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Theorem prmreclem4 16958
Description: Lemma for prmrec 16961. Show by induction that the indexed (nondisjoint) union 𝑊𝑘 is at most the size of the prime reciprocal series. The key counting lemma is hashdvds 16813, to show that the number of numbers in 1...𝑁 that divide 𝑘 is at most 𝑁 / 𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
prmrec.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
prmrec.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prmrec.4 𝑀 = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛}
prmrec.5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
prmrec.6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2))
prmrec.7 𝑊 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)})
Assertion
Ref Expression
prmreclem4 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑝,𝐹   𝑘,𝐾,𝑛,𝑝   𝑘,𝑀,𝑛,𝑝   𝜑,𝑘,𝑛,𝑝   𝑘,𝑊   𝑘,𝑁,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑛,𝑝)

Proof of Theorem prmreclem4
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...𝐾))
21iuneq1d 5018 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘))
32fveq2d 6909 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)))
41sumeq1d 15737 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
54oveq2d 7448 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
63, 5breq12d 5155 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
76imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
8 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑗 → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...𝑗))
98iuneq1d 5018 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘))
109fveq2d 6909 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)))
118sumeq1d 15737 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
1211oveq2d 7448 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
1310, 12breq12d 5155 . . . 4 (𝑥 = 𝑗 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
1413imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑗 → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
15 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)))
1615iuneq1d 5018 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 + 1) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘))
1716fveq2d 6909 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)))
1815sumeq1d 15737 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 + 1) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
1918oveq2d 7448 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
2017, 19breq12d 5155 . . . 4 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
2120imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
22 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...𝑁))
2322iuneq1d 5018 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))
2423fveq2d 6909 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
2522sumeq1d 15737 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
2625oveq2d 7448 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
2724, 26breq12d 5155 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
2827imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
29 0le0 12368 . . . . 5 0 ≤ 0
30 prmrec.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3130nncnd 12283 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3231mul01d 11461 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
3329, 32breqtrrid 5180 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · 0))
34 prmrec.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
3534nnred 12282 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
3635ltp1d 12199 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 < (𝐾 + 1))
3734nnzd 12642 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
3837peano2zd 12727 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
39 fzn 13581 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝐾 + 1) ↔ ((𝐾 + 1)...𝐾) = ∅))
4038, 37, 39syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 < (𝐾 + 1) ↔ ((𝐾 + 1)...𝐾) = ∅))
4136, 40mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝐾) = ∅)
4241iuneq1d 5018 . . . . . . 7 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ∅ (𝑊𝑘))
43 0iun 5062 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ∅ (𝑊𝑘) = ∅
4442, 43eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘) = ∅)
4544fveq2d 6909 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) = (♯‘∅))
46 hash0 14407 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
4745, 46eqtrdi 2792 . . . 4 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) = 0)
4841sumeq1d 15737 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ∅ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
49 sum0 15758 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ∅ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = 0
5048, 49eqtrdi 2792 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = 0)
5150oveq2d 7448 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · 0))
5233, 47, 513brtr4d 5174 . . 3 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
53 fzfi 14014 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ∈ Fin
54 elfzuz 13561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
5534peano2nnd 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
56 eluznn 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
5755, 56sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
58 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
59 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝𝑛𝑘𝑛))
6058, 59anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 𝑘 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)))
6160rabbidv 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 𝑘 → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
62 prmrec.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑊 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)})
63 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...𝑁) ∈ V
6463rabex 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ∈ V
6561, 62, 64fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
67 ssrab2 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ⊆ (1...𝑁)
6866, 67eqsstrdi 4027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
6957, 68syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7054, 69sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7170ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
73 iunss 5044 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7472, 73sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
75 ssfi 9214 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin)
7653, 74, 75sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin)
77 hashcl 14396 . . . . . . . . . 10 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
7978nn0red 12590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ∈ ℝ)
8030nnred 12282 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
8180adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
82 fzfid 14015 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...𝑗) ∈ Fin)
8355adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
8483, 54, 56syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
85 nnrecre 12309 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
86 0re 11264 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
87 ifcl 4570 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
8885, 86, 87sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
8984, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
9082, 89fsumrecl 15771 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
9181, 90remulcld 11292 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ)
92 prmnn 16712 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) ∈ ℙ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
9392nnrecred 12318 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 + 1) ∈ ℙ → (1 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
9493adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (1 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
95 0red 11265 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
9694, 95ifclda 4560 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) ∈ ℝ)
9781, 96remulcld 11292 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) ∈ ℝ)
9879, 91, 97leadd1d 11858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))))
99 eluzp1p1 12907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
10099adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
101 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝜑)
102 elfzuz 13561 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
10388recnd 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
10457, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
105101, 102, 104syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
106 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 ∈ ℙ ↔ (𝑗 + 1) ∈ ℙ))
107 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (1 / 𝑘) = (1 / (𝑗 + 1)))
108106, 107ifbieq1d 4549 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑗 + 1) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))
109100, 105, 108fsumm1 15788 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
110 eluzelz 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑗 ∈ ℤ)
111110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
112111zcnd 12725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℂ)
113 ax-1cn 11214 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
114 pncan 11515 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
115112, 113, 114sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
116115oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1)) = ((𝐾 + 1)...𝑗))
117116sumeq1d 15737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
118117oveq1d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
119109, 118eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
120119oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
12131adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℂ)
12290recnd 11290 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
12396recnd 11290 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) ∈ ℂ)
124121, 122, 123adddid 11286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) = ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
125120, 124eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
126125breq2d 5154 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))))
12798, 126bitr4d 282 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
128102, 69sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
129128ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
130129adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
131 iunss 5044 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
132130, 131sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
133 ssfi 9214 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ∈ Fin)
13453, 132, 133sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ∈ Fin)
135 hashcl 14396 . . . . . . . . . 10 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ∈ Fin → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
137136nn0red 12590 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℝ)
138 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑊𝑘) = (𝑊‘(𝑗 + 1)))
139138sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ (𝑊‘(𝑗 + 1)) ⊆ (1...𝑁)))
14068ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
141140adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
142 eluznn 12961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ)
14334, 142sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ)
144143peano2nnd 12284 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
145139, 141, 144rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) ⊆ (1...𝑁))
146 ssfi 9214 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (𝑊‘(𝑗 + 1)) ⊆ (1...𝑁)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin)
14753, 145, 146sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin)
148 hashcl 14396 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ∈ ℕ0)
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ∈ ℕ0)
150149nn0red 12590 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
15179, 150readdcld 11291 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
15279, 97readdcld 11291 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∈ ℝ)
15338adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
154 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝐾))
15534nncnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
157 pncan 11515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
158156, 113, 157sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
159158fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ‘((𝐾 + 1) − 1)) = (ℤ𝐾))
160154, 159eleqtrrd 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) − 1)))
161 fzsuc2 13623 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) − 1))) → ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) = (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)}))
162153, 160, 161syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) = (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)}))
163162iuneq1d 5018 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)})(𝑊𝑘))
164 iunxun 5093 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ∈ (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)})(𝑊𝑘) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {(𝑗 + 1)} (𝑊𝑘))
165 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 + 1) ∈ V
166165, 138iunxsn 5090 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ {(𝑗 + 1)} (𝑊𝑘) = (𝑊‘(𝑗 + 1))
167166uneq2i 4164 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {(𝑗 + 1)} (𝑊𝑘)) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))
168164, 167eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)})(𝑊𝑘) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))
169163, 168eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1))))
170169fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) = (♯‘( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))))
171 hashun2 14423 . . . . . . . . . 10 (( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin ∧ (𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin) → (♯‘( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))))
17276, 147, 171syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))))
173170, 172eqbrtrd 5164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))))
17481, 144nndivred 12321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
175 flle 13840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 / (𝑗 + 1)))
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 / (𝑗 + 1)))
177 elfznn 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ)
178177nncnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
179178subid1d 11610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑛 − 0) = 𝑛)
180179breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0) ↔ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
181180rabbiia 3439 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}
182181fveq2i 6908 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)}) = (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛})
183 1zzd 12650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
18430nnnn0d 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
185 nn0uz 12921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 = (ℤ‘0)
186 1m1e0 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 − 1) = 0
187186fveq2i 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
188185, 187eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘(1 − 1))
189184, 188eleqtrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
190189adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
191 0zd 12627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 0 ∈ ℤ)
192144, 183, 190, 191hashdvds 16813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)}) = ((⌊‘((𝑁 − 0) / (𝑗 + 1))) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)))))
193121subid1d 11610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
194193fvoveq1d 7454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘((𝑁 − 0) / (𝑗 + 1))) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
195186oveq1i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 − 1) − 0) = (0 − 0)
196 0m0e0 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 − 0) = 0
197195, 196eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 − 1) − 0) = 0
198197oveq1i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)) = (0 / (𝑗 + 1))
199144nncnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
200144nnne0d 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
201199, 200div0d 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (0 / (𝑗 + 1)) = 0)
202198, 201eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)) = 0)
203202fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1))) = (⌊‘0))
204 0z 12626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℤ
205 flid 13849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
206204, 205ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⌊‘0) = 0
207203, 206eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1))) = 0)
208194, 207oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((⌊‘((𝑁 − 0) / (𝑗 + 1))) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) − 0))
209174flcld 13839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ∈ ℤ)
210209zcnd 12725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
211210subid1d 11610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) − 0) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
212192, 208, 2113eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)}) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
213182, 212eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
214121, 199, 200divrecd 12047 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 / (𝑗 + 1)) = (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
215214eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))) = (𝑁 / (𝑗 + 1)))
216176, 213, 2153brtr4d 5174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}) ≤ (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
217216adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}) ≤ (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
218 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = (𝑗 + 1) → (𝑝 ∈ ℙ ↔ (𝑗 + 1) ∈ ℙ))
219 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = (𝑗 + 1) → (𝑝𝑛 ↔ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
220218, 219anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = (𝑗 + 1) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛) ↔ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)))
221220rabbidv 3443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = (𝑗 + 1) → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
22263rabex 5338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)} ∈ V
223221, 62, 222fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
224144, 223syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
225224adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
226 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑗 + 1) ∈ ℙ)
227226biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑗 + 1) ∥ 𝑛 ↔ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)))
228227rabbidv 3443 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
229225, 228eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛})
230229fveq2d 6909 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) = (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}))
231 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ ℙ → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) = (1 / (𝑗 + 1)))
232231adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) = (1 / (𝑗 + 1)))
233232oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
234217, 230, 2333brtr4d 5174 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
23529a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → 0 ≤ 0)
236 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛) → (𝑗 + 1) ∈ ℙ)
237236con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → ¬ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
238237ralrimivw 3149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → ∀𝑛 ∈ (1...𝑁) ¬ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
239 rabeq0 4387 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁) ¬ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
240238, 239sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)} = ∅)
241224, 240sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = ∅)
242241fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) = (♯‘∅))
243242, 46eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) = 0)
244 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) = 0)
245244oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = (𝑁 · 0))
24632adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · 0) = 0)
247245, 246sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = 0)
248235, 243, 2473brtr4d 5174 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
249234, 248pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
250150, 97, 79, 249leadd2dd 11879 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
251137, 151, 152, 173, 250letrd 11419 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
252 fzfid 14015 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) ∈ Fin)
25357, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
254101, 102, 253syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
255252, 254fsumrecl 15771 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
25681, 255remulcld 11292 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ)
257 letr 11356 . . . . . . . 8 (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∧ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
258137, 152, 256, 257syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∧ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
259251, 258mpand 695 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
260127, 259sylbid 240 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
261260expcom 413 . . . 4 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → (𝜑 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
262261a2d 29 . . 3 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) → (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
2637, 14, 21, 28, 52, 262uzind4i 12953 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
264263com12 32 1 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  {crab 3435  cdif 3947  cun 3948  wss 3950  c0 4332  ifcif 4524  {csn 4625   ciun 4990   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493   / cdiv 11921  cn 12267  2c2 12322  0cn0 12528  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  cfl 13831  seqcseq 14043  chash 14370  cli 15521  Σcsu 15723  cdvds 16291  cprime 16709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-dvds 16292  df-prm 16710
This theorem is referenced by:  prmreclem5  16959
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