MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem3 27473
Description: Lemma 3 for 2lgsoddprm 27475. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3
StepHypRef Expression
1 lgsdir2lem3 27386 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
2 eleq1 2827 . . . . 5 ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
32eqcoms 2743 . . . 4 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
4 elun 4163 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ (𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}))
5 elpri 4654 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ {3, 5} → (𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5))
6 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 = 3 → (𝑅↑2) = (3↑2))
76oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 = 3 → ((𝑅↑2) − 1) = ((3↑2) − 1))
87oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((3↑2) − 1) / 8))
9 2lgsoddprmlem3b 27470 . . . . . . . . . . . 12 (((3↑2) − 1) / 8) = 1
108, 9eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 1)
1110breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 1))
12 n2dvds1 16402 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ∥ 1
1312pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 1 → 𝑅 ∈ {1, 7})
1411, 13biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
15 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 = 5 → (𝑅↑2) = (5↑2))
1615oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 = 5 → ((𝑅↑2) − 1) = ((5↑2) − 1))
1716oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = 5 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((5↑2) − 1) / 8))
1817breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8)))
19 2lgsoddprmlem3c 27471 . . . . . . . . . . . 12 (((5↑2) − 1) / 8) = 3
2019breq2i 5156 . . . . . . . . . . 11 (2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3)
2118, 20bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3))
22 n2dvds3 16405 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ∥ 3
2322pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 3 → 𝑅 ∈ {1, 7})
2421, 23biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
2514, 24jaoi 857 . . . . . . . 8 ((𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
265, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ {3, 5} → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
2726jao1i 858 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
284, 27sylbi 217 . . . . 5 (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
29 elpri 4654 . . . . . 6 (𝑅 ∈ {1, 7} → (𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7))
30 z0even 16401 . . . . . . . 8 2 ∥ 0
31 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 1 → (𝑅↑2) = (1↑2))
3231oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 1 → ((𝑅↑2) − 1) = ((1↑2) − 1))
3332oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((1↑2) − 1) / 8))
34 2lgsoddprmlem3a 27469 . . . . . . . . 9 (((1↑2) − 1) / 8) = 0
3533, 34eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 0)
3630, 35breqtrrid 5186 . . . . . . 7 (𝑅 = 1 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
37 2z 12647 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
38 3z 12648 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
39 dvdsmul1 16312 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 3))
4037, 38, 39mp2an 692 . . . . . . . 8 2 ∥ (2 · 3)
41 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 7 → (𝑅↑2) = (7↑2))
4241oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 7 → ((𝑅↑2) − 1) = ((7↑2) − 1))
4342oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((7↑2) − 1) / 8))
44 2lgsoddprmlem3d 27472 . . . . . . . . 9 (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)
4543, 44eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (2 · 3))
4640, 45breqtrrid 5186 . . . . . . 7 (𝑅 = 7 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
4736, 46jaoi 857 . . . . . 6 ((𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7) → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
4829, 47syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ {1, 7} → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
4928, 48impbid1 225 . . . 4 (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))
503, 49biimtrdi 253 . . 3 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
511, 50syl5com 31 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
52513impia 1116 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  {cpr 4633   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  3c3 12320  5c5 12322  7c7 12324  8c8 12325  cz 12611   mod cmo 13906  cexp 14099  cdvds 16287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-dvds 16288
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  27474
  Copyright terms: Public domain W3C validator