Theorem pw2m1lepw2m1 48499

Description: 2 to the power of a positive integer decreased by 1 is less than or equal to 2 to the power of the integer minus 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pw2m1lepw2m1	⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))

Proof of Theorem pw2m1lepw2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2 12358	. . . 4 ⊢ 1 < 2
2		nncn 12195	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
3		1cnd 11175	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	nncand 11544	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − (𝐼 − 1)) = 1)
5	4	oveq2d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = (2↑1))
6		2cn 12262	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
8		2ne0 12291	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
10		nnz 12556	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
11		peano2zm 12582	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
13	7, 9, 12, 10	expsubd 14128	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
14		exp1 14038	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
15	6, 14	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
16	5, 13, 15	3eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))) = 2)
17	1, 16	breqtrrid 5147	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
18		2nn 12260	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
20		nnm1nn0 12489	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
21	19, 20	nnexpcld 14216	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 12999	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
23		2z 12571	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
24		nnnn0 12455	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
25		zexpcl 14047	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
26	23, 24, 25	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
27	26	zred 12644	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
28		divgt1b 48492	. . . 4 ⊢ (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
29	22, 27, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
30	17, 29	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼))
31	21	nnzd 12562	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
32		zltlem1 12592	. . 3 ⊢ (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
33	31, 26, 32	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
34	30, 33	mpbid 232	1 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   < clt 11214   ≤ cle 11215   − cmin 11411   / cdiv 11841  ℕcn 12187  2c2 12242  ℕ₀cn0 12448  ℤcz 12535  ℝ⁺crp 12957  ↑cexp 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-seq 13973  df-exp 14033

This theorem is referenced by:  logbpw2m1  48546