Theorem nmolb2d 24856

Description: Any upper bound on the values of a linear operator at nonzero vectors translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmofval.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmofval.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmolb2d.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
nmolb2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmolb2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nmolb2d.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmolb2d.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
nmolb2d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem nmolb2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘ 0 )))
2		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘ 0 ))
3	2	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
4	1, 3	breq12d 5123	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 ))))
5		nmolb2d.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
6	5	anassrs 472	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
7		0le0 12343	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
8		nmolb2d.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	mul01d 11410	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
11	7, 10	breqtrrid 5150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 0))
12		nmolb2d.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13		nmolb2d.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
14		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
15	13, 14	ghmid 19293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑇))
16	12, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑇))
17	16	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
18		nmolb2d.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
19		nmofval.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
20	19, 14	nm0 24767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
21	18, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
22	17, 21	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) = 0)
23		nmolb2d.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
24		nmofval.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
25	24, 13	nm0 24767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘ 0 ) = 0)
26	23, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘ 0 ) = 0)
27	26	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐿‘ 0 )) = (𝐴 · 0))
28	11, 22, 27	3brtr4d 5144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
29	28	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
30	4, 6, 29	pm2.61ne 3043	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
31	30	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
32		nmolb2d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
33		nmofval.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
34		nmofval.2	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
35	33, 34, 24, 19	nmolb 24855	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
36	23, 18, 12, 8, 32, 35	syl311anc 1411	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
37	31, 36	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101   · cmul 11106   ≤ cle 11245  Basecbs 17270  0_gc0g 17493   GrpHom cghm 19284  normcnm 24714  NrmGrpcngp 24715   normOp cnmo 24843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ico 13379  df-0g 17495  df-topgen 17497  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-ghm 19285  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-xms 24458  df-ms 24459  df-nm 24720  df-ngp 24721  df-nmo 24846

This theorem is referenced by:  nmo0  24873  nmoco  24875  nmotri  24877  nmoid  24880  nmoleub2lem  25254