Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem55 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem55 42694
Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t0) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t0 in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem55.1 𝑡𝑈
stoweidlem55.2 𝑡𝜑
stoweidlem55.3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem55.4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem55.5 𝑇 = 𝐽
stoweidlem55.6 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem55.7 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem55.8 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.9 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.11 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem55.12 (𝜑𝑈𝐽)
stoweidlem55.13 (𝜑𝑍𝑈)
stoweidlem55.14 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem55.15 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
Assertion
Ref Expression
stoweidlem55 (𝜑 → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,,𝑞,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑔,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔,𝑞   𝑈,𝑓,𝑔,,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,,𝑞,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,,𝑞   𝑤,𝑔,,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   𝐴,,𝑥   ,𝐽,𝑡,𝑤   𝑞,𝑝,𝑡,𝑇   𝐴,𝑝   𝑈,𝑝   𝑍,𝑝   𝑥,𝑟,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾   𝑥,𝑤,𝑄   𝑤,𝑈   𝜑,𝑤   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑝)   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑄(𝑡,,𝑟,𝑝)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem55
StepHypRef Expression
1 0re 10636 . . . . 5 0 ∈ ℝ
2 stoweidlem55.10 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
32stoweidlem4 42643 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
41, 3mpan2 690 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
54adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝑡𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
6 stoweidlem55.2 . . . . 5 𝑡𝜑
7 nfcv 2958 . . . . . . 7 𝑡𝑇
8 stoweidlem55.1 . . . . . . 7 𝑡𝑈
97, 8nfdif 4056 . . . . . 6 𝑡(𝑇𝑈)
10 nfcv 2958 . . . . . 6 𝑡
119, 10nfeq 2971 . . . . 5 𝑡(𝑇𝑈) = ∅
126, 11nfan 1900 . . . 4 𝑡(𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅)
13 0le0 11730 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
14 0cn 10626 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
15 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝑇 ↦ 0) = (𝑡𝑇 ↦ 0)
1615fvmpt2 6760 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑇 ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) = 0)
1714, 16mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝑡𝑇 → ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) = 0)
1813, 17breqtrrid 5071 . . . . . . 7 (𝑡𝑇 → 0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
1918adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑡𝑇) → 0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
20 0le1 11156 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
2117, 20eqbrtrdi 5072 . . . . . . 7 (𝑡𝑇 → ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)
2221adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑡𝑇) → ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)
2319, 22jca 515 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑡𝑇) → (0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
2423ex 416 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝑡𝑇 → (0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
2512, 24ralrimi 3183 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
26 stoweidlem55.13 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑈)
27 stoweidlem55.12 . . . . . 6 (𝜑𝑈𝐽)
2826, 27jca 515 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍𝑈𝑈𝐽))
29 elunii 4808 . . . . . 6 ((𝑍𝑈𝑈𝐽) → 𝑍 𝐽)
30 stoweidlem55.5 . . . . . 6 𝑇 = 𝐽
3129, 30eleqtrrdi 2904 . . . . 5 ((𝑍𝑈𝑈𝐽) → 𝑍𝑇)
32 eqidd 2802 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑍 → 0 = 0)
33 c0ex 10628 . . . . . 6 0 ∈ V
3432, 15, 33fvmpt 6749 . . . . 5 (𝑍𝑇 → ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
3528, 31, 343syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
3635adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
3711rzalf 41643 . . . 4 ((𝑇𝑈) = ∅ → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
3837adantl 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
39 nfcv 2958 . . . . . . 7 𝑡𝑝
40 nfmpt1 5131 . . . . . . 7 𝑡(𝑡𝑇 ↦ 0)
4139, 40nfeq 2971 . . . . . 6 𝑡 𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0)
42 fveq1 6648 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → (𝑝𝑡) = ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
4342breq2d 5045 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → (0 ≤ (𝑝𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
4442breq1d 5043 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → ((𝑝𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
4543, 44anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → ((0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
4641, 45ralbid 3198 . . . . 5 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
47 fveq1 6648 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → (𝑝𝑍) = ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑍))
4847eqeq1d 2803 . . . . 5 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → ((𝑝𝑍) = 0 ↔ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0))
4942breq2d 5045 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → (0 < (𝑝𝑡) ↔ 0 < ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
5041, 49ralbid 3198 . . . . 5 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → (∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
5146, 48, 503anbi123d 1433 . . . 4 (𝑝 = (𝑡𝑇 ↦ 0) → ((∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)) ↔ (∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡))))
5251rspcev 3574 . . 3 (((𝑡𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < ((𝑡𝑇 ↦ 0)‘𝑡))) → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)))
535, 25, 36, 38, 52syl13anc 1369 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)))
5411nfn 1858 . . . 4 𝑡 ¬ (𝑇𝑈) = ∅
556, 54nfan 1900 . . 3 𝑡(𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅)
56 stoweidlem55.3 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
57 stoweidlem55.14 . . 3 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
58 stoweidlem55.15 . . 3 𝑊 = {𝑤𝐽 ∣ ∃𝑄 𝑤 = {𝑡𝑇 ∣ 0 < (𝑡)}}
59 stoweidlem55.6 . . 3 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
60 stoweidlem55.4 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
6160adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
62 stoweidlem55.7 . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
6362adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → 𝐴𝐶)
64 stoweidlem55.8 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
65643adant1r 1174 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
66 stoweidlem55.9 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
67663adant1r 1174 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
682adantlr 714 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑥) ∈ 𝐴)
69 stoweidlem55.11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
7069adantlr 714 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
7127adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → 𝑈𝐽)
72 neqne 2998 . . . 4 (¬ (𝑇𝑈) = ∅ → (𝑇𝑈) ≠ ∅)
7372adantl 485 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → (𝑇𝑈) ≠ ∅)
7426adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → 𝑍𝑈)
758, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 73, 74stoweidlem53 42692 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇𝑈) = ∅) → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)))
7653, 75pm2.61dan 812 1 (𝜑 → ∃𝑝𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑝𝑡) ∧ (𝑝𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)0 < (𝑝𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wnf 1785  wcel 2112  wnfc 2939  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  {crab 3113  cdif 3881  wss 3884  c0 4246   cuni 4803   class class class wbr 5033  cmpt 5113  ran crn 5524  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  (,)cioo 12730  topGenctg 16707   Cn ccn 21833  Compccmp 21995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-cmp 21996  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933
This theorem is referenced by:  stoweidlem56  42695
  Copyright terms: Public domain W3C validator