Theorem stoweidlem55 46075

Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t₀ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem55.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem55.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem55.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem55.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem55.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem55.6	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem55.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem55.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.11	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem55.12	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem55.13	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
stoweidlem55.14	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem55.15	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem55	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑔,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔,𝑞   𝑈,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   𝐴,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑡,𝑤   𝑞,𝑝,𝑡,𝑇   𝐴,𝑝   𝑈,𝑝   𝑍,𝑝   𝑥,𝑟,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾   𝑥,𝑤,𝑄   𝑤,𝑈   𝜑,𝑤   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑝)   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑄(𝑡,ℎ,𝑟,𝑝)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem55

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11264	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		stoweidlem55.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
3	2	stoweidlem4 46024	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
4	1, 3	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
6		stoweidlem55.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
7		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
8		stoweidlem55.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
9	7, 8	nfdif 4128	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈)
10		nfcv 2904	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡∅
11	9, 10	nfeq 2918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈) = ∅
12	6, 11	nfan 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅)
13		0le0 12368	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
14		0cn 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
15		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
16	15	fvmpt2 7026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) = 0)
17	14, 16	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) = 0)
18	13, 17	breqtrrid 5180	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
20		0le1 11787	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
21	17, 20	eqbrtrdi 5181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)
23	19, 22	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
24	23	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
25	12, 24	ralrimi 3256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
26		stoweidlem55.13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
27		stoweidlem55.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
28	26, 27	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽))
29		elunii 4911	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
30		stoweidlem55.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
31	29, 30	eleqtrrdi 2851	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ 𝑇)
32		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → 0 = 0)
33		c0ex 11256	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
34	32, 15, 33	fvmpt 7015	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
35	28, 31, 34	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
36	35	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
37	11	rzalf 45027	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∖ 𝑈) = ∅ → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
38	37	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
39		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑝
40		nfmpt1 5249	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
41	39, 40	nfeq 2918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
42		fveq1 6904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (𝑝‘𝑡) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
43	42	breq2d 5154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
44	42	breq1d 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((𝑝‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
45	43, 44	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
46	41, 45	ralbid 3272	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
47		fveq1 6904	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (𝑝‘𝑍) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍))
48	47	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((𝑝‘𝑍) = 0 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0))
49	42	breq2d 5154	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (0 < (𝑝‘𝑡) ↔ 0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
50	41, 49	ralbid 3272	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
51	46, 48, 50	3anbi123d 1437	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)) ↔ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))))
52	51	rspcev 3621	. . 3 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
53	5, 25, 36, 38, 52	syl13anc 1373	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
54	11	nfn 1856	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅
55	6, 54	nfan 1898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅)
56		stoweidlem55.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
57		stoweidlem55.14	. . 3 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
58		stoweidlem55.15	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
59		stoweidlem55.6	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
60		stoweidlem55.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
61	60	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
62		stoweidlem55.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
63	62	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
64		stoweidlem55.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
65	64	3adant1r 1177	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
66		stoweidlem55.9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
67	66	3adant1r 1177	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
68	2	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
69		stoweidlem55.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
70	69	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
71	27	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝑈 ∈ 𝐽)
72		neqne 2947	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅ → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
73	72	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
74	26	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝑍 ∈ 𝑈)
75	8, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 73, 74	stoweidlem53 46073	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
76	53, 75	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2889   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3435   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  ∪ cuni 4906   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  ran crn 5685  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296   ≤ cle 11297  (,)cioo 13388  topGenctg 17483   Cn ccn 23233  Compccmp 23395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333

This theorem is referenced by:  stoweidlem56  46076