Theorem hashge1 13598

Description: The cardinality of a nonempty set is greater than or equal to one. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashge1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
2		simplr 765	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
3		hashnncl 13577	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4	3	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
6	5	nnge1d 11533	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 1 ≤ (♯‘𝐴))
7		1xr 10547	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
8		pnfge 12375	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℝ* → 1 ≤ +∞)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 1 ≤ +∞
10		hashinf 13545	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
11	10	adantlr 711	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
12	9, 11	breqtrrid 5000	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1 ≤ (♯‘𝐴))
13	6, 12	pm2.61dan 809	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1 ≤ (♯‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∅c0 4211   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  Fincfn 8357  1c1 10384  +∞cpnf 10518  ℝ^*cxr 10520   ≤ cle 10522  ℕcn 11486  ♯chash 13540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-hash 13541

This theorem is referenced by:  1elfz0hash  13599  hashnn0n0nn  13600  wlk1walk  27103  wlkiswwlks2  27340  friendship  27870  hasheuni  30961  fourierdlem52  41985