MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmreclem4 16852
Description: Lemma for prmrec 16855. Show by induction that the indexed (nondisjoint) union ๐‘Šโ€˜๐‘˜ is at most the size of the prime reciprocal series. The key counting lemma is hashdvds 16708, to show that the number of numbers in 1...๐‘ that divide ๐‘˜ is at most ๐‘ / ๐‘˜. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘›), 0))
prmrec.2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
prmrec.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
prmrec.4 ๐‘€ = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ โˆ€๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– (1...๐พ)) ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘›}
prmrec.5 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
prmrec.6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) < (1 / 2))
prmrec.7 ๐‘Š = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)})
Assertion
Ref Expression
prmreclem4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘›,๐‘,๐น   ๐‘˜,๐พ,๐‘›,๐‘   ๐‘˜,๐‘€,๐‘›,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘›,๐‘   ๐‘˜,๐‘Š   ๐‘˜,๐‘,๐‘›,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐‘Š(๐‘›,๐‘)

Proof of Theorem prmreclem4
Dummy variables ๐‘— ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ) = ((๐พ + 1)...๐พ))
21iuneq1d 5025 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜))
32fveq2d 6896 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)))
41sumeq1d 15647 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))
54oveq2d 7425 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) = (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))
63, 5breq12d 5162 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†” (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
76imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))))
8 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ) = ((๐พ + 1)...๐‘—))
98iuneq1d 5025 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜))
109fveq2d 6896 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)))
118sumeq1d 15647 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))
1211oveq2d 7425 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) = (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))
1310, 12breq12d 5162 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†” (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
1413imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))))
15 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘— + 1) โ†’ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ) = ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1)))
1615iuneq1d 5025 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘— + 1) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜))
1716fveq2d 6896 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘— + 1) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)))
1815sumeq1d 15647 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘— + 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))
1918oveq2d 7425 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) = (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))
2017, 19breq12d 5162 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘— + 1) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†” (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
2120imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘— + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))))
22 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ) = ((๐พ + 1)...๐‘))
2322iuneq1d 5025 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)(๐‘Šโ€˜๐‘˜))
2423fveq2d 6896 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)))
2522sumeq1d 15647 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))
2625oveq2d 7425 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) = (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))
2724, 26breq12d 5162 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†” (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
2827imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))))
29 0le0 12313 . . . . 5 0 โ‰ค 0
30 prmrec.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3130nncnd 12228 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3231mul01d 11413 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
3329, 32breqtrrid 5187 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ ยท 0))
34 prmrec.2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
3534nnred 12227 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
3635ltp1d 12144 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐พ < (๐พ + 1))
3734nnzd 12585 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
3837peano2zd 12669 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„ค)
39 fzn 13517 . . . . . . . . . 10 (((๐พ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ < (๐พ + 1) โ†” ((๐พ + 1)...๐พ) = โˆ…))
4038, 37, 39syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พ < (๐พ + 1) โ†” ((๐พ + 1)...๐พ) = โˆ…))
4136, 40mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1)...๐พ) = โˆ…)
4241iuneq1d 5025 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (๐‘Šโ€˜๐‘˜))
43 0iun 5067 . . . . . . 7 โˆช ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆ…
4442, 43eqtrdi 2789 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆ…)
4544fveq2d 6896 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
46 hash0 14327 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
4745, 46eqtrdi 2789 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = 0)
4841sumeq1d 15647 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))
49 sum0 15667 . . . . . 6 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = 0
5048, 49eqtrdi 2789 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = 0)
5150oveq2d 7425 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) = (๐‘ ยท 0))
5233, 47, 513brtr4d 5181 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))
53 fzfi 13937 . . . . . . . . . . 11 (1...๐‘) โˆˆ Fin
54 elfzuz 13497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1)))
5534peano2nnd 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•)
56 eluznn 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
5755, 56sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
58 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” ๐‘˜ โˆˆ โ„™))
59 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘› โ†” ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))
6058, 59anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)))
6160rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ = ๐‘˜ โ†’ {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)} = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)})
62 prmrec.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐‘Š = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)})
63 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...๐‘) โˆˆ V
6463rabex 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)} โˆˆ V
6561, 62, 64fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘˜) = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)})
6665adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘˜) = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)})
67 ssrab2 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)} โŠ† (1...๐‘)
6866, 67eqsstrdi 4037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
6957, 68syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
7054, 69sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
7170ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
7271adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
73 iunss 5049 . . . . . . . . . . . 12 (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
7472, 73sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
75 ssfi 9173 . . . . . . . . . . 11 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆˆ Fin)
7653, 74, 75sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆˆ Fin)
77 hashcl 14316 . . . . . . . . . 10 (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„•0)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„•0)
7978nn0red 12533 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
8030nnred 12227 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
8180adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
82 fzfid 13938 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((๐พ + 1)...๐‘—) โˆˆ Fin)
8355adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•)
8483, 54, 56syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
85 nnrecre 12254 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
86 0re 11216 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„
87 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„)
8885, 86, 87sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„)
8984, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„)
9082, 89fsumrecl 15680 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„)
9181, 90remulcld 11244 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โˆˆ โ„)
92 prmnn 16611 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•)
9392nnrecred 12263 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ (1 / (๐‘— + 1)) โˆˆ โ„)
9493adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 / (๐‘— + 1)) โˆˆ โ„)
95 0red 11217 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
9694, 95ifclda 4564 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0) โˆˆ โ„)
9781, 96remulcld 11244 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)) โˆˆ โ„)
9879, 91, 97leadd1d 11808 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†” ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โ‰ค ((๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))))
99 eluzp1p1 12850 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1)))
10099adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1)))
101 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐œ‘)
102 elfzuz 13497 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1)))
10388recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„‚)
10457, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1))) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„‚)
105101, 102, 104syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„‚)
106 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™))
107 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (1 / ๐‘˜) = (1 / (๐‘— + 1)))
108106, 107ifbieq1d 4553 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))
109100, 105, 108fsumm1 15697 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...((๐‘— + 1) โˆ’ 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) + if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))
110 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
111110adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
112111zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
113 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„‚
114 pncan 11466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘— + 1) โˆ’ 1) = ๐‘—)
115112, 113, 114sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((๐‘— + 1) โˆ’ 1) = ๐‘—)
116115oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((๐พ + 1)...((๐‘— + 1) โˆ’ 1)) = ((๐พ + 1)...๐‘—))
117116sumeq1d 15647 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...((๐‘— + 1) โˆ’ 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))
118117oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...((๐‘— + 1) โˆ’ 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) + if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) + if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))
119109, 118eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) + if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))
120119oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) = (๐‘ ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) + if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))))
12131adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
12290recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„‚)
12396recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0) โˆˆ โ„‚)
124121, 122, 123adddid 11238 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) + if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) = ((๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))))
125120, 124eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) = ((๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))))
126125breq2d 5161 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†” ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โ‰ค ((๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))))
12798, 126bitr4d 282 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†” ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
128102, 69sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
129128ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
130129adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
131 iunss 5049 . . . . . . . . . . . 12 (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
132130, 131sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
133 ssfi 9173 . . . . . . . . . . 11 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆˆ Fin)
13453, 132, 133sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆˆ Fin)
135 hashcl 14316 . . . . . . . . . 10 (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„•0)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„•0)
137136nn0red 12533 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
138 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘˜) = (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))
139138sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ((๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘) โ†” (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) โŠ† (1...๐‘)))
14068ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
141140adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
142 eluznn 12902 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
14334, 142sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
144143peano2nnd 12229 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•)
145139, 141, 144rspcdva 3614 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) โŠ† (1...๐‘))
146 ssfi 9173 . . . . . . . . . . . 12 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) โŠ† (1...๐‘)) โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) โˆˆ Fin)
14753, 145, 146sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) โˆˆ Fin)
148 hashcl 14316 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) โˆˆ โ„•0)
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) โˆˆ โ„•0)
150149nn0red 12533 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) โˆˆ โ„)
15179, 150readdcld 11243 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))) โˆˆ โ„)
15279, 97readdcld 11243 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โˆˆ โ„)
15338adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„ค)
154 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ))
15534nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
156155adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
157 pncan 11466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1) = ๐พ)
158156, 113, 157sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1) = ๐พ)
159158fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐พ + 1) โˆ’ 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ))
160154, 159eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐พ + 1) โˆ’ 1)))
161 fzsuc2 13559 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐พ + 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1)) = (((๐พ + 1)...๐‘—) โˆช {(๐‘— + 1)}))
162153, 160, 161syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1)) = (((๐พ + 1)...๐‘—) โˆช {(๐‘— + 1)}))
163162iuneq1d 5025 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘˜ โˆˆ (((๐พ + 1)...๐‘—) โˆช {(๐‘— + 1)})(๐‘Šโ€˜๐‘˜))
164 iunxun 5098 . . . . . . . . . . . 12 โˆช ๐‘˜ โˆˆ (((๐พ + 1)...๐‘—) โˆช {(๐‘— + 1)})(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช โˆช ๐‘˜ โˆˆ {(๐‘— + 1)} (๐‘Šโ€˜๐‘˜))
165 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— + 1) โˆˆ V
166165, 138iunxsn 5095 . . . . . . . . . . . . 13 โˆช ๐‘˜ โˆˆ {(๐‘— + 1)} (๐‘Šโ€˜๐‘˜) = (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))
167166uneq2i 4161 . . . . . . . . . . . 12 (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช โˆช ๐‘˜ โˆˆ {(๐‘— + 1)} (๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))
168164, 167eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 โˆช ๐‘˜ โˆˆ (((๐พ + 1)...๐‘—) โˆช {(๐‘— + 1)})(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))
169163, 168eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))))
170169fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))))
171 hashun2 14343 . . . . . . . . . 10 ((โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆˆ Fin โˆง (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))) โ‰ค ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))))
17276, 147, 171syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))) โ‰ค ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))))
173170, 172eqbrtrd 5171 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))))
17481, 144nndivred 12266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ / (๐‘— + 1)) โˆˆ โ„)
175 flle 13764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ / (๐‘— + 1)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))) โ‰ค (๐‘ / (๐‘— + 1)))
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))) โ‰ค (๐‘ / (๐‘— + 1)))
177 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
178177nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
179178subid1d 11560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘› โˆ’ 0) = ๐‘›)
180179breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘— + 1) โˆฅ (๐‘› โˆ’ 0) โ†” (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›))
181180rabbiia 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15 {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ (๐‘› โˆ’ 0)} = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›}
182181fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ (๐‘› โˆ’ 0)}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›})
183 1zzd 12593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
18430nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
185 nn0uz 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
186 1m1e0 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 โˆ’ 1) = 0
187186fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
188185, 187eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1))
189184, 188eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1)))
190189adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1)))
191 0zd 12570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
192144, 183, 190, 191hashdvds 16708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ (๐‘› โˆ’ 0)}) = ((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ 0) / (๐‘— + 1))) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / (๐‘— + 1)))))
193121subid1d 11560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ โˆ’ 0) = ๐‘)
194193fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ 0) / (๐‘— + 1))) = (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))))
195186oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) = (0 โˆ’ 0)
196 0m0e0 12332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 โˆ’ 0) = 0
197195, 196eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) = 0
198197oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / (๐‘— + 1)) = (0 / (๐‘— + 1))
199144nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„‚)
200144nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘— + 1) โ‰  0)
201199, 200div0d 11989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (0 / (๐‘— + 1)) = 0)
202198, 201eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / (๐‘— + 1)) = 0)
203202fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / (๐‘— + 1))) = (โŒŠโ€˜0))
204 0z 12569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โˆˆ โ„ค
205 flid 13773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜0) = 0)
206204, 205ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โŒŠโ€˜0) = 0
207203, 206eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / (๐‘— + 1))) = 0)
208194, 207oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ 0) / (๐‘— + 1))) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / (๐‘— + 1)))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))) โˆ’ 0))
209174flcld 13763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))) โˆˆ โ„ค)
210209zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))) โˆˆ โ„‚)
211210subid1d 11560 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))) โˆ’ 0) = (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))))
212192, 208, 2113eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ (๐‘› โˆ’ 0)}) = (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))))
213182, 212eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›}) = (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))))
214121, 199, 200divrecd 11993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ / (๐‘— + 1)) = (๐‘ ยท (1 / (๐‘— + 1))))
215214eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท (1 / (๐‘— + 1))) = (๐‘ / (๐‘— + 1)))
216176, 213, 2153brtr4d 5181 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›}) โ‰ค (๐‘ ยท (1 / (๐‘— + 1))))
217216adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›}) โ‰ค (๐‘ ยท (1 / (๐‘— + 1))))
218 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™))
219 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›))
220218, 219anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ = (๐‘— + 1) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›) โ†” ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)))
221220rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = (๐‘— + 1) โ†’ {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)} = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)})
22263rabex 5333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)} โˆˆ V
223221, 62, 222fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)})
224144, 223syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)})
225224adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)})
226 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™)
227226biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘› โ†” ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)))
228227rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›} = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)})
229225, 228eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›})
230229fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›}))
231 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0) = (1 / (๐‘— + 1)))
232231adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0) = (1 / (๐‘— + 1)))
233232oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)) = (๐‘ ยท (1 / (๐‘— + 1))))
234217, 230, 2333brtr4d 5181 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) โ‰ค (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))
23529a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค 0)
236 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™)
237236con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›))
238237ralrimivw 3151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (1...๐‘) ยฌ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›))
239 rabeq0 4385 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)} = โˆ… โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ (1...๐‘) ยฌ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›))
240238, 239sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)} = โˆ…)
241224, 240sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) = โˆ…)
242241fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
243242, 46eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) = 0)
244 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . 13 (ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0) = 0)
245244oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)) = (๐‘ ยท 0))
24632adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
247245, 246sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)) = 0)
248235, 243, 2473brtr4d 5181 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) โ‰ค (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))
249234, 248pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) โ‰ค (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))
250150, 97, 79, 249leadd2dd 11829 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))) โ‰ค ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))))
251137, 151, 152, 173, 250letrd 11371 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))))
252 fzfid 13938 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1)) โˆˆ Fin)
25357, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1))) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„)
254101, 102, 253syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„)
255252, 254fsumrecl 15680 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„)
25681, 255remulcld 11244 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โˆˆ โ„)
257 letr 11308 . . . . . . . 8 (((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โˆˆ โ„) โ†’ (((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โˆง ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
258137, 152, 256, 257syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โˆง ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
259251, 258mpand 694 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
260127, 259sylbid 239 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
261260expcom 415 . . . 4 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))))
262261a2d 29 . . 3 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))))
2637, 14, 21, 28, 52, 262uzind4i 12894 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
264263com12 32 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  {crab 3433   โˆ– cdif 3946   โˆช cun 3947   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629  โˆช ciun 4998   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  dom cdm 5677  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755  seqcseq 13966  โ™ฏchash 14290   โ‡ cli 15428  ฮฃcsu 15632   โˆฅ cdvds 16197  โ„™cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-prm 16609
This theorem is referenced by:  prmreclem5  16853
  Copyright terms: Public domain W3C validator