Theorem nmolb2d 24906

Description: Any upper bound on the values of a linear operator at nonzero vectors translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmofval.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmofval.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmolb2d.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
nmolb2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmolb2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nmolb2d.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmolb2d.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
nmolb2d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem nmolb2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘ 0 )))
2		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘ 0 ))
3	2	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
4	1, 3	breq12d 5124	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 ))))
5		nmolb2d.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
6	5	anassrs 473	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
7		0le0 12353	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
8		nmolb2d.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	mul01d 11420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
11	7, 10	breqtrrid 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 0))
12		nmolb2d.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13		nmolb2d.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
14		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
15	13, 14	ghmid 19316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑇))
16	12, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑇))
17	16	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
18		nmolb2d.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
19		nmofval.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
20	19, 14	nm0 24817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
21	18, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
22	17, 21	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) = 0)
23		nmolb2d.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
24		nmofval.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
25	24, 13	nm0 24817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘ 0 ) = 0)
26	23, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘ 0 ) = 0)
27	26	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐿‘ 0 )) = (𝐴 · 0))
28	11, 22, 27	3brtr4d 5145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
29	28	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
30	4, 6, 29	pm2.61ne 3045	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
31	30	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
32		nmolb2d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
33		nmofval.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
34		nmofval.2	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
35	33, 34, 24, 19	nmolb 24905	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
36	23, 18, 12, 8, 32, 35	syl311anc 1411	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
37	31, 36	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111   · cmul 11116   ≤ cle 11255  Basecbs 17287  0_gc0g 17510   GrpHom cghm 19307  normcnm 24764  NrmGrpcngp 24765   normOp cnmo 24893

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ico 13390  df-0g 17512  df-topgen 17514  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-ghm 19308  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-xms 24508  df-ms 24509  df-nm 24770  df-ngp 24771  df-nmo 24896

This theorem is used by:  nmo0  24923  nmoco  24925  nmotri  24927  nmoid  24930  nmoleub2lem  25304