Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem55 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem55 44382
Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t0) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t0 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem55.1 β„²π‘‘π‘ˆ
stoweidlem55.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem55.3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem55.4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem55.5 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem55.6 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem55.7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem55.8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
stoweidlem55.12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
stoweidlem55.13 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
stoweidlem55.14 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem55.15 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
Assertion
Ref Expression
stoweidlem55 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Ÿ,𝐴,𝑔,π‘ž,𝑑   π‘₯,𝑓,β„Ž,π‘ž,𝑑,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔,π‘ž   π‘ˆ,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž   𝑓,𝑍,𝑔,β„Ž,π‘ž,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž   𝑀,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑇   𝑔,π‘Š   𝐴,β„Ž,π‘₯   β„Ž,𝐽,𝑑,𝑀   π‘ž,𝑝,𝑑,𝑇   𝐴,𝑝   π‘ˆ,𝑝   𝑍,𝑝   π‘₯,π‘Ÿ,𝑇   π‘ˆ,π‘Ÿ,π‘₯   πœ‘,π‘Ÿ,π‘₯   𝑑,𝐾   π‘₯,𝑀,𝑄   𝑀,π‘ˆ   πœ‘,𝑀   π‘₯,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑝)   𝐴(𝑀)   𝐢(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝑄(𝑑,β„Ž,π‘Ÿ,𝑝)   π‘ˆ(𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝑍(𝑀,π‘Ÿ)

Proof of Theorem stoweidlem55
StepHypRef Expression
1 0re 11162 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 stoweidlem55.10 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
32stoweidlem4 44331 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
41, 3mpan2 690 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
54adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
6 stoweidlem55.2 . . . . 5 β„²π‘‘πœ‘
7 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝑇
8 stoweidlem55.1 . . . . . . 7 β„²π‘‘π‘ˆ
97, 8nfdif 4086 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑇 βˆ– π‘ˆ)
10 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘‘βˆ…
119, 10nfeq 2917 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…
126, 11nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…)
13 0le0 12259 . . . . . . . 8 0 ≀ 0
14 0cn 11152 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„‚
15 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)
1615fvmpt2 6960 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) = 0)
1714, 16mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) = 0)
1813, 17breqtrrid 5144 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ 0 ≀ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘))
1918adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘))
20 0le1 11683 . . . . . . . 8 0 ≀ 1
2117, 20eqbrtrdi 5145 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ≀ 1)
2221adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ≀ 1)
2319, 22jca 513 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ≀ 1))
2423ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (0 ≀ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
2512, 24ralrimi 3239 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ≀ 1))
26 stoweidlem55.13 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
27 stoweidlem55.12 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
2826, 27jca 513 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ π‘ˆ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽))
29 elunii 4871 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ π‘ˆ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ 𝑍 ∈ βˆͺ 𝐽)
30 stoweidlem55.5 . . . . . 6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
3129, 30eleqtrrdi 2845 . . . . 5 ((𝑍 ∈ π‘ˆ ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
32 eqidd 2734 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑍 β†’ 0 = 0)
33 c0ex 11154 . . . . . 6 0 ∈ V
3432, 15, 33fvmpt 6949 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑇 β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘) = 0)
3528, 31, 343syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘) = 0)
3635adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘) = 0)
3711rzalf 43310 . . . 4 ((𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ… β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘))
3837adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘))
39 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝑝
40 nfmpt1 5214 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)
4139, 40nfeq 2917 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 𝑝 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)
42 fveq1 6842 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) β†’ (π‘β€˜π‘‘) = ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘))
4342breq2d 5118 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) β†’ (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘)))
4442breq1d 5116 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) β†’ ((π‘β€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ≀ 1))
4543, 44anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) β†’ ((0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
4641, 45ralbid 3255 . . . . 5 (𝑝 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
47 fveq1 6842 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) β†’ (π‘β€˜π‘) = ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘))
4847eqeq1d 2735 . . . . 5 (𝑝 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) β†’ ((π‘β€˜π‘) = 0 ↔ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘) = 0))
4942breq2d 5118 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) β†’ (0 < (π‘β€˜π‘‘) ↔ 0 < ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘)))
5041, 49ralbid 3255 . . . . 5 (𝑝 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘)))
5146, 48, 503anbi123d 1437 . . . 4 (𝑝 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) β†’ ((βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)) ↔ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘))))
5251rspcev 3580 . . 3 (((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴 ∧ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < ((𝑑 ∈ 𝑇 ↦ 0)β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)))
535, 25, 36, 38, 52syl13anc 1373 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)))
5411nfn 1861 . . . 4 Ⅎ𝑑 Β¬ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…
556, 54nfan 1903 . . 3 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ Β¬ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…)
56 stoweidlem55.3 . . 3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
57 stoweidlem55.14 . . 3 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
58 stoweidlem55.15 . . 3 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
59 stoweidlem55.6 . . 3 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
60 stoweidlem55.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
6160adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
62 stoweidlem55.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
6362adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
64 stoweidlem55.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
65643adant1r 1178 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
66 stoweidlem55.9 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
67663adant1r 1178 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
682adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
69 stoweidlem55.11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
7069adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
7127adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
72 neqne 2948 . . . 4 (Β¬ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ… β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β‰  βˆ…)
7372adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β‰  βˆ…)
7426adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
758, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 73, 74stoweidlem53 44380 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)))
7653, 75pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   < clt 11194   ≀ cle 11195  (,)cioo 13270  topGenctg 17324   Cn ccn 22591  Compccmp 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  44383
  Copyright terms: Public domain W3C validator