MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsinv1lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsinv1lem 16401
Description: Lemma for bitsinv1 16402. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv1lem ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0)))
Proof of Theorem bitsinv1lem
StepHypRef Expression
1 oveq2 7422 . . 3 ((2↑𝑀) = if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0) β†’ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0)))
21eqeq2d 2738 . 2 ((2↑𝑀) = if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)) ↔ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0))))
3 oveq2 7422 . . 3 (0 = if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0) β†’ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0)))
43eqeq2d 2738 . 2 (0 = if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) ↔ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0))))
5 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
6 2nn 12301 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
76a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„•)
8 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
97, 8nnexpcld 14225 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„•)
105, 9zmodcld 13875 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ β„•0)
1110nn0cnd 12550 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ β„‚)
1211adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ β„‚)
13 1nn0 12504 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„•0
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„•0)
158, 14nn0addcld 12552 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•0)
167, 15nnexpcld 14225 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ β„•)
175, 16zmodcld 13875 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ β„•0)
1817nn0cnd 12550 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
1918adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
2012, 19pncan3d 11590 . . 3 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
2118, 11subcld 11587 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ β„‚)
2221adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ β„‚)
236a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ 2 ∈ β„•)
24 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
2523, 24nnexpcld 14225 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„•)
2625nncnd 12244 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„‚)
27 2cnd 12306 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„‚)
28 2ne0 12332 . . . . . . . 8 2 β‰  0
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 β‰  0)
308nn0zd 12600 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3127, 29, 30expne0d 14134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) β‰  0)
3231adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑀) β‰  0)
33 z0even 16329 . . . . . . . . . 10 2 βˆ₯ 0
34 id 22 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)
3533, 34breqtrrid 5180 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 β†’ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
36 bitsval2 16385 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀)))))
375zred 12682 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
389nnrpd 13032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) ∈ ℝ+)
39 moddiffl 13865 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀))))
4037, 38, 39syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀))))
4140breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀)))))
42 2z 12610 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„€
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ β„€)
44 moddifz 13866 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€)
4537, 38, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€)
465zcnd 12683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
4746, 11, 18nnncan1d 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) βˆ’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) = ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))))
4847oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) βˆ’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
4946, 11subcld 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ β„‚)
5046, 18subcld 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) ∈ β„‚)
519nncnd 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„‚)
5249, 50, 51, 31divsubdird 12045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) βˆ’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) βˆ’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))))
5348, 52eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) βˆ’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))))
5427, 50mulcomd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) = ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) Β· 2))
5527, 51mulcomd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (2↑𝑀)) = ((2↑𝑀) Β· 2))
5627, 8expp1d 14129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) Β· 2))
5755, 56eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (2↑𝑀)) = (2↑(𝑀 + 1)))
5854, 57oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2 Β· (2↑𝑀))) = (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) Β· 2) / (2↑(𝑀 + 1))))
5950, 51, 27, 31, 29divcan5d 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2 Β· (2↑𝑀))) = ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)))
6016nncnd 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ β„‚)
6130peano2zd 12685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„€)
6227, 29, 61expne0d 14134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) β‰  0)
6350, 27, 60, 62div23d 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) Β· 2) / (2↑(𝑀 + 1))) = (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) Β· 2))
6458, 59, 633eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) Β· 2))
6516nnrpd 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ+)
66 moddifz 13866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ+) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ β„€)
6737, 65, 66syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ β„€)
6867, 43zmulcld 12688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) Β· 2) ∈ β„€)
6964, 68eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€)
7045, 69zsubcld 12687 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) βˆ’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))) ∈ β„€)
7153, 70eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€)
72 dvdsmul2 16241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ 2 βˆ₯ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) Β· 2))
7367, 43, 72syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 βˆ₯ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) Β· 2))
7446, 18, 11nnncan2d 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) βˆ’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))))
7574oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) βˆ’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑀)) = ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)))
7649, 21, 51, 31divsubdird 12045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) βˆ’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) βˆ’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
7775, 76, 643eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) βˆ’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))) = (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) Β· 2))
7873, 77breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 βˆ₯ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) βˆ’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
79 dvdssub2 16263 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ∈ β„€ ∧ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€) ∧ 2 βˆ₯ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) βˆ’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))) β†’ (2 βˆ₯ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8043, 45, 71, 78, 79syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8141, 80bitr3d 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀))) ↔ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8281notbid 318 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ (βŒŠβ€˜(𝑁 / (2↑𝑀))) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8336, 82bitrd 279 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) ↔ Β¬ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
8483con2bid 354 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)))
8535, 84imbitrid 243 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)))
8685con2d 134 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) β†’ Β¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0))
87 df-neg 11463 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 = (0 βˆ’ 1)
8851mulm1d 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (-1 Β· (2↑𝑀)) = -(2↑𝑀))
899nnred 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑀) ∈ ℝ)
9089renegcld 11657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ -(2↑𝑀) ∈ ℝ)
9137, 38modcld 13858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
9291renegcld 11657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ -(𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
9337, 65modcld 13858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
9493, 91resubcld 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℝ)
95 modlt 13863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) β†’ (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
9637, 38, 95syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
9791, 89ltnegd 11808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀) ↔ -(2↑𝑀) < -(𝑁 mod (2↑𝑀))))
9896, 97mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ -(2↑𝑀) < -(𝑁 mod (2↑𝑀)))
99 df-neg 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(𝑁 mod (2↑𝑀)) = (0 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
100 0red 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ ℝ)
101 modge0 13862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
10237, 65, 101syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
103100, 93, 91, 102lesub1dd 11846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (0 βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≀ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))))
10499, 103eqbrtrid 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ -(𝑁 mod (2↑𝑀)) ≀ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))))
10590, 92, 94, 98, 104ltletrd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ -(2↑𝑀) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))))
10688, 105eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (-1 Β· (2↑𝑀)) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))))
107 1red 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ ℝ)
108107renegcld 11657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ -1 ∈ ℝ)
109108, 94, 38ltmuldivd 13081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((-1 Β· (2↑𝑀)) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ -1 < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
110106, 109mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ -1 < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
11187, 110eqbrtrrid 5178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (0 βˆ’ 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
112 0zd 12586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„€)
113 zlem1lt 12630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ β„€ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€) β†’ (0 ≀ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ (0 βˆ’ 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
114112, 71, 113syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (0 ≀ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ (0 βˆ’ 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
115111, 114mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
116 elnn0z 12587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„•0 ↔ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„€ ∧ 0 ≀ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
11771, 115, 116sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ β„•0)
118 nn0uz 12880 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
119117, 118eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
12016nnred 12243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
121 modge0 13862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
12237, 38, 121syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
12393, 91subge02d 11822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (0 ≀ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ↔ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≀ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))))
124122, 123mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≀ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
125 modlt 13863 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ+) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) < (2↑(𝑀 + 1)))
12637, 65, 125syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) < (2↑(𝑀 + 1)))
12794, 93, 120, 124, 126lelttrd 11388 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) < (2↑(𝑀 + 1)))
128127, 56breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) < ((2↑𝑀) Β· 2))
1297nnred 12243 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ ℝ)
13094, 129, 38ltdivmuld 13085 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2 ↔ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) < ((2↑𝑀) Β· 2)))
131128, 130mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2)
132 elfzo2 13653 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (0..^2) ↔ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2))
133119, 43, 131, 132syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (0..^2))
134 fzo0to2pr 13735 . . . . . . . . . 10 (0..^2) = {0, 1}
135133, 134eleqtrdi 2838 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ {0, 1})
136 elpri 4646 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ {0, 1} β†’ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 ∨ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
137135, 136syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 ∨ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
138137ord 863 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
13986, 138syld 47 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
140139imp 406 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1)
14122, 26, 32, 140diveq1d 12014 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) = (2↑𝑀))
142141oveq2d 7430 . . 3 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)))
14320, 142eqtr3d 2769 . 2 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)))
14418adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ β„‚)
14511adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ β„‚)
14621adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ β„‚)
14751adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑀) ∈ β„‚)
14831adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (2↑𝑀) β‰  0)
149 n2dvds1 16330 . . . . . . . . . 10 Β¬ 2 βˆ₯ 1
150 breq2 5146 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1 β†’ (2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 βˆ₯ 1))
151149, 150mtbiri 327 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
152138, 151syl6 35 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 β†’ Β¬ 2 βˆ₯ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
153152, 83sylibrd 259 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 β†’ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)))
154153con1d 145 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0))
155154imp 406 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)
156146, 147, 148, 155diveq0d 12013 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) βˆ’ (𝑁 mod (2↑𝑀))) = 0)
157144, 145, 156subeq0d 11595 . . 3 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = (𝑁 mod (2↑𝑀)))
158145addridd 11430 . . 3 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) = (𝑁 mod (2↑𝑀)))
159157, 158eqtr4d 2770 . 2 (((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘)) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0))
1602, 4, 143, 159ifbothda 4562 1 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bitsβ€˜π‘), (2↑𝑀), 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129   < clt 11264   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  -cneg 11461   / cdiv 11887  β„•cn 12228  2c2 12283  β„•0cn0 12488  β„€cz 12574  β„€β‰₯cuz 12838  β„+crp 12992  ..^cfzo 13645  βŒŠcfl 13773   mod cmo 13852  β†‘cexp 14044   βˆ₯ cdvds 16216  bitscbits 16379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-dvds 16217  df-bits 16382
This theorem is referenced by:  bitsinv1  16402  smumullem  16452
  Copyright terms: Public domain W3C validator