Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pw2m1lepw2m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pw2m1lepw2m1 45534
Description: 2 to the power of a positive integer decreased by 1 is less than or equal to 2 to the power of the integer minus 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pw2m1lepw2m1 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))

Proof of Theorem pw2m1lepw2m1
StepHypRef Expression
1 1lt2 12001 . . . 4 1 < 2
2 nncn 11838 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
3 1cnd 10828 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
42, 3nncand 11194 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − (𝐼 − 1)) = 1)
54oveq2d 7229 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = (2↑1))
6 2cn 11905 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
8 2ne0 11934 . . . . . . 7 2 ≠ 0
98a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
10 nnz 12199 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
11 peano2zm 12220 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
137, 9, 12, 10expsubd 13727 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
14 exp1 13641 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
156, 14mp1i 13 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
165, 13, 153eqtr3d 2785 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))) = 2)
171, 16breqtrrid 5091 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
18 2nn 11903 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
20 nnm1nn0 12131 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
2119, 20nnexpcld 13812 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
2221nnrpd 12626 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
23 2z 12209 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
24 nnnn0 12097 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
25 zexpcl 13650 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
2623, 24, 25sylancr 590 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
2726zred 12282 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
28 divgt1b 45527 . . . 4 (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
2922, 27, 28syl2anc 587 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
3017, 29mpbird 260 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼))
3121nnzd 12281 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
32 zltlem1 12230 . . 3 (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
3331, 26, 32syl2anc 587 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
3430, 33mpbid 235 1 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062   / cdiv 11489  cn 11830  2c2 11885  0cn0 12090  cz 12176  +crp 12586  cexp 13635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636
This theorem is referenced by:  logbpw2m1  45586
  Copyright terms: Public domain W3C validator