Theorem logneg 26513

Description: The natural logarithm of a negative real number. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) + (i · π)))

Proof of Theorem logneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcl 26500	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11162	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3		ax-icn 11087	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4		picn 26383	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
5	3, 4	mulcli 11141	. . . . 5 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
6		efadd 16019	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))))
7	2, 5, 6	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))))
8		efipi 26398	. . . . . 6 ⊢ (exp‘(i · π)) = -1
9	8	oveq2i 7364	. . . . 5 ⊢ ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))) = ((exp‘(log‘𝐴)) · -1)
10		reeflog 26505	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
11	10	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((exp‘(log‘𝐴)) · -1) = (𝐴 · -1))
12	9, 11	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((exp‘(log‘𝐴)) · (exp‘(i · π))) = (𝐴 · -1))
13		rpcn 12922	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		neg1cn 12131	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
15		mulcom 11114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
16	13, 14, 15	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
17	13	mulm1d 11590	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
18	16, 17	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · -1) = -𝐴)
19	7, 12, 18	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘((log‘𝐴) + (i · π))) = -𝐴)
20	19	fveq2d 6830	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = (log‘-𝐴))
21		addcl 11110	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ)
22	2, 5, 21	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ)
23		pipos 26384	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
24		pire 26382	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
25		lt0neg2 11645	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℝ → (0 < π ↔ -π < 0))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 < π ↔ -π < 0)
27	23, 26	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ -π < 0
28	24	renegcli 11443	. . . . . . 7 ⊢ -π ∈ ℝ
29		0re 11136	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
30	28, 29, 24	lttri 11260	. . . . . 6 ⊢ ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
31	27, 23, 30	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ -π < π
32		crim 15040	. . . . . 6 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) = π)
33	1, 24, 32	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) = π)
34	31, 33	breqtrrid 5133	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))))
35	24	leidi 11672	. . . . 5 ⊢ π ≤ π
36	33, 35	eqbrtrdi 5134	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ≤ π)
37		ellogrn 26484	. . . 4 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐴) + (i · π))) ≤ π))
38	22, 34, 36, 37	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log)
39		logef 26506	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) + (i · π)) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = ((log‘𝐴) + (i · π)))
40	38, 39	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘((log‘𝐴) + (i · π)))) = ((log‘𝐴) + (i · π)))
41	20, 40	eqtr3d 2766	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘-𝐴) = ((log‘𝐴) + (i · π)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ran crn 5624  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029  ici 11030   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169  -cneg 11366  ℝ⁺crp 12911  ℑcim 15023  expce 15986  πcpi 15991  logclog 26479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784  df-log 26481

This theorem is referenced by:  logm1  26514  lognegb  26515  cxpsqrt  26628