Theorem stoweidlem55 47065

Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t₀ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem55.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem55.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem55.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem55.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem55.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem55.6	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem55.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem55.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.11	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem55.12	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem55.13	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
stoweidlem55.14	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem55.15	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem55	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑔,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔,𝑞   𝑈,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   𝐴,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑡,𝑤   𝑞,𝑝,𝑡,𝑇   𝐴,𝑝   𝑈,𝑝   𝑍,𝑝   𝑥,𝑟,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾   𝑥,𝑤,𝑄   𝑤,𝑈   𝜑,𝑤   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡, 𝑝)   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥, 𝑤, 𝑡, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝑄(𝑡, ℎ, 𝑟, 𝑝)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑥, 𝑓, 𝑔, 𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝐾(𝑥, 𝑤, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝑊(𝑥, 𝑤, 𝑡, 𝑓, ℎ, 𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝑍(𝑤, 𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem55

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11310	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		stoweidlem55.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
3	2	stoweidlem4 47014	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
4	1, 3	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
6		stoweidlem55.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
7		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
8		stoweidlem55.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
9	7, 8	nfdif 4066	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈)
10		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡∅
11	9, 10	nfeq 2935	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈) = ∅
12	6, 11	nfan 1931	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅)
13		0le0 12444	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
14		0cn 11298	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
15		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
16	15	fvmpt2 7005	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) = 0)
17	14, 16	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) = 0)
18	13, 17	breqtrrid 5142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
19	18	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
20		0le1 11839	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
21	17, 20	eqbrtrdi 5143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)
22	21	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)
23	19, 22	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
24	23	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
25	12, 24	ralrimi 3260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
26		stoweidlem55.13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
27		stoweidlem55.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
28	26, 27	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽))
29		elunii 4871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
30		stoweidlem55.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
31	29, 30	eleqtrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ 𝑇)
32		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → 0 = 0)
33		c0ex 11300	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
34	32, 15, 33	fvmpt 6993	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
35	28, 31, 34	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
36	35	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
37	11	rzalf 46034	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∖ 𝑈) = ∅ → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
38	37	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
39		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑝
40		nfmpt1 5203	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
41	39, 40	nfeq 2935	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
42		fveq1 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (𝑝‘𝑡) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
43	42	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
44	42	breq1d 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((𝑝‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
45	43, 44	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
46	41, 45	ralbid 3275	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
47		fveq1 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (𝑝‘𝑍) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍))
48	47	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((𝑝‘𝑍) = 0 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0))
49	42	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (0 < (𝑝‘𝑡) ↔ 0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
50	41, 49	ralbid 3275	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
51	46, 48, 50	3anbi123d 1464	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)) ↔ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))))
52	51	rspcev 3576	. . 3 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
53	5, 25, 36, 38, 52	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
54	11	nfn 1889	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅
55	6, 54	nfan 1931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅)
56		stoweidlem55.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
57		stoweidlem55.14	. . 3 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
58		stoweidlem55.15	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
59		stoweidlem55.6	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
60		stoweidlem55.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
61	60	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
62		stoweidlem55.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
63	62	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
64		stoweidlem55.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
65	64	3adant1r 1196	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
66		stoweidlem55.9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
67	66	3adant1r 1196	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
68	2	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
69		stoweidlem55.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
70	69	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
71	27	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝑈 ∈ 𝐽)
72		neqne 2963	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅ → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
73	72	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
74	26	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝑍 ∈ 𝑈)
75	8, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 73, 74	stoweidlem53 47063	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
76	53, 75	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344  (,)cioo 13476  topGenctg 17608   Cn ccn 23542  Compccmp 23704

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641

This theorem is used by:  stoweidlem56  47066