Theorem nmolb2d 24590

Description: Any upper bound on the values of a linear operator at nonzero vectors translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmofval.1	⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmofval.3	⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmofval.4	⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmolb2d.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
nmolb2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmolb2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
nmolb2d.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmolb2d.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
nmolb2d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁

Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem nmolb2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2fveq3 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘ 0 )))
2		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐿‘𝑥) = (𝐿‘ 0 ))
3	2	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
4	1, 3	breq12d 5154	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 ))))
5		nmolb2d.6	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 )) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
6	5	anassrs 467	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
7		0le0 12317	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
8		nmolb2d.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	mul01d 11417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
11	7, 10	breqtrrid 5179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 0))
12		nmolb2d.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13		nmolb2d.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
14		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
15	13, 14	ghmid 19147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑇))
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = (0g‘𝑇))
17	16	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) = (𝑀‘(0g‘𝑇)))
18		nmolb2d.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ NrmGrp)
19		nmofval.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (norm‘𝑇)
20	19, 14	nm0 24493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
21	18, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(0g‘𝑇)) = 0)
22	17, 21	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) = 0)
23		nmolb2d.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ NrmGrp)
24		nmofval.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (norm‘𝑆)
25	24, 13	nm0 24493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘ 0 ) = 0)
26	23, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘ 0 ) = 0)
27	26	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐿‘ 0 )) = (𝐴 · 0))
28	11, 22, 27	3brtr4d 5173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
29	28	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘ 0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿‘ 0 )))
30	4, 6, 29	pm2.61ne 3021	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
31	30	ralrimiva 3140	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)))
32		nmolb2d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
33		nmofval.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
34		nmofval.2	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑆)
35	33, 34, 24, 19	nmolb 24589	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
36	23, 18, 12, 8, 32, 35	syl311anc 1381	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑉 (𝑀‘(𝐹‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥)) → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴))
37	31, 36	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐹) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117   ≤ cle 11253  Basecbs 17153  0_gc0g 17394   GrpHom cghm 19138  normcnm 24440  NrmGrpcngp 24441   normOp cnmo 24577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-0g 17396  df-topgen 17398  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-ghm 19139  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-xms 24181  df-ms 24182  df-nm 24446  df-ngp 24447  df-nmo 24580

This theorem is referenced by:  nmo0  24607  nmoco  24609  nmotri  24611  nmoid  24614  nmoleub2lem  24996