MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem3 26005
Description: Lemma 3 for 2lgsoddprm 26007. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3
StepHypRef Expression
1 lgsdir2lem3 25918 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
2 eleq1 2903 . . . . 5 ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
32eqcoms 2832 . . . 4 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
4 elun 4111 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ (𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}))
5 elpri 4572 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ {3, 5} → (𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5))
6 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 = 3 → (𝑅↑2) = (3↑2))
76oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 = 3 → ((𝑅↑2) − 1) = ((3↑2) − 1))
87oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((3↑2) − 1) / 8))
9 2lgsoddprmlem3b 26002 . . . . . . . . . . . 12 (((3↑2) − 1) / 8) = 1
108, 9syl6eq 2875 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 1)
1110breq2d 5064 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 1))
12 n2dvds1 15717 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ∥ 1
1312pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 1 → 𝑅 ∈ {1, 7})
1411, 13syl6bi 256 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
15 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 = 5 → (𝑅↑2) = (5↑2))
1615oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 = 5 → ((𝑅↑2) − 1) = ((5↑2) − 1))
1716oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = 5 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((5↑2) − 1) / 8))
1817breq2d 5064 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8)))
19 2lgsoddprmlem3c 26003 . . . . . . . . . . . 12 (((5↑2) − 1) / 8) = 3
2019breq2i 5060 . . . . . . . . . . 11 (2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3)
2118, 20syl6bb 290 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3))
22 n2dvds3 15720 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ∥ 3
2322pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 3 → 𝑅 ∈ {1, 7})
2421, 23syl6bi 256 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
2514, 24jaoi 854 . . . . . . . 8 ((𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
265, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ {3, 5} → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
2726jao1i 855 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
284, 27sylbi 220 . . . . 5 (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
29 elpri 4572 . . . . . 6 (𝑅 ∈ {1, 7} → (𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7))
30 z0even 15716 . . . . . . . 8 2 ∥ 0
31 oveq1 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 1 → (𝑅↑2) = (1↑2))
3231oveq1d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 1 → ((𝑅↑2) − 1) = ((1↑2) − 1))
3332oveq1d 7164 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((1↑2) − 1) / 8))
34 2lgsoddprmlem3a 26001 . . . . . . . . 9 (((1↑2) − 1) / 8) = 0
3533, 34syl6eq 2875 . . . . . . . 8 (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 0)
3630, 35breqtrrid 5090 . . . . . . 7 (𝑅 = 1 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
37 2z 12011 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
38 3z 12012 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
39 dvdsmul1 15631 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 3))
4037, 38, 39mp2an 691 . . . . . . . 8 2 ∥ (2 · 3)
41 oveq1 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 7 → (𝑅↑2) = (7↑2))
4241oveq1d 7164 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 7 → ((𝑅↑2) − 1) = ((7↑2) − 1))
4342oveq1d 7164 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((7↑2) − 1) / 8))
44 2lgsoddprmlem3d 26004 . . . . . . . . 9 (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)
4543, 44syl6eq 2875 . . . . . . . 8 (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (2 · 3))
4640, 45breqtrrid 5090 . . . . . . 7 (𝑅 = 7 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
4736, 46jaoi 854 . . . . . 6 ((𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7) → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
4829, 47syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ {1, 7} → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
4928, 48impbid1 228 . . . 4 (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))
503, 49syl6bi 256 . . 3 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
511, 50syl5com 31 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
52513impia 1114 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cun 3917  {cpr 4552   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   · cmul 10540  cmin 10868   / cdiv 11295  2c2 11689  3c3 11690  5c5 11692  7c7 11694  8c8 11695  cz 11978   mod cmo 13241  cexp 13434  cdvds 15607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-dvds 15608
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  26006
  Copyright terms: Public domain W3C validator