Theorem stoweidlem55 44761

Description: This lemma proves the existence of a function p as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Here Z is used to represent t₀ in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem55.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem55.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem55.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem55.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem55.5	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem55.6	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem55.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem55.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem55.11	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem55.12	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem55.13	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
stoweidlem55.14	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem55.15	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem55	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝐴,𝑔,𝑞,𝑡   𝑥,𝑓,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑄,𝑓,𝑔,𝑞   𝑈,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   𝐴,ℎ,𝑥   ℎ,𝐽,𝑡,𝑤   𝑞,𝑝,𝑡,𝑇   𝐴,𝑝   𝑈,𝑝   𝑍,𝑝   𝑥,𝑟,𝑇   𝑈,𝑟,𝑥   𝜑,𝑟,𝑥   𝑡,𝐾   𝑥,𝑤,𝑄   𝑤,𝑈   𝜑,𝑤   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑝)   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑄(𝑡,ℎ,𝑟,𝑝)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem55

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11215	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		stoweidlem55.10	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
3	2	stoweidlem4 44710	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
4	1, 3	mpan2 689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴)
6		stoweidlem55.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
7		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
8		stoweidlem55.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
9	7, 8	nfdif 4125	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈)
10		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡∅
11	9, 10	nfeq 2916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈) = ∅
12	6, 11	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅)
13		0le0 12312	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
14		0cn 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
15		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
16	15	fvmpt2 7009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) = 0)
17	14, 16	mpan2 689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) = 0)
18	13, 17	breqtrrid 5186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
19	18	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
20		0le1 11736	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
21	17, 20	eqbrtrdi 5187	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)
22	21	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)
23	19, 22	jca 512	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
24	23	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑡 ∈ 𝑇 → (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
25	12, 24	ralrimi 3254	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
26		stoweidlem55.13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
27		stoweidlem55.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
28	26, 27	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽))
29		elunii 4913	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ ∪ 𝐽)
30		stoweidlem55.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
31	29, 30	eleqtrrdi 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑍 ∈ 𝑇)
32		eqidd 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑍 → 0 = 0)
33		c0ex 11207	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
34	32, 15, 33	fvmpt 6998	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑇 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
35	28, 31, 34	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
36	35	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0)
37	11	rzalf 43691	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∖ 𝑈) = ∅ → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
38	37	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
39		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑝
40		nfmpt1 5256	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
41	39, 40	nfeq 2916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)
42		fveq1 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (𝑝‘𝑡) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))
43	42	breq2d 5160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
44	42	breq1d 5158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((𝑝‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1))
45	43, 44	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
46	41, 45	ralbid 3270	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1)))
47		fveq1 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (𝑝‘𝑍) = ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍))
48	47	eqeq1d 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((𝑝‘𝑍) = 0 ↔ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0))
49	42	breq2d 5160	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (0 < (𝑝‘𝑡) ↔ 0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
50	41, 49	ralbid 3270	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → (∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡) ↔ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡)))
51	46, 48, 50	3anbi123d 1436	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) → ((∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)) ↔ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))))
52	51	rspcev 3612	. . 3 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0) ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡) ≤ 1) ∧ ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < ((𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 0)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
53	5, 25, 36, 38, 52	syl13anc 1372	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
54	11	nfn 1860	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡 ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅
55	6, 54	nfan 1902	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅)
56		stoweidlem55.3	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
57		stoweidlem55.14	. . 3 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
58		stoweidlem55.15	. . 3 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
59		stoweidlem55.6	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
60		stoweidlem55.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
61	60	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝐽 ∈ Comp)
62		stoweidlem55.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
63	62	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
64		stoweidlem55.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
65	64	3adant1r 1177	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
66		stoweidlem55.9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
67	66	3adant1r 1177	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
68	2	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
69		stoweidlem55.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
70	69	adantlr 713	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
71	27	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝑈 ∈ 𝐽)
72		neqne 2948	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅ → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
73	72	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
74	26	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → 𝑍 ∈ 𝑈)
75	8, 55, 56, 57, 58, 30, 59, 61, 63, 65, 67, 68, 70, 71, 73, 74	stoweidlem53 44759	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑇 ∖ 𝑈) = ∅) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
76	53, 75	pm2.61dan 811	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2883   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3432   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   < clt 11247   ≤ cle 11248  (,)cioo 13323  topGenctg 17382   Cn ccn 22727  Compccmp 22889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827

This theorem is referenced by:  stoweidlem56  44762