Theorem 2lgsoddprmlem3 27476

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprm 27478. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsdir2lem3 27389	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
2		eleq1 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
3	2	eqcoms 2748	. . . 4 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
4		elun 4176	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ (𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}))
5		elpri 4671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ {3, 5} → (𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5))
6		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 = 3 → (𝑅↑2) = (3↑2))
7	6	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 = 3 → ((𝑅↑2) − 1) = ((3↑2) − 1))
8	7	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((3↑2) − 1) / 8))
9		2lgsoddprmlem3b 27473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((3↑2) − 1) / 8) = 1
10	8, 9	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 1)
11	10	breq2d 5178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 1))
12		n2dvds1 16416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
13	12	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 1 → 𝑅 ∈ {1, 7})
14	11, 13	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
15		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 = 5 → (𝑅↑2) = (5↑2))
16	15	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 = 5 → ((𝑅↑2) − 1) = ((5↑2) − 1))
17	16	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = 5 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((5↑2) − 1) / 8))
18	17	breq2d 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8)))
19		2lgsoddprmlem3c 27474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3
20	19	breq2i 5174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3)
21	18, 20	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3))
22		n2dvds3 16419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
23	22	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 3 → 𝑅 ∈ {1, 7})
24	21, 23	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
25	14, 24	jaoi 856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
26	5, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ {3, 5} → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
27	26	jao1i 857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
28	4, 27	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
29		elpri 4671	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ {1, 7} → (𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7))
30		z0even 16415	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ 0
31		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 1 → (𝑅↑2) = (1↑2))
32	31	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 1 → ((𝑅↑2) − 1) = ((1↑2) − 1))
33	32	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((1↑2) − 1) / 8))
34		2lgsoddprmlem3a 27472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1↑2) − 1) / 8) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 0)
36	30, 35	breqtrrid 5204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = 1 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
37		2z 12675	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
38		3z 12676	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
39		dvdsmul1 16326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 3))
40	37, 38, 39	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ (2 · 3)
41		oveq1 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 7 → (𝑅↑2) = (7↑2))
42	41	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 7 → ((𝑅↑2) − 1) = ((7↑2) − 1))
43	42	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((7↑2) − 1) / 8))
44		2lgsoddprmlem3d 27475	. . . . . . . . 9 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)
45	43, 44	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (2 · 3))
46	40, 45	breqtrrid 5204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = 7 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
47	36, 46	jaoi 856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7) → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
48	29, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ {1, 7} → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
49	28, 48	impbid1 225	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))
50	3, 49	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
51	1, 50	syl5com 31	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
52	51	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3974  {cpr 4650   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   − cmin 11520   / cdiv 11947  2c2 12348  3c3 12349  5c5 12351  7c7 12353  8c8 12354  ℤcz 12639   mod cmo 13920  ↑cexp 14112   ∥ cdvds 16302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-dvds 16303

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  27477