Theorem 2lgsoddprmlem3 27382

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprm 27384. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsdir2lem3 27295	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
2		eleq1 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
3	2	eqcoms 2744	. . . 4 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
4		elun 4133	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ (𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}))
5		elpri 4630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ {3, 5} → (𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5))
6		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 = 3 → (𝑅↑2) = (3↑2))
7	6	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 = 3 → ((𝑅↑2) − 1) = ((3↑2) − 1))
8	7	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((3↑2) − 1) / 8))
9		2lgsoddprmlem3b 27379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((3↑2) − 1) / 8) = 1
10	8, 9	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 1)
11	10	breq2d 5136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 1))
12		n2dvds1 16392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
13	12	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 1 → 𝑅 ∈ {1, 7})
14	11, 13	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
15		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 = 5 → (𝑅↑2) = (5↑2))
16	15	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 = 5 → ((𝑅↑2) − 1) = ((5↑2) − 1))
17	16	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = 5 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((5↑2) − 1) / 8))
18	17	breq2d 5136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8)))
19		2lgsoddprmlem3c 27380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3
20	19	breq2i 5132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3)
21	18, 20	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3))
22		n2dvds3 16395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
23	22	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 3 → 𝑅 ∈ {1, 7})
24	21, 23	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
25	14, 24	jaoi 857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
26	5, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ {3, 5} → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
27	26	jao1i 858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
28	4, 27	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
29		elpri 4630	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ {1, 7} → (𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7))
30		z0even 16391	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ 0
31		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 1 → (𝑅↑2) = (1↑2))
32	31	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 1 → ((𝑅↑2) − 1) = ((1↑2) − 1))
33	32	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((1↑2) − 1) / 8))
34		2lgsoddprmlem3a 27378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1↑2) − 1) / 8) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 0)
36	30, 35	breqtrrid 5162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = 1 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
37		2z 12629	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
38		3z 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
39		dvdsmul1 16302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 3))
40	37, 38, 39	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ (2 · 3)
41		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 7 → (𝑅↑2) = (7↑2))
42	41	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 7 → ((𝑅↑2) − 1) = ((7↑2) − 1))
43	42	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((7↑2) − 1) / 8))
44		2lgsoddprmlem3d 27381	. . . . . . . . 9 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)
45	43, 44	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (2 · 3))
46	40, 45	breqtrrid 5162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = 7 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
47	36, 46	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7) → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
48	29, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ {1, 7} → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
49	28, 48	impbid1 225	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))
50	3, 49	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
51	1, 50	syl5com 31	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
52	51	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3929  {cpr 4608   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139   − cmin 11471   / cdiv 11899  2c2 12300  3c3 12301  5c5 12303  7c7 12305  8c8 12306  ℤcz 12593   mod cmo 13891  ↑cexp 14084   ∥ cdvds 16277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-dvds 16278

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  27383