MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem3 26765
Description: Lemma 3 for 2lgsoddprm 26767. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” ๐‘… โˆˆ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3
StepHypRef Expression
1 lgsdir2lem3 26678 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ mod 8) โˆˆ ({1, 7} โˆช {3, 5}))
2 eleq1 2826 . . . . 5 ((๐‘ mod 8) = ๐‘… โ†’ ((๐‘ mod 8) โˆˆ ({1, 7} โˆช {3, 5}) โ†” ๐‘… โˆˆ ({1, 7} โˆช {3, 5})))
32eqcoms 2745 . . . 4 (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†’ ((๐‘ mod 8) โˆˆ ({1, 7} โˆช {3, 5}) โ†” ๐‘… โˆˆ ({1, 7} โˆช {3, 5})))
4 elun 4109 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ ({1, 7} โˆช {3, 5}) โ†” (๐‘… โˆˆ {1, 7} โˆจ ๐‘… โˆˆ {3, 5}))
5 elpri 4609 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ {3, 5} โ†’ (๐‘… = 3 โˆจ ๐‘… = 5))
6 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… = 3 โ†’ (๐‘…โ†‘2) = (3โ†‘2))
76oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘… = 3 โ†’ ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) = ((3โ†‘2) โˆ’ 1))
87oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… = 3 โ†’ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((3โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))
9 2lgsoddprmlem3b 26762 . . . . . . . . . . . 12 (((3โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = 1
108, 9eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… = 3 โ†’ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = 1)
1110breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 (๐‘… = 3 โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ 1))
12 n2dvds1 16251 . . . . . . . . . . 11 ยฌ 2 โˆฅ 1
1312pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (2 โˆฅ 1 โ†’ ๐‘… โˆˆ {1, 7})
1411, 13syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (๐‘… = 3 โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†’ ๐‘… โˆˆ {1, 7}))
15 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘… = 5 โ†’ (๐‘…โ†‘2) = (5โ†‘2))
1615oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘… = 5 โ†’ ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) = ((5โ†‘2) โˆ’ 1))
1716oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… = 5 โ†’ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((5โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))
1817breq2d 5118 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… = 5 โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ (((5โ†‘2) โˆ’ 1) / 8)))
19 2lgsoddprmlem3c 26763 . . . . . . . . . . . 12 (((5โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = 3
2019breq2i 5114 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆฅ (((5โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ 3)
2118, 20bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (๐‘… = 5 โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” 2 โˆฅ 3))
22 n2dvds3 16254 . . . . . . . . . . 11 ยฌ 2 โˆฅ 3
2322pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (2 โˆฅ 3 โ†’ ๐‘… โˆˆ {1, 7})
2421, 23syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (๐‘… = 5 โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†’ ๐‘… โˆˆ {1, 7}))
2514, 24jaoi 856 . . . . . . . 8 ((๐‘… = 3 โˆจ ๐‘… = 5) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†’ ๐‘… โˆˆ {1, 7}))
265, 25syl 17 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ {3, 5} โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†’ ๐‘… โˆˆ {1, 7}))
2726jao1i 857 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ {1, 7} โˆจ ๐‘… โˆˆ {3, 5}) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†’ ๐‘… โˆˆ {1, 7}))
284, 27sylbi 216 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ ({1, 7} โˆช {3, 5}) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†’ ๐‘… โˆˆ {1, 7}))
29 elpri 4609 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ {1, 7} โ†’ (๐‘… = 1 โˆจ ๐‘… = 7))
30 z0even 16250 . . . . . . . 8 2 โˆฅ 0
31 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… = 1 โ†’ (๐‘…โ†‘2) = (1โ†‘2))
3231oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐‘… = 1 โ†’ ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) = ((1โ†‘2) โˆ’ 1))
3332oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘… = 1 โ†’ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((1โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))
34 2lgsoddprmlem3a 26761 . . . . . . . . 9 (((1โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = 0
3533, 34eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (๐‘… = 1 โ†’ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = 0)
3630, 35breqtrrid 5144 . . . . . . 7 (๐‘… = 1 โ†’ 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))
37 2z 12536 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
38 3z 12537 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„ค
39 dvdsmul1 16161 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง 3 โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (2 ยท 3))
4037, 38, 39mp2an 691 . . . . . . . 8 2 โˆฅ (2 ยท 3)
41 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… = 7 โ†’ (๐‘…โ†‘2) = (7โ†‘2))
4241oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐‘… = 7 โ†’ ((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) = ((7โ†‘2) โˆ’ 1))
4342oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘… = 7 โ†’ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((7โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))
44 2lgsoddprmlem3d 26764 . . . . . . . . 9 (((7โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (2 ยท 3)
4543, 44eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (๐‘… = 7 โ†’ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (2 ยท 3))
4640, 45breqtrrid 5144 . . . . . . 7 (๐‘… = 7 โ†’ 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))
4736, 46jaoi 856 . . . . . 6 ((๐‘… = 1 โˆจ ๐‘… = 7) โ†’ 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))
4829, 47syl 17 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ {1, 7} โ†’ 2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8))
4928, 48impbid1 224 . . . 4 (๐‘… โˆˆ ({1, 7} โˆช {3, 5}) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” ๐‘… โˆˆ {1, 7}))
503, 49syl6bi 253 . . 3 (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†’ ((๐‘ mod 8) โˆˆ ({1, 7} โˆช {3, 5}) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” ๐‘… โˆˆ {1, 7})))
511, 50syl5com 31 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod 8) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” ๐‘… โˆˆ {1, 7})))
52513impia 1118 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘… = (๐‘ mod 8)) โ†’ (2 โˆฅ (((๐‘…โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) โ†” ๐‘… โˆˆ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆช cun 3909  {cpr 4589   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   ยท cmul 11057   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  2c2 12209  3c3 12210  5c5 12212  7c7 12214  8c8 12215  โ„คcz 12500   mod cmo 13775  โ†‘cexp 13968   โˆฅ cdvds 16137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-dvds 16138
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  26766
  Copyright terms: Public domain W3C validator