)
236a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ 2 ∈ β„•)
24 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
2523, 24nnexpcld 14237 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„•)
2625nncnd 12256 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„‚)
27 2cnd 12318 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„‚)
28 2ne0 12344 . . . . . . . 8 2 β‰  0
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 β‰  0)
308nn0zd 12612 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3127, 29, 30expne0d 14146 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) β‰  0)
3231adantr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑀) β‰  0)
33 z0even 16341 . . . . . . . . . 10 2 βˆ₯ 0
34 id 22 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)
3533, 34breqtrrid 5181 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 β†’ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
36 bitsval2 16397 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀)))))
375zred 12694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
389nnrpd 13044 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) ∈ ℝ+)
39 moddiffl 13877 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀))))
4037, 38, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀))))
4140breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀)))))
42 2z 12622 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„€
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„€)
44 moddifz 13878 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€)
4537, 38, 44syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€)
465zcnd 12695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
4746, 11, 18nnncan1d 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) βˆ’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) = ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))))
4847oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) βˆ’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
4946, 11subcld 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ β„‚)
5046, 18subcld 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) ∈ β„‚)
519nncnd 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„‚)
5249, 50, 51, 31divsubdird 12057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) βˆ’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) βˆ’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))))
5348, 52eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) βˆ’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))))
5427, 50mulcomd 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) = ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) Β· 2))
5527, 51mulcomd 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (2↑𝑀)) = ((2↑𝑀) Β· 2))
5627, 8expp1d 14141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) Β· 2))
5755, 56eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (2↑𝑀)) = (2↑(𝑀 + 1)))
5854, 57oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2 Β· (2↑𝑀))) = (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) Β· 2) / (2↑(𝑀 + 1))))
5950, 51, 27, 31, 29divcan5d 12044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2 Β· (2↑𝑀))) = ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)))
6016nncnd 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
6130peano2zd 12697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„€)
6227, 29, 61expne0d 14146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) β‰  0)
6350, 27, 60, 62div23d 12055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) Β· 2) / (2↑(𝑀 + 1))) = (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) Β· 2))
6458, 59, 633eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) Β· 2))
6516nnrpd 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
66 moddifz 13878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ β„€)
6737, 65, 66syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ β„€)
6867, 43zmulcld 12700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) Β· 2) ∈ β„€)
6964, 68eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€)
7045, 69zsubcld 12699 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) βˆ’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))) ∈ β„€)
7153, 70eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€)
72 dvdsmul2 16253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ 2 βˆ₯ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) Β· 2))
7367, 43, 72syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 βˆ₯ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) Β· 2))
7446, 18, 11nnncan2d 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) βˆ’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))))
7574oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) βˆ’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑀)) = ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)))
7649, 21, 51, 31divsubdird 12057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) βˆ’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) βˆ’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
7775, 76, 643eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) βˆ’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))) = (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) Β· 2))
7873, 77breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 βˆ₯ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) βˆ’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
79 dvdssub2 16275 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ∈ β„€ ∧ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€) ∧ 2 βˆ₯ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) βˆ’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))) β†’ (2 βˆ₯ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8043, 45, 71, 78, 79syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8141, 80bitr3d 280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀))) ↔ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8281notbid 317 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8336, 82bitrd 278 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8483con2bid 353 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)))
8535, 84imbitrid 243 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)))
8685con2d 134 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) β†’ Β¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0))
87 df-neg 11475 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 = (0 βˆ’ 1)
8851mulm1d 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (-1 Β· (2↑𝑀)) = -(2↑𝑀))
899nnred 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) ∈ ℝ)
9089renegcld 11669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ -(2↑𝑀) ∈ ℝ)
9137, 38modcld 13870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
9291renegcld 11669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ -(𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
9337, 65modcld 13870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
9493, 91resubcld 11670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℝ)
95 modlt 13875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) β†’ (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
9637, 38, 95syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
9791, 89ltnegd 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀) ↔ -(2↑𝑀) < -(𝑁 mod (2↑𝑀))))
9896, 97mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ -(2↑𝑀) < -(𝑁 mod (2↑𝑀)))
99 df-neg 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(𝑁 mod (2↑𝑀)) = (0 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
100 0red 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ ℝ)
101 modge0 13874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
10237, 65, 101syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
103100, 93, 91, 102lesub1dd 11858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (0 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≀ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))))
10499, 103eqbrtrid 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ -(𝑁 mod (2↑𝑀)) ≀ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))))
10590, 92, 94, 98, 104ltletrd 11402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ -(2↑𝑀) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))))
10688, 105eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (-1 Β· (2↑𝑀)) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))))
107 1red 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ ℝ)
108107renegcld 11669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ -1 ∈ ℝ)
109108, 94, 38ltmuldivd 13093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((-1 Β· (2↑𝑀)) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ -1 < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
110106, 109mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ -1 < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
11187, 110eqbrtrrid 5179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (0 βˆ’ 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
112 0zd 12598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„€)
113 zlem1lt 12642 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ β„€ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€) β†’ (0 ≀ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ (0 βˆ’ 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
114112, 71, 113syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (0 ≀ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ (0 βˆ’ 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
115111, 114mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
116 elnn0z 12599 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„•0 ↔ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€ ∧ 0 ≀ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
11771, 115, 116sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„•0)
118 nn0uz 12892 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
119117, 118eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
12016nnred 12255 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
121 modge0 13874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
12237, 38, 121syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
12393, 91subge02d 11834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (0 ≀ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ↔ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≀ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))))
124122, 123mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≀ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
125 modlt 13875 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ+) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) < (2↑(𝑀 + 1)))
12637, 65, 125syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) < (2↑(𝑀 + 1)))
12794, 93, 120, 124, 126lelttrd 11400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) < (2↑(𝑀 + 1)))
128127, 56breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) < ((2↑𝑀) Β· 2))
1297nnred 12255 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ ℝ)
13094, 129, 38ltdivmuld 13097 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2 ↔ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) < ((2↑𝑀) Β· 2)))
131128, 130mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2)
132 elfzo2 13665 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (0..^2) ↔ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2))
133119, 43, 131, 132syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (0..^2))
134 fzo0to2pr 13747 . . . . . . . . . 10 (0..^2) = {0, 1}
135133, 134eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ {0, 1})
136 elpri 4647 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ {0, 1} β†’ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 ∨ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
137135, 136syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 ∨ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
138137ord 862 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
13986, 138syld 47 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
140139imp 405 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1)
14122, 26, 32, 140diveq1d 12026 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) = (2↑𝑀))
142141oveq2d 7431 . . 3 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)))
14320, 142eqtr3d 2767 . 2 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)))
14418adantr 479 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
14511adantr 479 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ β„‚)
14621adantr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ β„‚)
14751adantr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„‚)
14831adantr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑀) β‰  0)
149 n2dvds1 16342 . . . . . . . . . 10 Β¬ 2 βˆ₯ 1
150 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1 β†’ (2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 βˆ₯ 1))
151149, 150mtbiri 326 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
152138, 151syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
153152, 83sylibrd 258 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 β†’ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)))
154153con1d 145 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0))
155154imp 405 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)
156146, 147, 148, 155diveq0d 12025 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) = 0)
157144, 145, 156subeq0d 11607 . . 3 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = (𝑁 mod (2↑𝑀)))
158145addridd 11442 . . 3 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) = (𝑁 mod (2↑𝑀)))
159157, 158eqtr4d 2768 . 2 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0))
1602, 4, 143, 159ifbothda 4562 1 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  -cneg 11473   / cdiv 11899  β„•cn 12240  2c2 12295  β„•0cn0 12500  β„€cz 12586  β„€β‰₯cuz 12850  β„+crp 13004  ..^cfzo 13657  βŒŠcfl 13785   mod cmo 13864  β†‘cexp 14056   βˆ₯ cdvds 16228  bitscbits 16391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-dvds 16229  df-bits 16394
This theorem is referenced by:  bitsinv1  16414  smumullem  16464
  Copyright terms: Public domain W3C validator