Theorem pw2m1lepw2m1 49023

Description: 2 to the power of a positive integer decreased by 1 is less than or equal to 2 to the power of the integer minus 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pw2m1lepw2m1	⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))

Proof of Theorem pw2m1lepw2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2 12342	. . . 4 ⊢ 1 < 2
2		nncn 12177	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
3		1cnd 11135	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	nncand 11506	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − (𝐼 − 1)) = 1)
5	4	oveq2d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = (2↑1))
6		2cn 12251	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
8		2ne0 12280	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
10		nnz 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
11		peano2zm 12565	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
13	7, 9, 12, 10	expsubd 14114	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
14		exp1 14024	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
15	6, 14	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
16	5, 13, 15	3eqtr3d 2784	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))) = 2)
17	1, 16	breqtrrid 5112	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
18		2nn 12249	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
20		nnm1nn0 12473	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
21	19, 20	nnexpcld 14202	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 12979	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
23		2z 12554	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
24		nnnn0 12439	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
25		zexpcl 14033	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
26	23, 24, 25	sylancr 594	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
27	26	zred 12628	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
28		divgt1b 49016	. . . 4 ⊢ (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
29	22, 27, 28	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
30	17, 29	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼))
31	21	nnzd 12545	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
32		zltlem1 12575	. . 3 ⊢ (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
33	31, 26, 32	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
34	30, 33	mpbid 234	1 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   class class class wbr 5074  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  ℝcr 11033  0cc0 11034  1c1 11035   < clt 11175   ≤ cle 11176   − cmin 11373   / cdiv 11803  ℕcn 12169  2c2 12231  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ℝ⁺crp 12937  ↑cexp 14018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019

This theorem is referenced by:  logbpw2m1  49070