MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmolb2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmolb2d 24739
Description: Any upper bound on the values of a linear operator at nonzero vectors translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmofval.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmofval.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmolb2d.z 0 = (0g𝑆)
nmolb2d.1 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.2 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmolb2d.4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
nmolb2d.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmolb2d.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
Assertion
Ref Expression
nmolb2d (𝜑 → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem nmolb2d
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6911 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹0 )))
2 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐿𝑥) = (𝐿0 ))
32oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴 · (𝐿𝑥)) = (𝐴 · (𝐿0 )))
41, 3breq12d 5156 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿0 ))))
5 nmolb2d.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
65anassrs 467 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
7 0le0 12367 . . . . . . 7 0 ≤ 0
8 nmolb2d.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
109mul01d 11460 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
117, 10breqtrrid 5181 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 0))
12 nmolb2d.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13 nmolb2d.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
14 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0g𝑇) = (0g𝑇)
1513, 14ghmid 19240 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹0 ) = (0g𝑇))
1612, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹0 ) = (0g𝑇))
1716fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹0 )) = (𝑀‘(0g𝑇)))
18 nmolb2d.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
19 nmofval.4 . . . . . . . . 9 𝑀 = (norm‘𝑇)
2019, 14nm0 24642 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
2217, 21eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹0 )) = 0)
23 nmolb2d.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
24 nmofval.3 . . . . . . . . 9 𝐿 = (norm‘𝑆)
2524, 13nm0 24642 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿0 ) = 0)
2623, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿0 ) = 0)
2726oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · (𝐿0 )) = (𝐴 · 0))
2811, 22, 273brtr4d 5175 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿0 )))
2928adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿0 )))
304, 6, 29pm2.61ne 3027 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
3130ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
32 nmolb2d.5 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
33 nmofval.1 . . . 4 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
34 nmofval.2 . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑆)
3533, 34, 24, 19nmolb 24738 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
3623, 18, 12, 8, 32, 35syl311anc 1386 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
3731, 36mpd 15 1 (𝜑 → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160  cle 11296  Basecbs 17247  0gc0g 17484   GrpHom cghm 19230  normcnm 24589  NrmGrpcngp 24590   normOp cnmo 24726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-0g 17486  df-topgen 17488  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-ghm 19231  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-xms 24330  df-ms 24331  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nmo 24729
This theorem is referenced by:  nmo0  24756  nmoco  24758  nmotri  24760  nmoid  24763  nmoleub2lem  25147
  Copyright terms: Public domain W3C validator