Theorem hashge1 14344

Description: The cardinality of a nonempty set is greater than or equal to one. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashge1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
3		hashnncl 14321	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4	3	biimpar 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
5	1, 2, 4	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
6	5	nnge1d 12255	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 1 ≤ (♯‘𝐴))
7		1xr 11268	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8		pnfge 13105	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1 ≤ +∞
10		hashinf 14290	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
11	10	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
12	9, 11	breqtrrid 5184	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1 ≤ (♯‘𝐴))
13	6, 12	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∅c0 4320   class class class wbr 5146  ‘cfv 6539  Fincfn 8934  1c1 11106  +∞cpnf 11240  ℝ^*cxr 11242   ≤ cle 11244  ℕcn 12207  ♯chash 14285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-fz 13480  df-hash 14286

This theorem is referenced by:  1elfz0hash  14345  hashnn0n0nn  14346  wlk1walk  28875  wlkiswwlks2  29108  friendship  29631  hasheuni  33020  fourierdlem52  44808