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Theorem prmreclem4 16111
Description: Lemma for prmrec 16114. Show by induction that the indexed (nondisjoint) union 𝑊𝑘 is at most the size of the prime reciprocal series. The key counting lemma is hashdvds 15968, to show that the number of numbers in 1...𝑁 that divide 𝑘 is at most 𝑁 / 𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
prmrec.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
prmrec.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prmrec.4 𝑀 = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛}
prmrec.5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
prmrec.6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2))
prmrec.7 𝑊 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)})
Assertion
Ref Expression
prmreclem4 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑝,𝐹   𝑘,𝐾,𝑛,𝑝   𝑘,𝑀,𝑛,𝑝   𝜑,𝑘,𝑛,𝑝   𝑘,𝑊   𝑘,𝑁,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑛,𝑝)

Proof of Theorem prmreclem4
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6984 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...𝐾))
21iuneq1d 4818 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘))
32fveq2d 6503 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)))
41sumeq1d 14918 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
54oveq2d 6992 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
63, 5breq12d 4942 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
76imbi2d 333 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
8 oveq2 6984 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑗 → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...𝑗))
98iuneq1d 4818 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘))
109fveq2d 6503 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)))
118sumeq1d 14918 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
1211oveq2d 6992 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
1310, 12breq12d 4942 . . . 4 (𝑥 = 𝑗 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
1413imbi2d 333 . . 3 (𝑥 = 𝑗 → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
15 oveq2 6984 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)))
1615iuneq1d 4818 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 + 1) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘))
1716fveq2d 6503 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)))
1815sumeq1d 14918 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 + 1) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
1918oveq2d 6992 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
2017, 19breq12d 4942 . . . 4 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
2120imbi2d 333 . . 3 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
22 oveq2 6984 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...𝑁))
2322iuneq1d 4818 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))
2423fveq2d 6503 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
2522sumeq1d 14918 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
2625oveq2d 6992 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
2724, 26breq12d 4942 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
2827imbi2d 333 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
29 0le0 11548 . . . . 5 0 ≤ 0
30 prmrec.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3130nncnd 11457 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3231mul01d 10639 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
3329, 32syl5breqr 4967 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · 0))
34 prmrec.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
3534nnred 11456 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
3635ltp1d 11371 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 < (𝐾 + 1))
3734nnzd 11899 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
3837peano2zd 11903 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
39 fzn 12739 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝐾 + 1) ↔ ((𝐾 + 1)...𝐾) = ∅))
4038, 37, 39syl2anc 576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 < (𝐾 + 1) ↔ ((𝐾 + 1)...𝐾) = ∅))
4136, 40mpbid 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝐾) = ∅)
4241iuneq1d 4818 . . . . . . 7 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ∅ (𝑊𝑘))
43 0iun 4852 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ∅ (𝑊𝑘) = ∅
4442, 43syl6eq 2830 . . . . . 6 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘) = ∅)
4544fveq2d 6503 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) = (♯‘∅))
46 hash0 13543 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
4745, 46syl6eq 2830 . . . 4 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) = 0)
4841sumeq1d 14918 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ∅ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
49 sum0 14938 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ∅ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = 0
5048, 49syl6eq 2830 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = 0)
5150oveq2d 6992 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · 0))
5233, 47, 513brtr4d 4961 . . 3 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
53 fzfi 13155 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ∈ Fin
54 elfzuz 12720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
5534peano2nnd 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
56 eluznn 12132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
5755, 56sylan 572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
58 eleq1 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
59 breq1 4932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝𝑛𝑘𝑛))
6058, 59anbi12d 621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 𝑘 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)))
6160rabbidv 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 𝑘 → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
62 prmrec.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑊 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)})
63 ovex 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...𝑁) ∈ V
6463rabex 5091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ∈ V
6561, 62, 64fvmpt 6595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
6665adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
67 ssrab2 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ⊆ (1...𝑁)
6866, 67syl6eqss 3911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
6957, 68syldan 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7054, 69sylan2 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7170ralrimiva 3132 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7271adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
73 iunss 4835 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7472, 73sylibr 226 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
75 ssfi 8533 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin)
7653, 74, 75sylancr 578 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin)
77 hashcl 13532 . . . . . . . . . 10 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
7978nn0red 11768 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ∈ ℝ)
8030nnred 11456 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
8180adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
82 fzfid 13156 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...𝑗) ∈ Fin)
8355adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
8483, 54, 56syl2an 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
85 nnrecre 11482 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
86 0re 10441 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
87 ifcl 4394 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
8885, 86, 87sylancl 577 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
8984, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
9082, 89fsumrecl 14951 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
9181, 90remulcld 10470 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ)
92 prmnn 15874 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) ∈ ℙ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
9392nnrecred 11491 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 + 1) ∈ ℙ → (1 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
9493adantl 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (1 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
95 0red 10443 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
9694, 95ifclda 4384 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) ∈ ℝ)
9781, 96remulcld 10470 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) ∈ ℝ)
9879, 91, 97leadd1d 11035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))))
99 eluzp1p1 12084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
10099adantl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
101 simpl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝜑)
102 elfzuz 12720 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
10388recnd 10468 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
10457, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
105101, 102, 104syl2an 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
106 eleq1 2853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 ∈ ℙ ↔ (𝑗 + 1) ∈ ℙ))
107 oveq2 6984 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (1 / 𝑘) = (1 / (𝑗 + 1)))
108106, 107ifbieq1d 4373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑗 + 1) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))
109100, 105, 108fsumm1 14966 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
110 eluzelz 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑗 ∈ ℤ)
111110adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
112111zcnd 11901 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℂ)
113 ax-1cn 10393 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
114 pncan 10692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
115112, 113, 114sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
116115oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1)) = ((𝐾 + 1)...𝑗))
117116sumeq1d 14918 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
118117oveq1d 6991 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
119109, 118eqtrd 2814 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
120119oveq2d 6992 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
12131adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℂ)
12290recnd 10468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
12396recnd 10468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) ∈ ℂ)
124121, 122, 123adddid 10464 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) = ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
125120, 124eqtrd 2814 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
126125breq2d 4941 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))))
12798, 126bitr4d 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
128102, 69sylan2 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
129128ralrimiva 3132 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
130129adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
131 iunss 4835 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
132130, 131sylibr 226 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
133 ssfi 8533 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ∈ Fin)
13453, 132, 133sylancr 578 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ∈ Fin)
135 hashcl 13532 . . . . . . . . . 10 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ∈ Fin → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
137136nn0red 11768 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℝ)
138 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑊𝑘) = (𝑊‘(𝑗 + 1)))
139138sseq1d 3888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ (𝑊‘(𝑗 + 1)) ⊆ (1...𝑁)))
14068ralrimiva 3132 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
141140adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
142 eluznn 12132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ)
14334, 142sylan 572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ)
144143peano2nnd 11458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
145139, 141, 144rspcdva 3541 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) ⊆ (1...𝑁))
146 ssfi 8533 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (𝑊‘(𝑗 + 1)) ⊆ (1...𝑁)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin)
14753, 145, 146sylancr 578 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin)
148 hashcl 13532 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ∈ ℕ0)
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ∈ ℕ0)
150149nn0red 11768 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
15179, 150readdcld 10469 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
15279, 97readdcld 10469 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∈ ℝ)
15338adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
154 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝐾))
15534nncnd 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
156155adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
157 pncan 10692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
158156, 113, 157sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
159158fveq2d 6503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ‘((𝐾 + 1) − 1)) = (ℤ𝐾))
160154, 159eleqtrrd 2869 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) − 1)))
161 fzsuc2 12781 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) − 1))) → ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) = (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)}))
162153, 160, 161syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) = (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)}))
163162iuneq1d 4818 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)})(𝑊𝑘))
164 iunxun 4882 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ∈ (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)})(𝑊𝑘) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {(𝑗 + 1)} (𝑊𝑘))
165 ovex 7008 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 + 1) ∈ V
166165, 138iunxsn 4879 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ {(𝑗 + 1)} (𝑊𝑘) = (𝑊‘(𝑗 + 1))
167166uneq2i 4025 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {(𝑗 + 1)} (𝑊𝑘)) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))
168164, 167eqtri 2802 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)})(𝑊𝑘) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))
169163, 168syl6eq 2830 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1))))
170169fveq2d 6503 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) = (♯‘( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))))
171 hashun2 13557 . . . . . . . . . 10 (( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin ∧ (𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin) → (♯‘( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))))
17276, 147, 171syl2anc 576 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))))
173170, 172eqbrtrd 4951 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))))
17481, 144nndivred 11494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
175 flle 12984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 / (𝑗 + 1)))
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 / (𝑗 + 1)))
177 elfznn 12752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ)
178177nncnd 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
179178subid1d 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑛 − 0) = 𝑛)
180179breq2d 4941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0) ↔ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
181180rabbiia 3398 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}
182181fveq2i 6502 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)}) = (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛})
183 1zzd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
18430nnnn0d 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
185 nn0uz 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 = (ℤ‘0)
186 1m1e0 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 − 1) = 0
187186fveq2i 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
188185, 187eqtr4i 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘(1 − 1))
189184, 188syl6eleq 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
190189adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
191 0zd 11805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 0 ∈ ℤ)
192144, 183, 190, 191hashdvds 15968 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)}) = ((⌊‘((𝑁 − 0) / (𝑗 + 1))) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)))))
193121subid1d 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
194193fvoveq1d 6998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘((𝑁 − 0) / (𝑗 + 1))) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
195186oveq1i 6986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 − 1) − 0) = (0 − 0)
196 0m0e0 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 − 0) = 0
197195, 196eqtri 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 − 1) − 0) = 0
198197oveq1i 6986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)) = (0 / (𝑗 + 1))
199144nncnd 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
200144nnne0d 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
201199, 200div0d 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (0 / (𝑗 + 1)) = 0)
202198, 201syl5eq 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)) = 0)
203202fveq2d 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1))) = (⌊‘0))
204 0z 11804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℤ
205 flid 12993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
206204, 205ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⌊‘0) = 0
207203, 206syl6eq 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1))) = 0)
208194, 207oveq12d 6994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((⌊‘((𝑁 − 0) / (𝑗 + 1))) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) − 0))
209174flcld 12983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ∈ ℤ)
210209zcnd 11901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
211210subid1d 10787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) − 0) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
212192, 208, 2113eqtrd 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)}) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
213182, 212syl5eqr 2828 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
214121, 199, 200divrecd 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 / (𝑗 + 1)) = (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
215214eqcomd 2784 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))) = (𝑁 / (𝑗 + 1)))
216176, 213, 2153brtr4d 4961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}) ≤ (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
217216adantr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}) ≤ (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
218 eleq1 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = (𝑗 + 1) → (𝑝 ∈ ℙ ↔ (𝑗 + 1) ∈ ℙ))
219 breq1 4932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = (𝑗 + 1) → (𝑝𝑛 ↔ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
220218, 219anbi12d 621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = (𝑗 + 1) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛) ↔ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)))
221220rabbidv 3403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = (𝑗 + 1) → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
22263rabex 5091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)} ∈ V
223221, 62, 222fvmpt 6595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
224144, 223syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
225224adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
226 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑗 + 1) ∈ ℙ)
227226biantrurd 525 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑗 + 1) ∥ 𝑛 ↔ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)))
228227rabbidv 3403 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
229225, 228eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛})
230229fveq2d 6503 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) = (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}))
231 iftrue 4356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ ℙ → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) = (1 / (𝑗 + 1)))
232231adantl 474 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) = (1 / (𝑗 + 1)))
233232oveq2d 6992 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
234217, 230, 2333brtr4d 4961 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
23529a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → 0 ≤ 0)
236 simpl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛) → (𝑗 + 1) ∈ ℙ)
237236con3i 152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → ¬ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
238237ralrimivw 3133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → ∀𝑛 ∈ (1...𝑁) ¬ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
239 rabeq0 4224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁) ¬ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
240238, 239sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)} = ∅)
241224, 240sylan9eq 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = ∅)
242241fveq2d 6503 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) = (♯‘∅))
243242, 46syl6eq 2830 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) = 0)
244 iffalse 4359 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) = 0)
245244oveq2d 6992 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = (𝑁 · 0))
24632adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · 0) = 0)
247245, 246sylan9eqr 2836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = 0)
248235, 243, 2473brtr4d 4961 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
249234, 248pm2.61dan 800 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
250150, 97, 79, 249leadd2dd 11056 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
251137, 151, 152, 173, 250letrd 10597 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
252 fzfid 13156 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) ∈ Fin)
25357, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
254101, 102, 253syl2an 586 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
255252, 254fsumrecl 14951 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
25681, 255remulcld 10470 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ)
257 letr 10534 . . . . . . . 8 (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∧ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
258137, 152, 256, 257syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∧ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
259251, 258mpand 682 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
260127, 259sylbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
261260expcom 406 . . . 4 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → (𝜑 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
262261a2d 29 . . 3 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) → (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
2637, 14, 21, 28, 52, 262uzind4i 12124 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
264263com12 32 1 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  {crab 3092  cdif 3826  cun 3827  wss 3829  c0 4178  ifcif 4350  {csn 4441   ciun 4792   class class class wbr 4929  cmpt 5008  dom cdm 5407  cfv 6188  (class class class)co 6976  Fincfn 8306  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340   < clt 10474  cle 10475  cmin 10670   / cdiv 11098  cn 11439  2c2 11495  0cn0 11707  cz 11793  cuz 12058  ...cfz 12708  cfl 12975  seqcseq 13184  chash 13505  cli 14702  Σcsu 14903  cdvds 15467  cprime 15871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-dju 9124  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904  df-dvds 15468  df-prm 15872
This theorem is referenced by:  prmreclem5  16112
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