Theorem logneg 26552

Description: The natural logarithm of a negative real number. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) + (i · π)))

Proof of Theorem logneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcl 26539	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11173	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 11097	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		picn 26422	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
5	3, 4	mulcli 11152	. . . . 5 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
6		efadd 16059	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))))
7	2, 5, 6	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))))
8		efipi 26437	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · π)) = -1
9	8	oveq2i 7378	. . . . 5 ⊢ ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · -1)
10		reeflog 26544	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
11	10	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((exp‘(log‘𝐴)) · -1) = (𝐴 · -1))
12	9, 11	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))) = (𝐴 · -1))
13		rpcn 12953	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		neg1cn 12144	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
15		mulcom 11124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
16	13, 14, 15	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
17	13	mulm1d 11602	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
18	16, 17	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · -1) = -𝐴)
19	7, 12, 18	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = -𝐴)
20	19	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = (log‘-𝐴))
21		addcl 11120	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ)
22	2, 5, 21	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ)
23		pipos 26423	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
24		pire 26421	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
25		lt0neg2 11657	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 < π ↔ -π < 0)
27	23, 26	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ -π < 0
28	24	renegcli 11455	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
29		0re 11146	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	28, 29, 24	lttri 11272	. . . . . 6 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
31	27, 23, 30	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ -π < π
32		crim 15077	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) = π)
33	1, 24, 32	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) = π)
34	31, 33	breqtrrid 5123	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))))
35	24	leidi 11684	. . . . 5 ⊢ π ≤ π
36	33, 35	eqbrtrdi 5124	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ≤ π)
37		ellogrn 26523	. . . 4 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ≤ π))
38	22, 34, 36, 37	syl3anbrc 1345	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log)
39		logef 26545	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = ((log‘𝐴) + (i · π)))
40	38, 39	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = ((log‘𝐴) + (i · π)))
41	20, 40	eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) + (i · π)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180  -cneg 11378  ℝ⁺crp 12942  ℑcim 15060  expce 16026  πcpi 16031  logclog 26518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520

This theorem is referenced by:  logm1  26553  lognegb  26554  cxpsqrt  26667