MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyrem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem plyrem 25818
Description: The polynomial remainder theorem, or little BΓ©zout's theorem (by contrast to the regular BΓ©zout's theorem bezout 16485). If a polynomial 𝐹 is divided by the linear factor π‘₯ βˆ’ 𝐴, the remainder is equal to 𝐹(𝐴), the evaluation of the polynomial at 𝐴 (interpreted as a constant polynomial). This is part of Metamath 100 proof #89. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyrem.1 𝐺 = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))
plyrem.2 𝑅 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)))
Assertion
Ref Expression
plyrem ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝑅 = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜π΄)}))
Proof of Theorem plyrem
StepHypRef Expression
1 plyssc 25714 . . . . . . . 8 (Polyβ€˜π‘†) βŠ† (Polyβ€˜β„‚)
2 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
31, 2sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
4 plyrem.1 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (Xp ∘f βˆ’ (β„‚ Γ— {𝐴}))
54plyremlem 25817 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜πΊ) = 1 ∧ (◑𝐺 β€œ {0}) = {𝐴}))
65adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (degβ€˜πΊ) = 1 ∧ (◑𝐺 β€œ {0}) = {𝐴}))
76simp1d 1143 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
86simp2d 1144 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (degβ€˜πΊ) = 1)
9 ax-1ne0 11179 . . . . . . . . . 10 1 β‰  0
109a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 1 β‰  0)
118, 10eqnetrd 3009 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (degβ€˜πΊ) β‰  0)
12 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝐺 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΊ) = (degβ€˜0𝑝))
13 dgr0 25776 . . . . . . . . . 10 (degβ€˜0𝑝) = 0
1412, 13eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝐺 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΊ) = 0)
1514necon3i 2974 . . . . . . . 8 ((degβ€˜πΊ) β‰  0 β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
1611, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐺 β‰  0𝑝)
17 plyrem.2 . . . . . . . 8 𝑅 = (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)))
1817quotdgr 25816 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝) β†’ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)))
193, 7, 16, 18syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)))
20 0lt1 11736 . . . . . . . 8 0 < 1
2120, 8breqtrrid 5187 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 0 < (degβ€˜πΊ))
22 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜π‘…) = (degβ€˜0𝑝))
2322, 13eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑅 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜π‘…) = 0)
2423breq1d 5159 . . . . . . 7 (𝑅 = 0𝑝 β†’ ((degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ) ↔ 0 < (degβ€˜πΊ)))
2521, 24syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑅 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)))
26 pm2.62 899 . . . . . 6 ((𝑅 = 0𝑝 ∨ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑅 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)) β†’ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ)))
2719, 25, 26sylc 65 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (degβ€˜π‘…) < (degβ€˜πΊ))
2827, 8breqtrd 5175 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (degβ€˜π‘…) < 1)
29 quotcl2 25815 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ 𝐺 β‰  0𝑝) β†’ (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
303, 7, 16, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
31 plymulcl 25735 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝐹 quot 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
327, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
33 plysubcl 25736 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„‚) ∧ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)) ∈ (Polyβ€˜β„‚)) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
343, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺))) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
3517, 34eqeltrid 2838 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝑅 ∈ (Polyβ€˜β„‚))
36 dgrcl 25747 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (degβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
3735, 36syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (degβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
38 nn0lt10b 12624 . . . . 5 ((degβ€˜π‘…) ∈ β„•0 β†’ ((degβ€˜π‘…) < 1 ↔ (degβ€˜π‘…) = 0))
3937, 38syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((degβ€˜π‘…) < 1 ↔ (degβ€˜π‘…) = 0))
4028, 39mpbid 231 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (degβ€˜π‘…) = 0)
41 0dgrb 25760 . . . 4 (𝑅 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ ((degβ€˜π‘…) = 0 ↔ 𝑅 = (β„‚ Γ— {(π‘…β€˜0)})))
4235, 41syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((degβ€˜π‘…) = 0 ↔ 𝑅 = (β„‚ Γ— {(π‘…β€˜0)})))
4340, 42mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝑅 = (β„‚ Γ— {(π‘…β€˜0)}))
4443fveq1d 6894 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (π‘…β€˜π΄) = ((β„‚ Γ— {(π‘…β€˜0)})β€˜π΄))
4517fveq1i 6893 . . . . . . 7 (π‘…β€˜π΄) = ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)))β€˜π΄)
46 plyf 25712 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
4746adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
4847ffnd 6719 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐹 Fn β„‚)
49 plyf 25712 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
507, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚)
5150ffnd 6719 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐺 Fn β„‚)
52 plyf 25712 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 quot 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚) β†’ (𝐹 quot 𝐺):β„‚βŸΆβ„‚)
5330, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐹 quot 𝐺):β„‚βŸΆβ„‚)
5453ffnd 6719 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐹 quot 𝐺) Fn β„‚)
55 cnex 11191 . . . . . . . . . . 11 β„‚ ∈ V
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ β„‚ ∈ V)
57 inidm 4219 . . . . . . . . . 10 (β„‚ ∩ β„‚) = β„‚
5851, 54, 56, 56, 57offn 7683 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)) Fn β„‚)
59 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜π΄))
606simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (◑𝐺 β€œ {0}) = {𝐴})
61 ssun1 4173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐺 β€œ {0}) βŠ† ((◑𝐺 β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(𝐹 quot 𝐺) β€œ {0}))
6260, 61eqsstrrdi 4038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ {𝐴} βŠ† ((◑𝐺 β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(𝐹 quot 𝐺) β€œ {0})))
63 snssg 4788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝐴 ∈ ((◑𝐺 β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(𝐹 quot 𝐺) β€œ {0})) ↔ {𝐴} βŠ† ((◑𝐺 β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(𝐹 quot 𝐺) β€œ {0}))))
6463adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 ∈ ((◑𝐺 β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(𝐹 quot 𝐺) β€œ {0})) ↔ {𝐴} βŠ† ((◑𝐺 β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(𝐹 quot 𝐺) β€œ {0}))))
6562, 64mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ ((◑𝐺 β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(𝐹 quot 𝐺) β€œ {0})))
66 ofmulrt 25795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝐺:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ (𝐹 quot 𝐺):β„‚βŸΆβ„‚) β†’ (β—‘(𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)) β€œ {0}) = ((◑𝐺 β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(𝐹 quot 𝐺) β€œ {0})))
6756, 50, 53, 66syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β—‘(𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)) β€œ {0}) = ((◑𝐺 β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(𝐹 quot 𝐺) β€œ {0})))
6865, 67eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ (β—‘(𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)) β€œ {0}))
69 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)) Fn β„‚ β†’ (𝐴 ∈ (β—‘(𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)) β€œ {0}) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺))β€˜π΄) = 0)))
7058, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 ∈ (β—‘(𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)) β€œ {0}) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺))β€˜π΄) = 0)))
7168, 70mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺))β€˜π΄) = 0))
7271simprd 497 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺))β€˜π΄) = 0)
7372adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺))β€˜π΄) = 0)
7448, 58, 56, 56, 57, 59, 73ofval 7681 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)))β€˜π΄) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 0))
7574anabss3 674 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ (𝐺 ∘f Β· (𝐹 quot 𝐺)))β€˜π΄) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 0))
7645, 75eqtrid 2785 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (π‘…β€˜π΄) = ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 0))
7746ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
7877subid1d 11560 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 0) = (πΉβ€˜π΄))
7976, 78eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (π‘…β€˜π΄) = (πΉβ€˜π΄))
80 fvex 6905 . . . . . . 7 (π‘…β€˜0) ∈ V
8180fvconst2 7205 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {(π‘…β€˜0)})β€˜π΄) = (π‘…β€˜0))
8281adantl 483 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((β„‚ Γ— {(π‘…β€˜0)})β€˜π΄) = (π‘…β€˜0))
8344, 79, 823eqtr3d 2781 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π΄) = (π‘…β€˜0))
8483sneqd 4641 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ {(πΉβ€˜π΄)} = {(π‘…β€˜0)})
8584xpeq2d 5707 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) = (β„‚ Γ— {(π‘…β€˜0)}))
8643, 85eqtr4d 2776 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝑅 = (β„‚ Γ— {(πΉβ€˜π΄)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„•0cn0 12472  0𝑝c0p 25186  Polycply 25698  Xpcidp 25699  degcdgr 25701   quot cquot 25803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-idp 25703  df-coe 25704  df-dgr 25705  df-quot 25804
This theorem is referenced by:  facth  25819
  Copyright terms: Public domain W3C validator