Theorem nmolb2d 24683

Description: Any upper bound on the values of a linear operator at nonzero vectors translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmofval.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmofval.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmolb2d.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
nmolb2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmolb2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nmolb2d.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmolb2d.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
nmolb2d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem nmolb2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6845	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘ 0 )))
2		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘ 0 ))
3	2	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
4	1, 3	breq12d 5098	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 ))))
5		nmolb2d.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
6	5	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
7		0le0 12282	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
8		nmolb2d.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	mul01d 11345	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
11	7, 10	breqtrrid 5123	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 0))
12		nmolb2d.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13		nmolb2d.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
14		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
15	13, 14	ghmid 19197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑇))
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑇))
17	16	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
18		nmolb2d.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
19		nmofval.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
20	19, 14	nm0 24594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
21	18, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
22	17, 21	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) = 0)
23		nmolb2d.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
24		nmofval.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
25	24, 13	nm0 24594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘ 0 ) = 0)
26	23, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘ 0 ) = 0)
27	26	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐿‘ 0 )) = (𝐴 · 0))
28	11, 22, 27	3brtr4d 5117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
29	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
30	4, 6, 29	pm2.61ne 3017	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
31	30	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
32		nmolb2d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
33		nmofval.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
34		nmofval.2	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
35	33, 34, 24, 19	nmolb 24682	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
36	23, 18, 12, 8, 32, 35	syl311anc 1387	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
37	31, 36	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   ≤ cle 11180  Basecbs 17179  0_gc0g 17402   GrpHom cghm 19187  normcnm 24541  NrmGrpcngp 24542   normOp cnmo 24670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ico 13304  df-0g 17404  df-topgen 17406  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-ghm 19188  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-xms 24285  df-ms 24286  df-nm 24547  df-ngp 24548  df-nmo 24673

This theorem is referenced by:  nmo0  24700  nmoco  24702  nmotri  24704  nmoid  24707  nmoleub2lem  25081