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Theorem prmreclem4 16791
Description: Lemma for prmrec 16794. Show by induction that the indexed (nondisjoint) union 𝑊𝑘 is at most the size of the prime reciprocal series. The key counting lemma is hashdvds 16647, to show that the number of numbers in 1...𝑁 that divide 𝑘 is at most 𝑁 / 𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
prmrec.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
prmrec.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prmrec.4 𝑀 = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛}
prmrec.5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
prmrec.6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2))
prmrec.7 𝑊 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)})
Assertion
Ref Expression
prmreclem4 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑝,𝐹   𝑘,𝐾,𝑛,𝑝   𝑘,𝑀,𝑛,𝑝   𝜑,𝑘,𝑛,𝑝   𝑘,𝑊   𝑘,𝑁,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑛,𝑝)

Proof of Theorem prmreclem4
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...𝐾))
21iuneq1d 4981 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘))
32fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)))
41sumeq1d 15586 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
54oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
63, 5breq12d 5118 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
76imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
8 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑗 → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...𝑗))
98iuneq1d 4981 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘))
109fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)))
118sumeq1d 15586 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
1211oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
1310, 12breq12d 5118 . . . 4 (𝑥 = 𝑗 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
1413imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑗 → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
15 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)))
1615iuneq1d 4981 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 + 1) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘))
1716fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)))
1815sumeq1d 15586 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 + 1) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
1918oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
2017, 19breq12d 5118 . . . 4 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
2120imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
22 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...𝑁))
2322iuneq1d 4981 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))
2423fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
2522sumeq1d 15586 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
2625oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
2724, 26breq12d 5118 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
2827imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
29 0le0 12254 . . . . 5 0 ≤ 0
30 prmrec.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3130nncnd 12169 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3231mul01d 11354 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
3329, 32breqtrrid 5143 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · 0))
34 prmrec.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
3534nnred 12168 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
3635ltp1d 12085 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 < (𝐾 + 1))
3734nnzd 12526 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
3837peano2zd 12610 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
39 fzn 13457 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝐾 + 1) ↔ ((𝐾 + 1)...𝐾) = ∅))
4038, 37, 39syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 < (𝐾 + 1) ↔ ((𝐾 + 1)...𝐾) = ∅))
4136, 40mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝐾) = ∅)
4241iuneq1d 4981 . . . . . . 7 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ∅ (𝑊𝑘))
43 0iun 5023 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ∅ (𝑊𝑘) = ∅
4442, 43eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘) = ∅)
4544fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) = (♯‘∅))
46 hash0 14267 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
4745, 46eqtrdi 2792 . . . 4 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) = 0)
4841sumeq1d 15586 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ∅ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
49 sum0 15606 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ∅ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = 0
5048, 49eqtrdi 2792 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = 0)
5150oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · 0))
5233, 47, 513brtr4d 5137 . . 3 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
53 fzfi 13877 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ∈ Fin
54 elfzuz 13437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
5534peano2nnd 12170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
56 eluznn 12843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
5755, 56sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
58 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
59 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝𝑛𝑘𝑛))
6058, 59anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 𝑘 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)))
6160rabbidv 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 𝑘 → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
62 prmrec.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑊 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)})
63 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...𝑁) ∈ V
6463rabex 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ∈ V
6561, 62, 64fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
6665adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
67 ssrab2 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ⊆ (1...𝑁)
6866, 67eqsstrdi 3998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
6957, 68syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7054, 69sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7170ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
73 iunss 5005 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7472, 73sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
75 ssfi 9117 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin)
7653, 74, 75sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin)
77 hashcl 14256 . . . . . . . . . 10 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
7978nn0red 12474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ∈ ℝ)
8030nnred 12168 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
8180adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
82 fzfid 13878 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...𝑗) ∈ Fin)
8355adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
8483, 54, 56syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
85 nnrecre 12195 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
86 0re 11157 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
87 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
8885, 86, 87sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
8984, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
9082, 89fsumrecl 15619 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
9181, 90remulcld 11185 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ)
92 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) ∈ ℙ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
9392nnrecred 12204 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 + 1) ∈ ℙ → (1 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
9493adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (1 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
95 0red 11158 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
9694, 95ifclda 4521 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) ∈ ℝ)
9781, 96remulcld 11185 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) ∈ ℝ)
9879, 91, 97leadd1d 11749 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))))
99 eluzp1p1 12791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
10099adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
101 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝜑)
102 elfzuz 13437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
10388recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
10457, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
105101, 102, 104syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
106 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 ∈ ℙ ↔ (𝑗 + 1) ∈ ℙ))
107 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (1 / 𝑘) = (1 / (𝑗 + 1)))
108106, 107ifbieq1d 4510 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑗 + 1) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))
109100, 105, 108fsumm1 15636 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
110 eluzelz 12773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑗 ∈ ℤ)
111110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
112111zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℂ)
113 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
114 pncan 11407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
115112, 113, 114sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
116115oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1)) = ((𝐾 + 1)...𝑗))
117116sumeq1d 15586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
118117oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
119109, 118eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
120119oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
12131adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℂ)
12290recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
12396recnd 11183 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) ∈ ℂ)
124121, 122, 123adddid 11179 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) = ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
125120, 124eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
126125breq2d 5117 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))))
12798, 126bitr4d 281 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
128102, 69sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
129128ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
130129adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
131 iunss 5005 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
132130, 131sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
133 ssfi 9117 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ∈ Fin)
13453, 132, 133sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ∈ Fin)
135 hashcl 14256 . . . . . . . . . 10 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ∈ Fin → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
137136nn0red 12474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℝ)
138 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑊𝑘) = (𝑊‘(𝑗 + 1)))
139138sseq1d 3975 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ (𝑊‘(𝑗 + 1)) ⊆ (1...𝑁)))
14068ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
141140adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
142 eluznn 12843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ)
14334, 142sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ)
144143peano2nnd 12170 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
145139, 141, 144rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) ⊆ (1...𝑁))
146 ssfi 9117 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (𝑊‘(𝑗 + 1)) ⊆ (1...𝑁)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin)
14753, 145, 146sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin)
148 hashcl 14256 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ∈ ℕ0)
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ∈ ℕ0)
150149nn0red 12474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
15179, 150readdcld 11184 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
15279, 97readdcld 11184 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∈ ℝ)
15338adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
154 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝐾))
15534nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
156155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
157 pncan 11407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
158156, 113, 157sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
159158fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ‘((𝐾 + 1) − 1)) = (ℤ𝐾))
160154, 159eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) − 1)))
161 fzsuc2 13499 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) − 1))) → ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) = (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)}))
162153, 160, 161syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) = (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)}))
163162iuneq1d 4981 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)})(𝑊𝑘))
164 iunxun 5054 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ∈ (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)})(𝑊𝑘) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {(𝑗 + 1)} (𝑊𝑘))
165 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 + 1) ∈ V
166165, 138iunxsn 5051 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ {(𝑗 + 1)} (𝑊𝑘) = (𝑊‘(𝑗 + 1))
167166uneq2i 4120 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {(𝑗 + 1)} (𝑊𝑘)) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))
168164, 167eqtri 2764 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)})(𝑊𝑘) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))
169163, 168eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1))))
170169fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) = (♯‘( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))))
171 hashun2 14283 . . . . . . . . . 10 (( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin ∧ (𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin) → (♯‘( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))))
17276, 147, 171syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))))
173170, 172eqbrtrd 5127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))))
17481, 144nndivred 12207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
175 flle 13704 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 / (𝑗 + 1)))
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 / (𝑗 + 1)))
177 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ)
178177nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
179178subid1d 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑛 − 0) = 𝑛)
180179breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0) ↔ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
181180rabbiia 3411 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}
182181fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)}) = (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛})
183 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
18430nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
185 nn0uz 12805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 = (ℤ‘0)
186 1m1e0 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 − 1) = 0
187186fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
188185, 187eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘(1 − 1))
189184, 188eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
190189adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
191 0zd 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 0 ∈ ℤ)
192144, 183, 190, 191hashdvds 16647 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)}) = ((⌊‘((𝑁 − 0) / (𝑗 + 1))) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)))))
193121subid1d 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
194193fvoveq1d 7379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘((𝑁 − 0) / (𝑗 + 1))) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
195186oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 − 1) − 0) = (0 − 0)
196 0m0e0 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 − 0) = 0
197195, 196eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 − 1) − 0) = 0
198197oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)) = (0 / (𝑗 + 1))
199144nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
200144nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
201199, 200div0d 11930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (0 / (𝑗 + 1)) = 0)
202198, 201eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)) = 0)
203202fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1))) = (⌊‘0))
204 0z 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℤ
205 flid 13713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
206204, 205ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⌊‘0) = 0
207203, 206eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1))) = 0)
208194, 207oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((⌊‘((𝑁 − 0) / (𝑗 + 1))) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) − 0))
209174flcld 13703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ∈ ℤ)
210209zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
211210subid1d 11501 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) − 0) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
212192, 208, 2113eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)}) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
213182, 212eqtr3id 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
214121, 199, 200divrecd 11934 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 / (𝑗 + 1)) = (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
215214eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))) = (𝑁 / (𝑗 + 1)))
216176, 213, 2153brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}) ≤ (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
217216adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}) ≤ (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
218 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = (𝑗 + 1) → (𝑝 ∈ ℙ ↔ (𝑗 + 1) ∈ ℙ))
219 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = (𝑗 + 1) → (𝑝𝑛 ↔ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
220218, 219anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = (𝑗 + 1) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛) ↔ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)))
221220rabbidv 3415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = (𝑗 + 1) → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
22263rabex 5289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)} ∈ V
223221, 62, 222fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
224144, 223syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
225224adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
226 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑗 + 1) ∈ ℙ)
227226biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑗 + 1) ∥ 𝑛 ↔ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)))
228227rabbidv 3415 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
229225, 228eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛})
230229fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) = (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}))
231 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ ℙ → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) = (1 / (𝑗 + 1)))
232231adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) = (1 / (𝑗 + 1)))
233232oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
234217, 230, 2333brtr4d 5137 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
23529a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → 0 ≤ 0)
236 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛) → (𝑗 + 1) ∈ ℙ)
237236con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → ¬ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
238237ralrimivw 3147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → ∀𝑛 ∈ (1...𝑁) ¬ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
239 rabeq0 4344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁) ¬ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
240238, 239sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)} = ∅)
241224, 240sylan9eq 2796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = ∅)
242241fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) = (♯‘∅))
243242, 46eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) = 0)
244 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) = 0)
245244oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = (𝑁 · 0))
24632adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · 0) = 0)
247245, 246sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = 0)
248235, 243, 2473brtr4d 5137 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
249234, 248pm2.61dan 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
250150, 97, 79, 249leadd2dd 11770 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
251137, 151, 152, 173, 250letrd 11312 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
252 fzfid 13878 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) ∈ Fin)
25357, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
254101, 102, 253syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
255252, 254fsumrecl 15619 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
25681, 255remulcld 11185 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ)
257 letr 11249 . . . . . . . 8 (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∧ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
258137, 152, 256, 257syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∧ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
259251, 258mpand 693 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
260127, 259sylbid 239 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
261260expcom 414 . . . 4 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → (𝜑 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
262261a2d 29 . . 3 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) → (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
2637, 14, 21, 28, 52, 262uzind4i 12835 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
264263com12 32 1 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586   ciun 4954   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  cfl 13695  seqcseq 13906  chash 14230  cli 15366  Σcsu 15570  cdvds 16136  cprime 16547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-prm 16548
This theorem is referenced by:  prmreclem5  16792
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