Theorem pw2m1lepw2m1 49245

Description: 2 to the power of a positive integer decreased by 1 is less than or equal to 2 to the power of the integer minus 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pw2m1lepw2m1	⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))

Proof of Theorem pw2m1lepw2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2 12412	. . . 4 ⊢ 1 < 2
2		nncn 12240	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
3		1cnd 11201	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	nncand 11573	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − (𝐼 − 1)) = 1)
5	4	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = (2↑1))
6		2cn 12315	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
8		2ne0 12346	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
10		nnz 12611	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
11		peano2zm 12636	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
13	7, 9, 12, 10	expsubd 14192	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
14		exp1 14102	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
15	6, 14	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
16	5, 13, 15	3eqtr3d 2804	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))) = 2)
17	1, 16	breqtrrid 5148	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
18		2nn 12313	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
20		nnm1nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
21	19, 20	nnexpcld 14280	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 13057	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
23		2z 12625	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
24		nnnn0 12510	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
25		zexpcl 14111	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
26	23, 24, 25	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
27	26	zred 12699	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
28		divgt1b 49238	. . . 4 ⊢ (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
29	22, 27, 28	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
30	17, 29	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼))
31	21	nnzd 12616	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
32		zltlem1 12646	. . 3 ⊢ (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
33	31, 26, 32	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
34	30, 33	mpbid 235	1 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5108  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440   / cdiv 11870  ℕcn 12232  2c2 12294  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ℝ⁺crp 13015  ↑cexp 14096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14037  df-exp 14097

This theorem is referenced by:  logbpw2m1  49292