Theorem 2lgsoddprmlem3 27798

Description: Lemma 3 for 2lgsoddprm 27800. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsdir2lem3 27711	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
2		eleq1 2852	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
3	2	eqcoms 2771	. . . 4 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ 𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
4		elun 4155	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) ↔ (𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}))
5		elpri 4608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ {3, 5} → (𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5))
6		oveq1 7458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 = 3 → (𝑅↑2) = (3↑2))
7	6	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 = 3 → ((𝑅↑2) − 1) = ((3↑2) − 1))
8	7	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((3↑2) − 1) / 8))
9		2lgsoddprmlem3b 27795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((3↑2) − 1) / 8) = 1
10	8, 9	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 3 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 1)
11	10	breq2d 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 1))
12		n2dvds1 16582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
13	12	pm2.21i 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 1 → 𝑅 ∈ {1, 7})
14	11, 13	biimtrdi 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 3 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
15		oveq1 7458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 = 5 → (𝑅↑2) = (5↑2))
16	15	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 = 5 → ((𝑅↑2) − 1) = ((5↑2) − 1))
17	16	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = 5 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((5↑2) − 1) / 8))
18	17	breq2d 5120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8)))
19		2lgsoddprmlem3c 27796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((5↑2) − 1) / 8) = 3
20	19	breq2i 5116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∥ (((5↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3)
21	18, 20	bitrdi 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ 3))
22		n2dvds3 16585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
23	22	pm2.21i 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∥ 3 → 𝑅 ∈ {1, 7})
24	21, 23	biimtrdi 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 5 → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
25	14, 24	jaoi 871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 = 3 ∨ 𝑅 = 5) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
26	5, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ {3, 5} → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
27	26	jao1i 872	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ {1, 7} ∨ 𝑅 ∈ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
28	4, 27	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) → 𝑅 ∈ {1, 7}))
29		elpri 4608	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ {1, 7} → (𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7))
30		z0even 16581	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ 0
31		oveq1 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 1 → (𝑅↑2) = (1↑2))
32	31	oveq1d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 1 → ((𝑅↑2) − 1) = ((1↑2) − 1))
33	32	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((1↑2) − 1) / 8))
34		2lgsoddprmlem3a 27794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1↑2) − 1) / 8) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 1 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = 0)
36	30, 35	breqtrrid 5149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = 1 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
37		2z 12768	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
38		3z 12769	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
39		dvdsmul1 16491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 3))
40	37, 38, 39	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∥ (2 · 3)
41		oveq1 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = 7 → (𝑅↑2) = (7↑2))
42	41	oveq1d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 7 → ((𝑅↑2) − 1) = ((7↑2) − 1))
43	42	oveq1d 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (((7↑2) − 1) / 8))
44		2lgsoddprmlem3d 27797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)
45	43, 44	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 7 → (((𝑅↑2) − 1) / 8) = (2 · 3))
46	40, 45	breqtrrid 5149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = 7 → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
47	36, 46	jaoi 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 = 1 ∨ 𝑅 = 7) → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
48	29, 47	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ {1, 7} → 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))
49	28, 48	impbid1 228	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))
50	3, 49	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ((𝑁 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
51	1, 50	syl5com 32	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7})))
52	51	3impia 1135	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 𝑅 ∈ {1, 7}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152  {cpr 4590   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   · cmul 11244   − cmin 11580   / cdiv 12013  2c2 12437  3c3 12438  5c5 12440  7c7 12442  8c8 12443  ℤcz 12733   mod cmo 14049  ↑cexp 14244   ∥ cdvds 16466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-dvds 16467

This theorem is used by:  2lgsoddprmlem4  27799