Theorem stoweidlem55 45069

Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t₀ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem55.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem55.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem55.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem55.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem55.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem55.6	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem55.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem55.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.11	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem55.12	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem55.13	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
stoweidlem55.14	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem55.15	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem55	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑔,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔,𝑞   𝑈,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   𝐴,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑡,𝑤   𝑞,𝑝,𝑡,𝑇   𝐴,𝑝   𝑈,𝑝   𝑍,𝑝   𝑥,𝑟,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾   𝑥,𝑤,𝑄   𝑤,𝑈   𝜑,𝑤   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑝)   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑄(𝑡,ℎ,𝑟,𝑝)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem55

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11220	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		stoweidlem55.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
3	2	stoweidlem4 45018	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
4	1, 3	mpan2 687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
5	4	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
6		stoweidlem55.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
7		nfcv 2901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
8		stoweidlem55.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
9	7, 8	nfdif 4124	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈)
10		nfcv 2901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡∅
11	9, 10	nfeq 2914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈) = ∅
12	6, 11	nfan 1900	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅)
13		0le0 12317	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
14		0cn 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
15		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
16	15	fvmpt2 7008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) = 0)
17	14, 16	mpan2 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) = 0)
18	13, 17	breqtrrid 5185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
19	18	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
20		0le1 11741	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
21	17, 20	eqbrtrdi 5186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)
22	21	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)
23	19, 22	jca 510	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
24	23	ex 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
25	12, 24	ralrimi 3252	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
26		stoweidlem55.13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
27		stoweidlem55.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
28	26, 27	jca 510	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽))
29		elunii 4912	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
30		stoweidlem55.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
31	29, 30	eleqtrrdi 2842	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ 𝑇)
32		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → 0 = 0)
33		c0ex 11212	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
34	32, 15, 33	fvmpt 6997	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
35	28, 31, 34	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
36	35	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
37	11	rzalf 44003	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∖ 𝑈) = ∅ → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
38	37	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
39		nfcv 2901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑝
40		nfmpt1 5255	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
41	39, 40	nfeq 2914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
42		fveq1 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (𝑝‘𝑡) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
43	42	breq2d 5159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
44	42	breq1d 5157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((𝑝‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
45	43, 44	anbi12d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
46	41, 45	ralbid 3268	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
47		fveq1 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (𝑝‘𝑍) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍))
48	47	eqeq1d 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((𝑝‘𝑍) = 0 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0))
49	42	breq2d 5159	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (0 < (𝑝‘𝑡) ↔ 0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
50	41, 49	ralbid 3268	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
51	46, 48, 50	3anbi123d 1434	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)) ↔ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))))
52	51	rspcev 3611	. . 3 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
53	5, 25, 36, 38, 52	syl13anc 1370	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
54	11	nfn 1858	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅
55	6, 54	nfan 1900	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅)
56		stoweidlem55.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
57		stoweidlem55.14	. . 3 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
58		stoweidlem55.15	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
59		stoweidlem55.6	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
60		stoweidlem55.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
61	60	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
62		stoweidlem55.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
63	62	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
64		stoweidlem55.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
65	64	3adant1r 1175	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
66		stoweidlem55.9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
67	66	3adant1r 1175	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
68	2	adantlr 711	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
69		stoweidlem55.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
70	69	adantlr 711	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
71	27	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝑈 ∈ 𝐽)
72		neqne 2946	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅ → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
73	72	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
74	26	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝑍 ∈ 𝑈)
75	8, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 73, 74	stoweidlem53 45067	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
76	53, 75	pm2.61dan 809	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2104  Ⅎwnfc 2881   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3430   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252   ≤ cle 11253  (,)cioo 13328  topGenctg 17387   Cn ccn 22948  Compccmp 23110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048

This theorem is referenced by:  stoweidlem56  45070