Theorem sinq12ge0 26461

Description: The sine of a number between 0 and π is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sinq12ge0	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinq12ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11246	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		pire 26411	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
3	1, 2	elicc2i 13422	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
4	3	simp1bi 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		rexr 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
6		rexr 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
7		elioo2 13397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
8	5, 6, 7	syl2an 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
9	1, 2, 8	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
10		sinq12gt0 26460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))
11	9, 10	sylbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (sin‘𝐴))
12	11	3expib 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (sin‘𝐴)))
13	4, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (sin‘𝐴)))
14	4	resincld 16119	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
15		ltle 11332	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘𝐴) → 0 ≤ (sin‘𝐴)))
16	1, 14, 15	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → (0 < (sin‘𝐴) → 0 ≤ (sin‘𝐴)))
17	13, 16	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 ≤ (sin‘𝐴)))
18	17	expd 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → (0 < 𝐴 → (𝐴 < π → 0 ≤ (sin‘𝐴))))
19		0le0 12343	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
20		sin0 16125	. . . . . 6 ⊢ (sin‘0) = 0
21	19, 20	breqtrri 5170	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (sin‘0)
22		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → (sin‘0) = (sin‘𝐴))
23	21, 22	breqtrid 5180	. . . 4 ⊢ (0 = 𝐴 → 0 ≤ (sin‘𝐴))
24	23	a1i13 27	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → (0 = 𝐴 → (𝐴 < π → 0 ≤ (sin‘𝐴))))
25	3	simp2bi 1143	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ 𝐴)
26		leloe 11330	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
27	1, 4, 26	sylancr 585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
28	25, 27	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
29	18, 24, 28	mpjaod 858	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → (𝐴 < π → 0 ≤ (sin‘𝐴)))
30		sinpi 26410	. . . . 5 ⊢ (sin‘π) = 0
31	19, 30	breqtrri 5170	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (sin‘π)
32		fveq2 6892	. . . 4 ⊢ (𝐴 = π → (sin‘𝐴) = (sin‘π))
33	31, 32	breqtrrid 5181	. . 3 ⊢ (𝐴 = π → 0 ≤ (sin‘𝐴))
34	33	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → (𝐴 = π → 0 ≤ (sin‘𝐴)))
35	3	simp3bi 1144	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 ≤ π)
36		leloe 11330	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π)))
37	4, 2, 36	sylancl 584	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π)))
38	35, 37	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π))
39	29, 34, 38	mpjaod 858	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ (sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℝcr 11137  0cc0 11138  ℝ^*cxr 11277   < clt 11278   ≤ cle 11279  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359  sincsin 16039  πcpi 16042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814

This theorem is referenced by:  cosq14ge0  26464  argimgt0  26564  sin2h  37140