Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmolb2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmolb2d 23420
 Description: Any upper bound on the values of a linear operator at nonzero vectors translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmofval.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmofval.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmolb2d.z 0 = (0g𝑆)
nmolb2d.1 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.2 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmolb2d.4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
nmolb2d.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmolb2d.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
Assertion
Ref Expression
nmolb2d (𝜑 → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem nmolb2d
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6663 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹0 )))
2 fveq2 6658 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐿𝑥) = (𝐿0 ))
32oveq2d 7166 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴 · (𝐿𝑥)) = (𝐴 · (𝐿0 )))
41, 3breq12d 5045 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿0 ))))
5 nmolb2d.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
65anassrs 471 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
7 0le0 11775 . . . . . . 7 0 ≤ 0
8 nmolb2d.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98recnd 10707 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
109mul01d 10877 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
117, 10breqtrrid 5070 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 0))
12 nmolb2d.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13 nmolb2d.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
14 eqid 2758 . . . . . . . . . 10 (0g𝑇) = (0g𝑇)
1513, 14ghmid 18431 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹0 ) = (0g𝑇))
1612, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹0 ) = (0g𝑇))
1716fveq2d 6662 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹0 )) = (𝑀‘(0g𝑇)))
18 nmolb2d.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
19 nmofval.4 . . . . . . . . 9 𝑀 = (norm‘𝑇)
2019, 14nm0 23331 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
2217, 21eqtrd 2793 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹0 )) = 0)
23 nmolb2d.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
24 nmofval.3 . . . . . . . . 9 𝐿 = (norm‘𝑆)
2524, 13nm0 23331 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿0 ) = 0)
2623, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿0 ) = 0)
2726oveq2d 7166 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · (𝐿0 )) = (𝐴 · 0))
2811, 22, 273brtr4d 5064 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿0 )))
2928adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿0 )))
304, 6, 29pm2.61ne 3036 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
3130ralrimiva 3113 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
32 nmolb2d.5 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
33 nmofval.1 . . . 4 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
34 nmofval.2 . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑆)
3533, 34, 24, 19nmolb 23419 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
3623, 18, 12, 8, 32, 35syl311anc 1381 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
3731, 36mpd 15 1 (𝜑 → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℝcr 10574  0cc0 10575   · cmul 10580   ≤ cle 10714  Basecbs 16541  0gc0g 16771   GrpHom cghm 18422  normcnm 23278  NrmGrpcngp 23279   normOp cnmo 23407 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ico 12785  df-0g 16773  df-topgen 16775  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-ghm 18423  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-xms 23022  df-ms 23023  df-nm 23284  df-ngp 23285  df-nmo 23410 This theorem is referenced by:  nmo0  23437  nmoco  23439  nmotri  23441  nmoid  23444  nmoleub2lem  23815
 Copyright terms: Public domain W3C validator