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Theorem prmreclem4 16953
Description: Lemma for prmrec 16956. Show by induction that the indexed (nondisjoint) union 𝑊𝑘 is at most the size of the prime reciprocal series. The key counting lemma is hashdvds 16809, to show that the number of numbers in 1...𝑁 that divide 𝑘 is at most 𝑁 / 𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
prmrec.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
prmrec.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
prmrec.4 𝑀 = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝐾)) ¬ 𝑝𝑛}
prmrec.5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
prmrec.6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) < (1 / 2))
prmrec.7 𝑊 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)})
Assertion
Ref Expression
prmreclem4 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑝,𝐹   𝑘,𝐾,𝑛,𝑝   𝑘,𝑀,𝑛,𝑝   𝜑,𝑘,𝑛,𝑝   𝑘,𝑊   𝑘,𝑁,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑛,𝑝)

Proof of Theorem prmreclem4
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...𝐾))
21iuneq1d 5024 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘))
32fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)))
41sumeq1d 15733 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
54oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
63, 5breq12d 5161 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
76imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
8 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑗 → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...𝑗))
98iuneq1d 5024 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘))
109fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)))
118sumeq1d 15733 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑗 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
1211oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 𝑗 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
1310, 12breq12d 5161 . . . 4 (𝑥 = 𝑗 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
1413imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑗 → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
15 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)))
1615iuneq1d 5024 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 + 1) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘))
1716fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)))
1815sumeq1d 15733 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 + 1) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
1918oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 + 1) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
2017, 19breq12d 5161 . . . 4 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
2120imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
22 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐾 + 1)...𝑥) = ((𝐾 + 1)...𝑁))
2322iuneq1d 5024 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘))
2423fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) = (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)))
2522sumeq1d 15733 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
2625oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
2724, 26breq12d 5161 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
2827imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) ↔ (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
29 0le0 12365 . . . . 5 0 ≤ 0
30 prmrec.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3130nncnd 12280 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3231mul01d 11458 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 · 0) = 0)
3329, 32breqtrrid 5186 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · 0))
34 prmrec.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
3534nnred 12279 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
3635ltp1d 12196 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 < (𝐾 + 1))
3734nnzd 12638 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
3837peano2zd 12723 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
39 fzn 13577 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝐾 + 1) ↔ ((𝐾 + 1)...𝐾) = ∅))
4038, 37, 39syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 < (𝐾 + 1) ↔ ((𝐾 + 1)...𝐾) = ∅))
4136, 40mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝐾) = ∅)
4241iuneq1d 5024 . . . . . . 7 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ ∅ (𝑊𝑘))
43 0iun 5068 . . . . . . 7 𝑘 ∈ ∅ (𝑊𝑘) = ∅
4442, 43eqtrdi 2791 . . . . . 6 (𝜑 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘) = ∅)
4544fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) = (♯‘∅))
46 hash0 14403 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
4745, 46eqtrdi 2791 . . . 4 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) = 0)
4841sumeq1d 15733 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ∅ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
49 sum0 15754 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ∅ if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = 0
5048, 49eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = 0)
5150oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · 0))
5233, 47, 513brtr4d 5180 . . 3 (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝐾)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))
53 fzfi 14010 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ∈ Fin
54 elfzuz 13557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
5534peano2nnd 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
56 eluznn 12958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
5755, 56sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
58 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
59 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑘 → (𝑝𝑛𝑘𝑛))
6058, 59anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 = 𝑘 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)))
6160rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 𝑘 → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
62 prmrec.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑊 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)})
63 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...𝑁) ∈ V
6463rabex 5345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ∈ V
6561, 62, 64fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑊𝑘) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)})
67 ssrab2 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑘𝑛)} ⊆ (1...𝑁)
6866, 67eqsstrdi 4050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
6957, 68syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7054, 69sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7170ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
73 iunss 5050 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
7472, 73sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
75 ssfi 9212 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin)
7653, 74, 75sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin)
77 hashcl 14392 . . . . . . . . . 10 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
7978nn0red 12586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ∈ ℝ)
8030nnred 12279 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
8180adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
82 fzfid 14011 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...𝑗) ∈ Fin)
8355adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
8483, 54, 56syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
85 nnrecre 12306 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
86 0re 11261 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
87 ifcl 4576 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
8885, 86, 87sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
8984, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
9082, 89fsumrecl 15767 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
9181, 90remulcld 11289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ)
92 prmnn 16708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) ∈ ℙ → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
9392nnrecred 12315 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 + 1) ∈ ℙ → (1 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
9493adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (1 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
95 0red 11262 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
9694, 95ifclda 4566 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) ∈ ℝ)
9781, 96remulcld 11289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) ∈ ℝ)
9879, 91, 97leadd1d 11855 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))))
99 eluzp1p1 12904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
10099adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
101 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝜑)
102 elfzuz 13557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
10388recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
10457, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
105101, 102, 104syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
106 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 ∈ ℙ ↔ (𝑗 + 1) ∈ ℙ))
107 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (1 / 𝑘) = (1 / (𝑗 + 1)))
108106, 107ifbieq1d 4555 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑗 + 1) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))
109100, 105, 108fsumm1 15784 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
110 eluzelz 12886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑗 ∈ ℤ)
111110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
112111zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℂ)
113 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
114 pncan 11512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
115112, 113, 114sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
116115oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1)) = ((𝐾 + 1)...𝑗))
117116sumeq1d 15733 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))
118117oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑗 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
119109, 118eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) = (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
120119oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = (𝑁 · (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
12131adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℂ)
12290recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℂ)
12396recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) ∈ ℂ)
124121, 122, 123adddid 11283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) + if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) = ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
125120, 124eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) = ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
126125breq2d 5160 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ ((𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))))
12798, 126bitr4d 282 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ↔ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
128102, 69sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))) → (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
129128ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
130129adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
131 iunss 5050 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
132130, 131sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
133 ssfi 9212 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ∈ Fin)
13453, 132, 133sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ∈ Fin)
135 hashcl 14392 . . . . . . . . . 10 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) ∈ Fin → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℕ0)
137136nn0red 12586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℝ)
138 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑊𝑘) = (𝑊‘(𝑗 + 1)))
139138sseq1d 4027 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁) ↔ (𝑊‘(𝑗 + 1)) ⊆ (1...𝑁)))
14068ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
141140adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑊𝑘) ⊆ (1...𝑁))
142 eluznn 12958 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ)
14334, 142sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ ℕ)
144143peano2nnd 12281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ)
145139, 141, 144rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) ⊆ (1...𝑁))
146 ssfi 9212 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ (𝑊‘(𝑗 + 1)) ⊆ (1...𝑁)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin)
14753, 145, 146sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin)
148 hashcl 14392 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ∈ ℕ0)
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ∈ ℕ0)
150149nn0red 12586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ∈ ℝ)
15179, 150readdcld 11288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))) ∈ ℝ)
15279, 97readdcld 11288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∈ ℝ)
15338adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℤ)
154 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝐾))
15534nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
157 pncan 11512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
158156, 113, 157sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) − 1) = 𝐾)
159158fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ‘((𝐾 + 1) − 1)) = (ℤ𝐾))
160154, 159eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) − 1)))
161 fzsuc2 13619 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) − 1))) → ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) = (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)}))
162153, 160, 161syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) = (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)}))
163162iuneq1d 5024 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) = 𝑘 ∈ (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)})(𝑊𝑘))
164 iunxun 5099 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ∈ (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)})(𝑊𝑘) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {(𝑗 + 1)} (𝑊𝑘))
165 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 + 1) ∈ V
166165, 138iunxsn 5096 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ {(𝑗 + 1)} (𝑊𝑘) = (𝑊‘(𝑗 + 1))
167166uneq2i 4175 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ 𝑘 ∈ {(𝑗 + 1)} (𝑊𝑘)) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))
168164, 167eqtri 2763 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ (((𝐾 + 1)...𝑗) ∪ {(𝑗 + 1)})(𝑊𝑘) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))
169163, 168eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘) = ( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1))))
170169fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) = (♯‘( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))))
171 hashun2 14419 . . . . . . . . . 10 (( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∈ Fin ∧ (𝑊‘(𝑗 + 1)) ∈ Fin) → (♯‘( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))))
17276, 147, 171syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘( 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘) ∪ (𝑊‘(𝑗 + 1)))) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))))
173170, 172eqbrtrd 5170 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))))
17481, 144nndivred 12318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
175 flle 13836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 / (𝑗 + 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 / (𝑗 + 1)))
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 / (𝑗 + 1)))
177 elfznn 13590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ)
178177nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
179178subid1d 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑛 − 0) = 𝑛)
180179breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0) ↔ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
181180rabbiia 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}
182181fveq2i 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)}) = (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛})
183 1zzd 12646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
18430nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
185 nn0uz 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 = (ℤ‘0)
186 1m1e0 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 − 1) = 0
187186fveq2i 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
188185, 187eqtr4i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘(1 − 1))
189184, 188eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
190189adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
191 0zd 12623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 0 ∈ ℤ)
192144, 183, 190, 191hashdvds 16809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)}) = ((⌊‘((𝑁 − 0) / (𝑗 + 1))) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)))))
193121subid1d 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
194193fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘((𝑁 − 0) / (𝑗 + 1))) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
195186oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 − 1) − 0) = (0 − 0)
196 0m0e0 12384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 − 0) = 0
197195, 196eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 − 1) − 0) = 0
198197oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)) = (0 / (𝑗 + 1))
199144nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
200144nnne0d 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗 + 1) ≠ 0)
201199, 200div0d 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (0 / (𝑗 + 1)) = 0)
202198, 201eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)) = 0)
203202fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1))) = (⌊‘0))
204 0z 12622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℤ
205 flid 13845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
206204, 205ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⌊‘0) = 0
207203, 206eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1))) = 0)
208194, 207oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((⌊‘((𝑁 − 0) / (𝑗 + 1))) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / (𝑗 + 1)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) − 0))
209174flcld 13835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ∈ ℤ)
210209zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) ∈ ℂ)
211210subid1d 11607 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))) − 0) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
212192, 208, 2113eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ (𝑛 − 0)}) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
213182, 212eqtr3id 2789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}) = (⌊‘(𝑁 / (𝑗 + 1))))
214121, 199, 200divrecd 12044 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 / (𝑗 + 1)) = (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
215214eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))) = (𝑁 / (𝑗 + 1)))
216176, 213, 2153brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}) ≤ (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
217216adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}) ≤ (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
218 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = (𝑗 + 1) → (𝑝 ∈ ℙ ↔ (𝑗 + 1) ∈ ℙ))
219 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = (𝑗 + 1) → (𝑝𝑛 ↔ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
220218, 219anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = (𝑗 + 1) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛) ↔ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)))
221220rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = (𝑗 + 1) → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝𝑛)} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
22263rabex 5345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)} ∈ V
223221, 62, 222fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 + 1) ∈ ℕ → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
224144, 223syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
225224adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
226 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑗 + 1) ∈ ℙ)
227226biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → ((𝑗 + 1) ∥ 𝑛 ↔ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)))
228227rabbidv 3441 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛} = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)})
229225, 228eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛})
230229fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) = (♯‘{𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛}))
231 iftrue 4537 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 + 1) ∈ ℙ → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) = (1 / (𝑗 + 1)))
232231adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) = (1 / (𝑗 + 1)))
233232oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = (𝑁 · (1 / (𝑗 + 1))))
234217, 230, 2333brtr4d 5180 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
23529a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → 0 ≤ 0)
236 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛) → (𝑗 + 1) ∈ ℙ)
237236con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → ¬ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
238237ralrimivw 3148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → ∀𝑛 ∈ (1...𝑁) ¬ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
239 rabeq0 4394 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁) ¬ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛))
240238, 239sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → {𝑛 ∈ (1...𝑁) ∣ ((𝑗 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝑗 + 1) ∥ 𝑛)} = ∅)
241224, 240sylan9eq 2795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑊‘(𝑗 + 1)) = ∅)
242241fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) = (♯‘∅))
243242, 46eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) = 0)
244 iffalse 4540 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0) = 0)
245244oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = (𝑁 · 0))
24632adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · 0) = 0)
247245, 246sylan9eqr 2797 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)) = 0)
248235, 243, 2473brtr4d 5180 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ ¬ (𝑗 + 1) ∈ ℙ) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
249234, 248pm2.61dan 813 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1))) ≤ (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0)))
250150, 97, 79, 249leadd2dd 11876 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (♯‘(𝑊‘(𝑗 + 1)))) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
251137, 151, 152, 173, 250letrd 11416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))))
252 fzfid 14011 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1)) ∈ Fin)
25357, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
254101, 102, 253syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
255252, 254fsumrecl 15767 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0) ∈ ℝ)
25681, 255remulcld 11289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ)
257 letr 11353 . . . . . . . 8 (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ∈ ℝ ∧ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∈ ℝ ∧ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) ∈ ℝ) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∧ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
258137, 152, 256, 257syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ∧ ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
259251, 258mpand 695 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) + (𝑁 · if((𝑗 + 1) ∈ ℙ, (1 / (𝑗 + 1)), 0))) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
260127, 259sylbid 240 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
261260expcom 413 . . . 4 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → (𝜑 → ((♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
262261a2d 29 . . 3 (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → ((𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑗)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))) → (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...(𝑗 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0)))))
2637, 14, 21, 28, 52, 262uzind4i 12950 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (𝜑 → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
264263com12 32 1 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → (♯‘ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝑊𝑘)) ≤ (𝑁 · Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, (1 / 𝑘), 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631   ciun 4996   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  cfl 13827  seqcseq 14039  chash 14366  cli 15517  Σcsu 15719  cdvds 16287  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-prm 16706
This theorem is referenced by:  prmreclem5  16954
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