MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmreclem4 16798
Description: Lemma for prmrec 16801. Show by induction that the indexed (nondisjoint) union ๐‘Šโ€˜๐‘˜ is at most the size of the prime reciprocal series. The key counting lemma is hashdvds 16654, to show that the number of numbers in 1...๐‘ that divide ๐‘˜ is at most ๐‘ / ๐‘˜. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘›), 0))
prmrec.2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
prmrec.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
prmrec.4 ๐‘€ = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ โˆ€๐‘ โˆˆ (โ„™ โˆ– (1...๐พ)) ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘›}
prmrec.5 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
prmrec.6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) < (1 / 2))
prmrec.7 ๐‘Š = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)})
Assertion
Ref Expression
prmreclem4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘›,๐‘,๐น   ๐‘˜,๐พ,๐‘›,๐‘   ๐‘˜,๐‘€,๐‘›,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘›,๐‘   ๐‘˜,๐‘Š   ๐‘˜,๐‘,๐‘›,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐‘Š(๐‘›,๐‘)

Proof of Theorem prmreclem4
Dummy variables ๐‘— ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ) = ((๐พ + 1)...๐พ))
21iuneq1d 4986 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜))
32fveq2d 6851 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)))
41sumeq1d 15593 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))
54oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) = (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))
63, 5breq12d 5123 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†” (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
76imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐พ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))))
8 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ) = ((๐พ + 1)...๐‘—))
98iuneq1d 4986 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜))
109fveq2d 6851 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)))
118sumeq1d 15593 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))
1211oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) = (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))
1310, 12breq12d 5123 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†” (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
1413imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘— โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))))
15 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘— + 1) โ†’ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ) = ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1)))
1615iuneq1d 4986 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘— + 1) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜))
1716fveq2d 6851 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘— + 1) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)))
1815sumeq1d 15593 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘— + 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))
1918oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) = (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))
2017, 19breq12d 5123 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘— + 1) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†” (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
2120imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘— + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))))
22 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ) = ((๐พ + 1)...๐‘))
2322iuneq1d 4986 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)(๐‘Šโ€˜๐‘˜))
2423fveq2d 6851 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)))
2522sumeq1d 15593 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))
2625oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) = (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))
2724, 26breq12d 5123 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†” (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
2827imbi2d 341 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘ฅ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))) โ†” (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))))
29 0le0 12261 . . . . 5 0 โ‰ค 0
30 prmrec.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3130nncnd 12176 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3231mul01d 11361 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
3329, 32breqtrrid 5148 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ ยท 0))
34 prmrec.2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
3534nnred 12175 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
3635ltp1d 12092 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐พ < (๐พ + 1))
3734nnzd 12533 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
3837peano2zd 12617 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„ค)
39 fzn 13464 . . . . . . . . . 10 (((๐พ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ < (๐พ + 1) โ†” ((๐พ + 1)...๐พ) = โˆ…))
4038, 37, 39syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐พ < (๐พ + 1) โ†” ((๐พ + 1)...๐พ) = โˆ…))
4136, 40mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐พ + 1)...๐พ) = โˆ…)
4241iuneq1d 4986 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (๐‘Šโ€˜๐‘˜))
43 0iun 5028 . . . . . . 7 โˆช ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆ…
4442, 43eqtrdi 2793 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆ…)
4544fveq2d 6851 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
46 hash0 14274 . . . . 5 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
4745, 46eqtrdi 2793 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = 0)
4841sumeq1d 15593 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))
49 sum0 15613 . . . . . 6 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆ… if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = 0
5048, 49eqtrdi 2793 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = 0)
5150oveq2d 7378 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) = (๐‘ ยท 0))
5233, 47, 513brtr4d 5142 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐พ)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))
53 fzfi 13884 . . . . . . . . . . 11 (1...๐‘) โˆˆ Fin
54 elfzuz 13444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1)))
5534peano2nnd 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•)
56 eluznn 12850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐พ + 1) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
5755, 56sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
58 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” ๐‘˜ โˆˆ โ„™))
59 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘› โ†” ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›))
6058, 59anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)))
6160rabbidv 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ = ๐‘˜ โ†’ {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)} = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)})
62 prmrec.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐‘Š = (๐‘ โˆˆ โ„• โ†ฆ {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)})
63 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...๐‘) โˆˆ V
6463rabex 5294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)} โˆˆ V
6561, 62, 64fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘˜) = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)})
6665adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘˜) = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)})
67 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆฅ ๐‘›)} โŠ† (1...๐‘)
6866, 67eqsstrdi 4003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
6957, 68syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
7054, 69sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
7170ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
7271adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
73 iunss 5010 . . . . . . . . . . . 12 (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
7472, 73sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
75 ssfi 9124 . . . . . . . . . . 11 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆˆ Fin)
7653, 74, 75sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆˆ Fin)
77 hashcl 14263 . . . . . . . . . 10 (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„•0)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„•0)
7978nn0red 12481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
8030nnred 12175 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
8180adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
82 fzfid 13885 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((๐พ + 1)...๐‘—) โˆˆ Fin)
8355adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„•)
8483, 54, 56syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
85 nnrecre 12202 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
86 0re 11164 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„
87 ifcl 4536 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„)
8885, 86, 87sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„)
8984, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„)
9082, 89fsumrecl 15626 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„)
9181, 90remulcld 11192 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โˆˆ โ„)
92 prmnn 16557 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•)
9392nnrecred 12211 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ (1 / (๐‘— + 1)) โˆˆ โ„)
9493adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (1 / (๐‘— + 1)) โˆˆ โ„)
95 0red 11165 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
9694, 95ifclda 4526 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0) โˆˆ โ„)
9781, 96remulcld 11192 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)) โˆˆ โ„)
9879, 91, 97leadd1d 11756 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†” ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โ‰ค ((๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))))
99 eluzp1p1 12798 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1)))
10099adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1)))
101 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐œ‘)
102 elfzuz 13444 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1)))
10388recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„‚)
10457, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1))) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„‚)
105101, 102, 104syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„‚)
106 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™))
107 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (1 / ๐‘˜) = (1 / (๐‘— + 1)))
108106, 107ifbieq1d 4515 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))
109100, 105, 108fsumm1 15643 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...((๐‘— + 1) โˆ’ 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) + if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))
110 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
111110adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
112111zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
113 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„‚
114 pncan 11414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘— + 1) โˆ’ 1) = ๐‘—)
115112, 113, 114sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((๐‘— + 1) โˆ’ 1) = ๐‘—)
116115oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((๐พ + 1)...((๐‘— + 1) โˆ’ 1)) = ((๐พ + 1)...๐‘—))
117116sumeq1d 15593 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...((๐‘— + 1) โˆ’ 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))
118117oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...((๐‘— + 1) โˆ’ 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) + if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) + if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))
119109, 118eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) + if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))
120119oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) = (๐‘ ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) + if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))))
12131adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
12290recnd 11190 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„‚)
12396recnd 11190 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0) โˆˆ โ„‚)
124121, 122, 123adddid 11186 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) + if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) = ((๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))))
125120, 124eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) = ((๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))))
126125breq2d 5122 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†” ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โ‰ค ((๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))))
12798, 126bitr4d 282 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†” ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
128102, 69sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
129128ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
130129adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
131 iunss 5010 . . . . . . . . . . . 12 (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
132130, 131sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
133 ssfi 9124 . . . . . . . . . . 11 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆˆ Fin)
13453, 132, 133sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆˆ Fin)
135 hashcl 14263 . . . . . . . . . 10 (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„•0)
136134, 135syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„•0)
137136nn0red 12481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
138 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘˜) = (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))
139138sseq1d 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ((๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘) โ†” (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) โŠ† (1...๐‘)))
14068ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
141140adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐‘Šโ€˜๐‘˜) โŠ† (1...๐‘))
142 eluznn 12850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
14334, 142sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
144143peano2nnd 12177 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„•)
145139, 141, 144rspcdva 3585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) โŠ† (1...๐‘))
146 ssfi 9124 . . . . . . . . . . . 12 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) โŠ† (1...๐‘)) โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) โˆˆ Fin)
14753, 145, 146sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) โˆˆ Fin)
148 hashcl 14263 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) โˆˆ โ„•0)
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) โˆˆ โ„•0)
150149nn0red 12481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) โˆˆ โ„)
15179, 150readdcld 11191 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))) โˆˆ โ„)
15279, 97readdcld 11191 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โˆˆ โ„)
15338adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„ค)
154 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ))
15534nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
156155adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
157 pncan 11414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1) = ๐พ)
158156, 113, 157sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((๐พ + 1) โˆ’ 1) = ๐พ)
159158fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐พ + 1) โˆ’ 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ))
160154, 159eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐พ + 1) โˆ’ 1)))
161 fzsuc2 13506 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐พ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((๐พ + 1) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1)) = (((๐พ + 1)...๐‘—) โˆช {(๐‘— + 1)}))
162153, 160, 161syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1)) = (((๐พ + 1)...๐‘—) โˆช {(๐‘— + 1)}))
163162iuneq1d 4986 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = โˆช ๐‘˜ โˆˆ (((๐พ + 1)...๐‘—) โˆช {(๐‘— + 1)})(๐‘Šโ€˜๐‘˜))
164 iunxun 5059 . . . . . . . . . . . 12 โˆช ๐‘˜ โˆˆ (((๐พ + 1)...๐‘—) โˆช {(๐‘— + 1)})(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช โˆช ๐‘˜ โˆˆ {(๐‘— + 1)} (๐‘Šโ€˜๐‘˜))
165 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— + 1) โˆˆ V
166165, 138iunxsn 5056 . . . . . . . . . . . . 13 โˆช ๐‘˜ โˆˆ {(๐‘— + 1)} (๐‘Šโ€˜๐‘˜) = (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))
167166uneq2i 4125 . . . . . . . . . . . 12 (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช โˆช ๐‘˜ โˆˆ {(๐‘— + 1)} (๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))
168164, 167eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 โˆช ๐‘˜ โˆˆ (((๐พ + 1)...๐‘—) โˆช {(๐‘— + 1)})(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))
169163, 168eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜) = (โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))))
170169fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) = (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))))
171 hashun2 14290 . . . . . . . . . 10 ((โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆˆ Fin โˆง (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))) โ‰ค ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))))
17276, 147, 171syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜) โˆช (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))) โ‰ค ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))))
173170, 172eqbrtrd 5132 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))))
17481, 144nndivred 12214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ / (๐‘— + 1)) โˆˆ โ„)
175 flle 13711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ / (๐‘— + 1)) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))) โ‰ค (๐‘ / (๐‘— + 1)))
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))) โ‰ค (๐‘ / (๐‘— + 1)))
177 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
178177nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
179178subid1d 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘› โˆ’ 0) = ๐‘›)
180179breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘— + 1) โˆฅ (๐‘› โˆ’ 0) โ†” (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›))
181180rabbiia 3414 . . . . . . . . . . . . . . 15 {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ (๐‘› โˆ’ 0)} = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›}
182181fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ (๐‘› โˆ’ 0)}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›})
183 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
18430nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
185 nn0uz 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
186 1m1e0 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 โˆ’ 1) = 0
187186fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
188185, 187eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1))
189184, 188eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1)))
190189adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 โˆ’ 1)))
191 0zd 12518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
192144, 183, 190, 191hashdvds 16654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ (๐‘› โˆ’ 0)}) = ((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ 0) / (๐‘— + 1))) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / (๐‘— + 1)))))
193121subid1d 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ โˆ’ 0) = ๐‘)
194193fvoveq1d 7384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ 0) / (๐‘— + 1))) = (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))))
195186oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) = (0 โˆ’ 0)
196 0m0e0 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 โˆ’ 0) = 0
197195, 196eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) = 0
198197oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / (๐‘— + 1)) = (0 / (๐‘— + 1))
199144nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„‚)
200144nnne0d 12210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘— + 1) โ‰  0)
201199, 200div0d 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (0 / (๐‘— + 1)) = 0)
202198, 201eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / (๐‘— + 1)) = 0)
203202fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / (๐‘— + 1))) = (โŒŠโ€˜0))
204 0z 12517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 โˆˆ โ„ค
205 flid 13720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜0) = 0)
206204, 205ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โŒŠโ€˜0) = 0
207203, 206eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / (๐‘— + 1))) = 0)
208194, 207oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘ โˆ’ 0) / (๐‘— + 1))) โˆ’ (โŒŠโ€˜(((1 โˆ’ 1) โˆ’ 0) / (๐‘— + 1)))) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))) โˆ’ 0))
209174flcld 13710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))) โˆˆ โ„ค)
210209zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))) โˆˆ โ„‚)
211210subid1d 11508 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))) โˆ’ 0) = (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))))
212192, 208, 2113eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ (๐‘› โˆ’ 0)}) = (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))))
213182, 212eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›}) = (โŒŠโ€˜(๐‘ / (๐‘— + 1))))
214121, 199, 200divrecd 11941 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ / (๐‘— + 1)) = (๐‘ ยท (1 / (๐‘— + 1))))
215214eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท (1 / (๐‘— + 1))) = (๐‘ / (๐‘— + 1)))
216176, 213, 2153brtr4d 5142 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›}) โ‰ค (๐‘ ยท (1 / (๐‘— + 1))))
217216adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›}) โ‰ค (๐‘ ยท (1 / (๐‘— + 1))))
218 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™))
219 breq1 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›))
220218, 219anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ = (๐‘— + 1) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›) โ†” ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)))
221220rabbidv 3418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = (๐‘— + 1) โ†’ {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)} = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)})
22263rabex 5294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)} โˆˆ V
223221, 62, 222fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)})
224144, 223syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)})
225224adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)})
226 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™)
227226biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘› โ†” ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)))
228227rabbidv 3418 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›} = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)})
229225, 228eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) = {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›})
230229fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) = (โ™ฏโ€˜{๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›}))
231 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0) = (1 / (๐‘— + 1)))
232231adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0) = (1 / (๐‘— + 1)))
233232oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)) = (๐‘ ยท (1 / (๐‘— + 1))))
234217, 230, 2333brtr4d 5142 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) โ‰ค (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))
23529a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค 0)
236 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™)
237236con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ ยฌ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›))
238237ralrimivw 3148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (1...๐‘) ยฌ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›))
239 rabeq0 4349 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)} = โˆ… โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ (1...๐‘) ยฌ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›))
240238, 239sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ {๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โˆฃ ((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘— + 1) โˆฅ ๐‘›)} = โˆ…)
241224, 240sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)) = โˆ…)
242241fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
243242, 46eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) = 0)
244 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . 13 (ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0) = 0)
245244oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)) = (๐‘ ยท 0))
24632adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
247245, 246sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)) = 0)
248235, 243, 2473brtr4d 5142 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ยฌ (๐‘— + 1) โˆˆ โ„™) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) โ‰ค (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))
249234, 248pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1))) โ‰ค (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0)))
250150, 97, 79, 249leadd2dd 11777 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (โ™ฏโ€˜(๐‘Šโ€˜(๐‘— + 1)))) โ‰ค ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))))
251137, 151, 152, 173, 250letrd 11319 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))))
252 fzfid 13885 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1)) โˆˆ Fin)
25357, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐พ + 1))) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„)
254101, 102, 253syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„)
255252, 254fsumrecl 15626 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0) โˆˆ โ„)
25681, 255remulcld 11192 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โˆˆ โ„)
257 letr 11256 . . . . . . . 8 (((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„ โˆง ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โˆˆ โ„) โ†’ (((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โˆง ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
258137, 152, 256, 257syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โˆง ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
259251, 258mpand 694 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) + (๐‘ ยท if((๐‘— + 1) โˆˆ โ„™, (1 / (๐‘— + 1)), 0))) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
260127, 259sylbid 239 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
261260expcom 415 . . . 4 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))))
262261a2d 29 . . 3 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘—)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...(๐‘— + 1))if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0)))))
2637, 14, 21, 28, 52, 262uzind4i 12842 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
264263com12 32 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)(๐‘Šโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐‘ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐พ + 1)...๐‘)if(๐‘˜ โˆˆ โ„™, (1 / ๐‘˜), 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  {crab 3410   โˆ– cdif 3912   โˆช cun 3913   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287  ifcif 4491  {csn 4591  โˆช ciun 4959   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  dom cdm 5638  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  ...cfz 13431  โŒŠcfl 13702  seqcseq 13913  โ™ฏchash 14237   โ‡ cli 15373  ฮฃcsu 15577   โˆฅ cdvds 16143  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  prmreclem5  16799
  Copyright terms: Public domain W3C validator