MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmolb2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmolb2d 24098
Description: Any upper bound on the values of a linear operator at nonzero vectors translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
nmofval.3 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
nmofval.4 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
nmolb2d.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
nmolb2d.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmolb2d.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
nmolb2d.5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
nmolb2d.6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)))
Assertion
Ref Expression
nmolb2d (πœ‘ β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hint:   0 (π‘₯)

Proof of Theorem nmolb2d
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6848 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘€β€˜(πΉβ€˜ 0 )))
2 fveq2 6843 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (πΏβ€˜π‘₯) = (πΏβ€˜ 0 ))
32oveq2d 7374 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) = (𝐴 Β· (πΏβ€˜ 0 )))
41, 3breq12d 5119 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘€β€˜(πΉβ€˜ 0 )) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜ 0 ))))
5 nmolb2d.6 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 )) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)))
65anassrs 469 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)))
7 0le0 12259 . . . . . . 7 0 ≀ 0
8 nmolb2d.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
98recnd 11188 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
109mul01d 11359 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 0) = 0)
117, 10breqtrrid 5144 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐴 Β· 0))
12 nmolb2d.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13 nmolb2d.z . . . . . . . . . 10 0 = (0gβ€˜π‘†)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
1513, 14ghmid 19019 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘‡))
1612, 15syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘‡))
1716fveq2d 6847 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜ 0 )) = (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)))
18 nmolb2d.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ NrmGrp)
19 nmofval.4 . . . . . . . . 9 𝑀 = (normβ€˜π‘‡)
2019, 14nm0 24001 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ NrmGrp β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(0gβ€˜π‘‡)) = 0)
2217, 21eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜ 0 )) = 0)
23 nmolb2d.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ NrmGrp)
24 nmofval.3 . . . . . . . . 9 𝐿 = (normβ€˜π‘†)
2524, 13nm0 24001 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ NrmGrp β†’ (πΏβ€˜ 0 ) = 0)
2623, 25syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜ 0 ) = 0)
2726oveq2d 7374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (πΏβ€˜ 0 )) = (𝐴 Β· 0))
2811, 22, 273brtr4d 5138 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜ 0 )) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜ 0 )))
2928adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜ 0 )) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜ 0 )))
304, 6, 29pm2.61ne 3027 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)))
3130ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)))
32 nmolb2d.5 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
33 nmofval.1 . . . 4 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
34 nmofval.2 . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘†)
3533, 34, 24, 19nmolb 24097 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴))
3623, 18, 12, 8, 32, 35syl311anc 1385 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π‘€β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ (𝐴 Β· (πΏβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴))
3731, 36mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜πΉ) ≀ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195  Basecbs 17088  0gc0g 17326   GrpHom cghm 19010  normcnm 23948  NrmGrpcngp 23949   normOp cnmo 24085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ico 13276  df-0g 17328  df-topgen 17330  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-ghm 19011  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-xms 23689  df-ms 23690  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nmo 24088
This theorem is referenced by:  nmo0  24115  nmoco  24117  nmotri  24119  nmoid  24122  nmoleub2lem  24493
  Copyright terms: Public domain W3C validator