Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pw2m1lepw2m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pw2m1lepw2m1 47696
Description: 2 to the power of a positive integer decreased by 1 is less than or equal to 2 to the power of the integer minus 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pw2m1lepw2m1 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))

Proof of Theorem pw2m1lepw2m1
StepHypRef Expression
1 1lt2 12408 . . . 4 1 < 2
2 nncn 12245 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
3 1cnd 11234 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
42, 3nncand 11601 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − (𝐼 − 1)) = 1)
54oveq2d 7429 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = (2↑1))
6 2cn 12312 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
8 2ne0 12341 . . . . . . 7 2 ≠ 0
98a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
10 nnz 12604 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
11 peano2zm 12630 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
137, 9, 12, 10expsubd 14148 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
14 exp1 14059 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
156, 14mp1i 13 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
165, 13, 153eqtr3d 2773 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))) = 2)
171, 16breqtrrid 5182 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
18 2nn 12310 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
20 nnm1nn0 12538 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
2119, 20nnexpcld 14234 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
2221nnrpd 13041 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
23 2z 12619 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
24 nnnn0 12504 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
25 zexpcl 14068 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
2623, 24, 25sylancr 585 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
2726zred 12691 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
28 divgt1b 47689 . . . 4 (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
2922, 27, 28syl2anc 582 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
3017, 29mpbird 256 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼))
3121nnzd 12610 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
32 zltlem1 12640 . . 3 (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
3331, 26, 32syl2anc 582 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
3430, 33mpbid 231 1 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930   class class class wbr 5144  (class class class)co 7413  cc 11131  cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   < clt 11273  cle 11274  cmin 11469   / cdiv 11896  cn 12237  2c2 12292  0cn0 12497  cz 12583  +crp 13001  cexp 14053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054
This theorem is referenced by:  logbpw2m1  47748
  Copyright terms: Public domain W3C validator