MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgsoddprmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgsoddprmlem3 27459
Description: Lemma 3 for 2lgsoddprm 27461. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgsoddprmlem3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3
StepHypRef Expression
1 lgsdir2lem3 27372 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
2 eleq1 2828 . . . . 5 ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
32eqcoms 2744 . . . 4 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
4 elun 4152 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ (𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}))
5 elpri 4648 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ {3, 5} → (𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5))
6 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 = 3 → (𝑅↑2) = (3↑2))
76oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 = 3 → ((𝑅↑2) − 1) = ((3↑2) − 1))
87oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((3↑2) − 1) / 8))
9 2lgsoddprmlem3b 27456 . . . . . . . . . . . 12 (((3↑2) − 1) / 8) = 1
108, 9eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 1)
1110breq2d 5154 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 1))
12 n2dvds1 16406 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ∥ 1
1312pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 1 → 𝑅 ∈ {1, 7})
1411, 13biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
15 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 = 5 → (𝑅↑2) = (5↑2))
1615oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 = 5 → ((𝑅↑2) − 1) = ((5↑2) − 1))
1716oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 = 5 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((5↑2) − 1) / 8))
1817breq2d 5154 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8)))
19 2lgsoddprmlem3c 27457 . . . . . . . . . . . 12 (((5↑2) − 1) / 8) = 3
2019breq2i 5150 . . . . . . . . . . 11 (2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3)
2118, 20bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3))
22 n2dvds3 16409 . . . . . . . . . . 11 ¬ 2 ∥ 3
2322pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (2 ∥ 3 → 𝑅 ∈ {1, 7})
2421, 23biimtrdi 253 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
2514, 24jaoi 857 . . . . . . . 8 ((𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
265, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ {3, 5} → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
2726jao1i 858 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
284, 27sylbi 217 . . . . 5 (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
29 elpri 4648 . . . . . 6 (𝑅 ∈ {1, 7} → (𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7))
30 z0even 16405 . . . . . . . 8 2 ∥ 0
31 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 1 → (𝑅↑2) = (1↑2))
3231oveq1d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 1 → ((𝑅↑2) − 1) = ((1↑2) − 1))
3332oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((1↑2) − 1) / 8))
34 2lgsoddprmlem3a 27455 . . . . . . . . 9 (((1↑2) − 1) / 8) = 0
3533, 34eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 0)
3630, 35breqtrrid 5180 . . . . . . 7 (𝑅 = 1 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
37 2z 12651 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
38 3z 12652 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
39 dvdsmul1 16316 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 3))
4037, 38, 39mp2an 692 . . . . . . . 8 2 ∥ (2 · 3)
41 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 = 7 → (𝑅↑2) = (7↑2))
4241oveq1d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑅 = 7 → ((𝑅↑2) − 1) = ((7↑2) − 1))
4342oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((7↑2) − 1) / 8))
44 2lgsoddprmlem3d 27458 . . . . . . . . 9 (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)
4543, 44eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (2 · 3))
4640, 45breqtrrid 5180 . . . . . . 7 (𝑅 = 7 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
4736, 46jaoi 857 . . . . . 6 ((𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7) → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
4829, 47syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ {1, 7} → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
4928, 48impbid1 225 . . . 4 (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))
503, 49biimtrdi 253 . . 3 (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
511, 50syl5com 31 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
52513impia 1117 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cun 3948  {cpr 4627   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161  cmin 11493   / cdiv 11921  2c2 12322  3c3 12323  5c5 12325  7c7 12327  8c8 12328  cz 12615   mod cmo 13910  cexp 14103  cdvds 16291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-dvds 16292
This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem4  27460
  Copyright terms: Public domain W3C validator