MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmolb2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmolb2d 24648
Description: Any upper bound on the values of a linear operator at nonzero vectors translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmofval.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmofval.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmolb2d.z 0 = (0g𝑆)
nmolb2d.1 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.2 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmolb2d.4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
nmolb2d.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmolb2d.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
Assertion
Ref Expression
nmolb2d (𝜑 → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem nmolb2d
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6902 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹0 )))
2 fveq2 6897 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐿𝑥) = (𝐿0 ))
32oveq2d 7436 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴 · (𝐿𝑥)) = (𝐴 · (𝐿0 )))
41, 3breq12d 5161 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿0 ))))
5 nmolb2d.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
65anassrs 467 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
7 0le0 12344 . . . . . . 7 0 ≤ 0
8 nmolb2d.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98recnd 11273 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
109mul01d 11444 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
117, 10breqtrrid 5186 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 0))
12 nmolb2d.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13 nmolb2d.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
14 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (0g𝑇) = (0g𝑇)
1513, 14ghmid 19176 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹0 ) = (0g𝑇))
1612, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹0 ) = (0g𝑇))
1716fveq2d 6901 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹0 )) = (𝑀‘(0g𝑇)))
18 nmolb2d.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
19 nmofval.4 . . . . . . . . 9 𝑀 = (norm‘𝑇)
2019, 14nm0 24551 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
2118, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
2217, 21eqtrd 2768 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹0 )) = 0)
23 nmolb2d.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
24 nmofval.3 . . . . . . . . 9 𝐿 = (norm‘𝑆)
2524, 13nm0 24551 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿0 ) = 0)
2623, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿0 ) = 0)
2726oveq2d 7436 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · (𝐿0 )) = (𝐴 · 0))
2811, 22, 273brtr4d 5180 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿0 )))
2928adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿0 )))
304, 6, 29pm2.61ne 3024 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
3130ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
32 nmolb2d.5 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
33 nmofval.1 . . . 4 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
34 nmofval.2 . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑆)
3533, 34, 24, 19nmolb 24647 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
3623, 18, 12, 8, 32, 35syl311anc 1382 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
3731, 36mpd 15 1 (𝜑 → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wral 3058   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  cr 11138  0cc0 11139   · cmul 11144  cle 11280  Basecbs 17180  0gc0g 17421   GrpHom cghm 19167  normcnm 24498  NrmGrpcngp 24499   normOp cnmo 24635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ico 13363  df-0g 17423  df-topgen 17425  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-ghm 19168  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-xms 24239  df-ms 24240  df-nm 24504  df-ngp 24505  df-nmo 24638
This theorem is referenced by:  nmo0  24665  nmoco  24667  nmotri  24669  nmoid  24672  nmoleub2lem  25054
  Copyright terms: Public domain W3C validator