Theorem pw2m1lepw2m1 48506

Description: 2 to the power of a positive integer decreased by 1 is less than or equal to 2 to the power of the integer minus 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pw2m1lepw2m1	⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))

Proof of Theorem pw2m1lepw2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2 12312	. . . 4 ⊢ 1 < 2
2		nncn 12154	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
3		1cnd 11129	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	nncand 11498	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − (𝐼 − 1)) = 1)
5	4	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = (2↑1))
6		2cn 12221	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
8		2ne0 12250	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
10		nnz 12510	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
11		peano2zm 12536	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
13	7, 9, 12, 10	expsubd 14082	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − (𝐼 − 1))) = ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
14		exp1 13992	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
15	6, 14	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
16	5, 13, 15	3eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))) = 2)
17	1, 16	breqtrrid 5133	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1))))
18		2nn 12219	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
20		nnm1nn0 12443	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
21	19, 20	nnexpcld 14170	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 12953	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
23		2z 12525	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
24		nnnn0 12409	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
25		zexpcl 14001	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
26	23, 24, 25	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℤ)
27	26	zred 12598	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
28		divgt1b 48499	. . . 4 ⊢ (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
29	22, 27, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ 1 < ((2↑𝐼) / (2↑(𝐼 − 1)))))
30	17, 29	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼))
31	21	nnzd 12516	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ)
32		zltlem1 12546	. . 3 ⊢ (((2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℤ) → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
33	31, 26, 32	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) < (2↑𝐼) ↔ (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1)))
34	30, 33	mpbid 232	1 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℝ⁺crp 12911  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  logbpw2m1  48553