Theorem stoweidlem55 46870

Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t₀ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem55.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem55.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem55.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem55.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem55.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem55.6	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem55.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem55.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.11	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem55.12	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem55.13	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
stoweidlem55.14	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem55.15	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem55	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑔,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔,𝑞   𝑈,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   𝐴,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑡,𝑤   𝑞,𝑝,𝑡,𝑇   𝐴,𝑝   𝑈,𝑝   𝑍,𝑝   𝑥,𝑟,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾   𝑥,𝑤,𝑄   𝑤,𝑈   𝜑,𝑤   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡, 𝑝)   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥, 𝑤, 𝑡, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝑄(𝑡, ℎ, 𝑟, 𝑝)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑥, 𝑓, 𝑔, 𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝐾(𝑥, 𝑤, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝑊(𝑥, 𝑤, 𝑡, 𝑓, ℎ, 𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝑍(𝑤, 𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem55

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11237	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		stoweidlem55.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
3	2	stoweidlem4 46819	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
4	1, 3	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
6		stoweidlem55.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
7		nfcv 2924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
8		stoweidlem55.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
9	7, 8	nfdif 4080	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈)
10		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡∅
11	9, 10	nfeq 2937	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈) = ∅
12	6, 11	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅)
13		0le0 12369	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
14		0cn 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
15		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
16	15	fvmpt2 7002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) = 0)
17	14, 16	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) = 0)
18	13, 17	breqtrrid 5147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
19	18	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
20		0le1 11764	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
21	17, 20	eqbrtrdi 5148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)
22	21	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)
23	19, 22	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
24	23	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
25	12, 24	ralrimi 3262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
26		stoweidlem55.13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
27		stoweidlem55.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
28	26, 27	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽))
29		elunii 4875	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
30		stoweidlem55.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
31	29, 30	eleqtrrdi 2873	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ 𝑇)
32		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → 0 = 0)
33		c0ex 11227	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
34	32, 15, 33	fvmpt 6990	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
35	28, 31, 34	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
36	35	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
37	11	rzalf 45838	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∖ 𝑈) = ∅ → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
38	37	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
39		nfcv 2924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑝
40		nfmpt1 5208	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
41	39, 40	nfeq 2937	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
42		fveq1 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (𝑝‘𝑡) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
43	42	breq2d 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
44	42	breq1d 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((𝑝‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
45	43, 44	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
46	41, 45	ralbid 3277	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
47		fveq1 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (𝑝‘𝑍) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍))
48	47	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((𝑝‘𝑍) = 0 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0))
49	42	breq2d 5119	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (0 < (𝑝‘𝑡) ↔ 0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
50	41, 49	ralbid 3277	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
51	46, 48, 50	3anbi123d 1464	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)) ↔ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))))
52	51	rspcev 3579	. . 3 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
53	5, 25, 36, 38, 52	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
54	11	nfn 1890	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅
55	6, 54	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅)
56		stoweidlem55.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
57		stoweidlem55.14	. . 3 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
58		stoweidlem55.15	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
59		stoweidlem55.6	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
60		stoweidlem55.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
61	60	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
62		stoweidlem55.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
63	62	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
64		stoweidlem55.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
65	64	3adant1r 1196	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
66		stoweidlem55.9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
67	66	3adant1r 1196	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
68	2	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
69		stoweidlem55.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
70	69	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
71	27	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝑈 ∈ 𝐽)
72		neqne 2965	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅ → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
73	72	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
74	26	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝑍 ∈ 𝑈)
75	8, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 73, 74	stoweidlem53 46868	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
76	53, 75	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3414   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271  (,)cioo 13400  topGenctg 17526   Cn ccn 23450  Compccmp 23612

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-cmp 23613  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549

This theorem is used by:  stoweidlem56  46871