MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashge1 13746
Description: The cardinality of a nonempty set is greater than or equal to one. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashge1 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashge1
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2 simplr 768 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
3 hashnncl 13723 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
43biimpar 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
51, 2, 4syl2anc 587 . . 3 (((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
65nnge1d 11673 . 2 (((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 1 ≤ (♯‘𝐴))
7 1xr 10689 . . . 4 1 ∈ ℝ*
8 pnfge 12513 . . . 4 (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
97, 8ax-mp 5 . . 3 1 ≤ +∞
10 hashinf 13691 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
1110adantlr 714 . . 3 (((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
129, 11breqtrrid 5068 . 2 (((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1 ≤ (♯‘𝐴))
136, 12pm2.61dan 812 1 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  c0 4243   class class class wbr 5030  cfv 6324  Fincfn 8492  1c1 10527  +∞cpnf 10661  *cxr 10663  cle 10665  cn 11625  chash 13686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687
This theorem is referenced by:  1elfz0hash  13747  hashnn0n0nn  13748  wlk1walk  27428  wlkiswwlks2  27661  friendship  28184  hasheuni  31454  fourierdlem52  42795
  Copyright terms: Public domain W3C validator