Theorem logneg 25743

Description: The natural logarithm of a negative real number. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) + (i · π)))

Proof of Theorem logneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcl 25731	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11003	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 10930	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		picn 25616	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
5	3, 4	mulcli 10982	. . . . 5 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
6		efadd 15803	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))))
7	2, 5, 6	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))))
8		efipi 25630	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · π)) = -1
9	8	oveq2i 7286	. . . . 5 ⊢ ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · -1)
10		reeflog 25736	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
11	10	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((exp‘(log‘𝐴)) · -1) = (𝐴 · -1))
12	9, 11	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))) = (𝐴 · -1))
13		rpcn 12740	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		neg1cn 12087	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
15		mulcom 10957	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
16	13, 14, 15	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
17	13	mulm1d 11427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
18	16, 17	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · -1) = -𝐴)
19	7, 12, 18	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = -𝐴)
20	19	fveq2d 6778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = (log‘-𝐴))
21		addcl 10953	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ)
22	2, 5, 21	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ)
23		pipos 25617	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
24		pire 25615	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
25		lt0neg2 11482	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 < π ↔ -π < 0)
27	23, 26	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ -π < 0
28	24	renegcli 11282	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
29		0re 10977	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	28, 29, 24	lttri 11101	. . . . . 6 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
31	27, 23, 30	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ -π < π
32		crim 14826	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) = π)
33	1, 24, 32	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) = π)
34	31, 33	breqtrrid 5112	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))))
35	24	leidi 11509	. . . . 5 ⊢ π ≤ π
36	33, 35	eqbrtrdi 5113	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ≤ π)
37		ellogrn 25715	. . . 4 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ≤ π))
38	22, 34, 36, 37	syl3anbrc 1342	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log)
39		logef 25737	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = ((log‘𝐴) + (i · π)))
40	38, 39	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = ((log‘𝐴) + (i · π)))
41	20, 40	eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) + (i · π)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010  -cneg 11206  ℝ⁺crp 12730  ℑcim 14809  expce 15771  πcpi 15776  logclog 25710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712

This theorem is referenced by:  logm1  25744  lognegb  25745  cxpsqrt  25858