Theorem nmolb2d 25043

Description: Any upper bound on the values of a linear operator at nonzero vectors translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmofval.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmofval.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmolb2d.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
nmolb2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmolb2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nmolb2d.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmolb2d.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
nmolb2d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem nmolb2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘ 0 )))
2		fveq2 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘ 0 ))
3	2	oveq2d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
4	1, 3	breq12d 5115	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 ))))
5		nmolb2d.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
6	5	anassrs 473	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
7		0le0 12448	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
8		nmolb2d.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	mul01d 11513	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
11	7, 10	breqtrrid 5142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 0))
12		nmolb2d.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13		nmolb2d.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
14		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
15	13, 14	ghmid 19442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑇))
16	12, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑇))
17	16	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
18		nmolb2d.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
19		nmofval.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
20	19, 14	nm0 24954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
21	18, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
22	17, 21	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) = 0)
23		nmolb2d.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
24		nmofval.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
25	24, 13	nm0 24954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘ 0 ) = 0)
26	23, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘ 0 ) = 0)
27	26	oveq2d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐿‘ 0 )) = (𝐴 · 0))
28	11, 22, 27	3brtr4d 5136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
29	28	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
30	4, 6, 29	pm2.61ne 3040	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
31	30	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
32		nmolb2d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
33		nmofval.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
34		nmofval.2	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
35	33, 34, 24, 19	nmolb 25042	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
36	23, 18, 12, 8, 32, 35	syl311anc 1411	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
37	31, 36	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204   · cmul 11209   ≤ cle 11348  Basecbs 17393  0_gc0g 17616   GrpHom cghm 19433  normcnm 24901  NrmGrpcngp 24902   normOp cnmo 25030

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ico 13486  df-0g 17618  df-topgen 17620  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-ghm 19434  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-xms 24645  df-ms 24646  df-nm 24907  df-ngp 24908  df-nmo 25033

This theorem is used by:  nmo0  25060  nmoco  25062  nmotri  25064  nmoid  25067  nmoleub2lem  25441