MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bitsinv1lem 15623
Description: Lemma for bitsinv1 15624. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv1lem ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0)))

Proof of Theorem bitsinv1lem
StepHypRef Expression
1 oveq2 7024 . . 3 ((2↑𝑀) = if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0)))
21eqeq2d 2805 . 2 ((2↑𝑀) = if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)) ↔ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0))))
3 oveq2 7024 . . 3 (0 = if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0)))
43eqeq2d 2805 . 2 (0 = if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) ↔ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0))))
5 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 2nn 11558 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
76a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
8 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
97, 8nnexpcld 13456 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
105, 9zmodcld 13110 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11805 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℂ)
1211adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℂ)
13 1nn0 11761 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
158, 14nn0addcld 11807 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
167, 15nnexpcld 13456 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
175, 16zmodcld 13110 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℕ0)
1817nn0cnd 11805 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
1918adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
2012, 19pncan3d 10848 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
2118, 11subcld 10845 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
2221adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
236a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → 2 ∈ ℕ)
24 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
2523, 24nnexpcld 13456 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
2625nncnd 11502 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) ∈ ℂ)
27 2cnd 11563 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
28 2ne0 11589 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
308nn0zd 11934 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
3127, 29, 30expne0d 13366 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ≠ 0)
3231adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) ≠ 0)
33 z0even 15549 . . . . . . . . . 10 2 ∥ 0
34 id 22 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)
3533, 34breqtrrid 5000 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
36 bitsval2 15607 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
375zred 11936 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
389nnrpd 12279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℝ+)
39 moddiffl 13100 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))
4140breq2d 4974 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
42 2z 11863 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
44 moddifz 13101 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
4537, 38, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
465zcnd 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
4746, 11, 18nnncan1d 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) = ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
4847oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
4946, 11subcld 10845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
5046, 18subcld 10845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
519nncnd 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℂ)
5249, 50, 51, 31divsubdird 11303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))))
5348, 52eqtr3d 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))))
5427, 50mulcomd 10508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) = ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) · 2))
5527, 51mulcomd 10508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑀)) = ((2↑𝑀) · 2))
5627, 8expp1d 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
5755, 56eqtr4d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑀)) = (2↑(𝑀 + 1)))
5854, 57oveq12d 7034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2 · (2↑𝑀))) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) · 2) / (2↑(𝑀 + 1))))
5950, 51, 27, 31, 29divcan5d 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2 · (2↑𝑀))) = ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)))
6016nncnd 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
6130peano2zd 11939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
6227, 29, 61expne0d 13366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ≠ 0)
6350, 27, 60, 62div23d 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) · 2) / (2↑(𝑀 + 1))) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
6458, 59, 633eqtr3d 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
6516nnrpd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
66 moddifz 13101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℤ)
6737, 65, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℤ)
6867, 43zmulcld 11942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2) ∈ ℤ)
6964, 68eqeltrd 2883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
7045, 69zsubcld 11941 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))) ∈ ℤ)
7153, 70eqeltrd 2883 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
72 dvdsmul2 15465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
7367, 43, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∥ (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
7446, 18, 11nnncan2d 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))))
7574oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑀)) = ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)))
7649, 21, 51, 31divsubdird 11303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
7775, 76, 643eqtr3d 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
7873, 77breqtrrd 4990 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∥ (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
79 dvdssub2 15484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))) → (2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8043, 45, 71, 78, 79syl31anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8141, 80bitr3d 282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))) ↔ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8281notbid 319 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))) ↔ ¬ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8336, 82bitrd 280 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8483con2bid 356 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
8535, 84syl5ib 245 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
8685con2d 136 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → ¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0))
87 df-neg 10720 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 = (0 − 1)
8851mulm1d 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (-1 · (2↑𝑀)) = -(2↑𝑀))
899nnred 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
9089renegcld 10915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(2↑𝑀) ∈ ℝ)
9137, 38modcld 13093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
9291renegcld 10915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
9337, 65modcld 13093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
9493, 91resubcld 10916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℝ)
95 modlt 13098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
9637, 38, 95syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
9791, 89ltnegd 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀) ↔ -(2↑𝑀) < -(𝑁 mod (2↑𝑀))))
9896, 97mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(2↑𝑀) < -(𝑁 mod (2↑𝑀)))
99 df-neg 10720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(𝑁 mod (2↑𝑀)) = (0 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))
100 0red 10490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
101 modge0 13097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
10237, 65, 101syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
103100, 93, 91, 102lesub1dd 11104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≤ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
10499, 103eqbrtrid 4997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(𝑁 mod (2↑𝑀)) ≤ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
10590, 92, 94, 98, 104ltletrd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(2↑𝑀) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
10688, 105eqbrtrd 4984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (-1 · (2↑𝑀)) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
107 1red 10488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
108107renegcld 10915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℝ)
109108, 94, 38ltmuldivd 12328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((-1 · (2↑𝑀)) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ -1 < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
110106, 109mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -1 < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
11187, 110eqbrtrrid 4998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 − 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
112 0zd 11841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
113 zlem1lt 11883 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℤ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ) → (0 ≤ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ (0 − 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
114112, 71, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ (0 − 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
115111, 114mpbird 258 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
116 elnn0z 11842 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℕ0 ↔ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
11771, 115, 116sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℕ0)
118 nn0uz 12129 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
119117, 118syl6eleq 2893 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (ℤ‘0))
12016nnred 11501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
121 modge0 13097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
12237, 38, 121syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
12393, 91subge02d 11080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ↔ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≤ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))))
124122, 123mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≤ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
125 modlt 13098 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) < (2↑(𝑀 + 1)))
12637, 65, 125syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) < (2↑(𝑀 + 1)))
12794, 93, 120, 124, 126lelttrd 10645 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) < (2↑(𝑀 + 1)))
128127, 56breqtrd 4988 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) < ((2↑𝑀) · 2))
1297nnred 11501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
13094, 129, 38ltdivmuld 12332 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2 ↔ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) < ((2↑𝑀) · 2)))
131128, 130mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2)
132 elfzo2 12891 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (0..^2) ↔ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2))
133119, 43, 131, 132syl3anbrc 1336 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (0..^2))
134 fzo0to2pr 12972 . . . . . . . . . 10 (0..^2) = {0, 1}
135133, 134syl6eleq 2893 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ {0, 1})
136 elpri 4494 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ {0, 1} → ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 ∨ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
137135, 136syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 ∨ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
138137ord 859 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
13986, 138syld 47 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
140139imp 407 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1)
14122, 26, 32, 140diveq1d 11272 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) = (2↑𝑀))
142141oveq2d 7032 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)))
14320, 142eqtr3d 2833 . 2 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)))
14418adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
14511adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℂ)
14621adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
14751adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) ∈ ℂ)
14831adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) ≠ 0)
149 n2dvds1 15550 . . . . . . . . . 10 ¬ 2 ∥ 1
150 breq2 4966 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1 → (2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 ∥ 1))
151149, 150mtbiri 328 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1 → ¬ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
152138, 151syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → ¬ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
153152, 83sylibrd 260 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
154153con1d 147 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0))
155154imp 407 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)
156146, 147, 148, 155diveq0d 11271 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) = 0)
157144, 145, 156subeq0d 10853 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = (𝑁 mod (2↑𝑀)))
158145addid1d 10687 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) = (𝑁 mod (2↑𝑀)))
159157, 158eqtr4d 2834 . 2 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0))
1602, 4, 143, 159ifbothda 4418 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  ifcif 4381  {cpr 4474   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521  cle 10522  cmin 10717  -cneg 10718   / cdiv 11145  cn 11486  2c2 11540  0cn0 11745  cz 11829  cuz 12093  +crp 12239  ..^cfzo 12883  cfl 13010   mod cmo 13087  cexp 13279  cdvds 15440  bitscbits 15601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-dvds 15441  df-bits 15604
This theorem is referenced by:  bitsinv1  15624  smumullem  15674
  Copyright terms: Public domain W3C validator