MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmolb2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmolb2d 24655
Description: Any upper bound on the values of a linear operator at nonzero vectors translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmofval.3 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmofval.4 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
nmolb2d.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
nmolb2d.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmolb2d.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
nmolb2d.5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
nmolb2d.6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)))
Assertion
Ref Expression
nmolb2d (πœ‘ β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hint:   0 (π‘₯)

Proof of Theorem nmolb2d
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6907 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜ 0 )))
2 fveq2 6902 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (πΏβ€˜π‘₯) = (πΏβ€˜ 0 ))
32oveq2d 7442 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) = (𝐴 Β· (πΏβ€˜ 0 )))
41, 3breq12d 5165 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜ 0 )) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜ 0 ))))
5 nmolb2d.6 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)))
65anassrs 466 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)))
7 0le0 12351 . . . . . . 7 0 ≀ 0
8 nmolb2d.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
98recnd 11280 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
109mul01d 11451 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 0) = 0)
117, 10breqtrrid 5190 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴 Β· 0))
12 nmolb2d.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13 nmolb2d.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘†)
14 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
1513, 14ghmid 19183 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘‡))
1612, 15syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘‡))
1716fveq2d 6906 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜ 0 )) = (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)))
18 nmolb2d.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
19 nmofval.4 . . . . . . . . 9 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
2019, 14nm0 24558 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
2217, 21eqtrd 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜ 0 )) = 0)
23 nmolb2d.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
24 nmofval.3 . . . . . . . . 9 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
2524, 13nm0 24558 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ (πΏβ€˜ 0 ) = 0)
2623, 25syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜ 0 ) = 0)
2726oveq2d 7442 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜ 0 )) = (𝐴 Β· 0))
2811, 22, 273brtr4d 5184 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜ 0 )) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜ 0 )))
2928adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜ 0 )) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜ 0 )))
304, 6, 29pm2.61ne 3024 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)))
3130ralrimiva 3143 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)))
32 nmolb2d.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
33 nmofval.1 . . . 4 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
34 nmofval.2 . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
3533, 34, 24, 19nmolb 24654 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴))
3623, 18, 12, 8, 32, 35syl311anc 1381 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴))
3731, 36mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11145  0cc0 11146   Β· cmul 11151   ≀ cle 11287  Basecbs 17187  0gc0g 17428   GrpHom cghm 19174  normcnm 24505  NrmGrpcngp 24506   normOp cnmo 24642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13370  df-0g 17430  df-topgen 17432  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-ghm 19175  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-xms 24246  df-ms 24247  df-nm 24511  df-ngp 24512  df-nmo 24645
This theorem is referenced by:  nmo0  24672  nmoco  24674  nmotri  24676  nmoid  24679  nmoleub2lem  25061
  Copyright terms: Public domain W3C validator