Theorem pw2m1lepw2m1 45861

Description: 2 to the power of a positive integer decreased by 1 is less than or equal to 2 to the power of the integer minus 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pw2m1lepw2m1	⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))

Proof of Theorem pw2m1lepw2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2 12144	. . . 4 ⊢ 1 < 2
2		nncn 11981	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
3		1cnd 10970	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	nncand 11337	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − (𝐼 − 1)) = 1)
5	4	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = (2↑1))
6		2cn 12048	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
8		2ne0 12077	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
10		nnz 12342	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
11		peano2zm 12363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
13	7, 9, 12, 10	expsubd 13875	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
14		exp1 13788	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
15	6, 14	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
16	5, 13, 15	3eqtr3d 2786	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))) = 2)
17	1, 16	breqtrrid 5112	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
18		2nn 12046	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
20		nnm1nn0 12274	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
21	19, 20	nnexpcld 13960	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 12770	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
23		2z 12352	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
24		nnnn0 12240	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
25		zexpcl 13797	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
26	23, 24, 25	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
27	26	zred 12426	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
28		divgt1b 45854	. . . 4 ⊢ (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
29	22, 27, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
30	17, 29	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼))
31	21	nnzd 12425	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
32		zltlem1 12373	. . 3 ⊢ (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
33	31, 26, 32	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
34	30, 33	mpbid 231	1 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℝ⁺crp 12730  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  logbpw2m1  45913