HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjssge0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjssge0ii 30862
Description: Theorem 4.5(iv)->(v) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 13-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjidm.1 𝐻C
pjidm.2 𝐴 ∈ ℋ
pjsslem.1 𝐺C
Assertion
Ref Expression
pjssge0ii ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) → 0 ≤ ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴))

Proof of Theorem pjssge0ii
StepHypRef Expression
1 pjsslem.1 . . . . . 6 𝐺C
2 pjidm.1 . . . . . . 7 𝐻C
32choccli 30487 . . . . . 6 (⊥‘𝐻) ∈ C
41, 3chincli 30640 . . . . 5 (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C
5 pjidm.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
64, 5pjhclii 30602 . . . 4 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) ∈ ℋ
76normcli 30311 . . 3 (norm‘((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)) ∈ ℝ
87sqge0i 14136 . 2 0 ≤ ((norm‘((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴))↑2)
9 oveq1 7401 . . 3 ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) → ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) = (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) ·ih 𝐴))
104, 5pjinormii 30856 . . 3 (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) ·ih 𝐴) = ((norm‘((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴))↑2)
119, 10eqtrdi 2788 . 2 ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) → ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((norm‘((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴))↑2))
128, 11breqtrrid 5180 1 ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) → 0 ≤ ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3944   class class class wbr 5142  cfv 6533  (class class class)co 7394  0cc0 11094  cle 11233  2c2 12251  cexp 14011  chba 30099   ·ih csp 30102  normcno 30103   cmv 30105   C cch 30109  cort 30110  projcpjh 30117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-inf2 9620  ax-cc 10414  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172  ax-addf 11173  ax-mulf 11174  ax-hilex 30179  ax-hfvadd 30180  ax-hvcom 30181  ax-hvass 30182  ax-hv0cl 30183  ax-hvaddid 30184  ax-hfvmul 30185  ax-hvmulid 30186  ax-hvmulass 30187  ax-hvdistr1 30188  ax-hvdistr2 30189  ax-hvmul0 30190  ax-hfi 30259  ax-his1 30262  ax-his2 30263  ax-his3 30264  ax-his4 30265  ax-hcompl 30382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8131  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-2o 8451  df-oadd 8454  df-omul 8455  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-ixp 8877  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-fsupp 9347  df-fi 9390  df-sup 9421  df-inf 9422  df-oi 9489  df-card 9918  df-acn 9921  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-q 12917  df-rp 12959  df-xneg 13076  df-xadd 13077  df-xmul 13078  df-ioo 13312  df-ico 13314  df-icc 13315  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-fl 13741  df-seq 13951  df-exp 14012  df-hash 14275  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-clim 15416  df-rlim 15417  df-sum 15617  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17352  df-topn 17353  df-0g 17371  df-gsum 17372  df-topgen 17373  df-pt 17374  df-prds 17377  df-xrs 17432  df-qtop 17437  df-imas 17438  df-xps 17440  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-submnd 18650  df-mulg 18925  df-cntz 19149  df-cmn 19616  df-psmet 20872  df-xmet 20873  df-met 20874  df-bl 20875  df-mopn 20876  df-fbas 20877  df-fg 20878  df-cnfld 20881  df-top 22327  df-topon 22344  df-topsp 22366  df-bases 22380  df-cld 22454  df-ntr 22455  df-cls 22456  df-nei 22533  df-cn 22662  df-cnp 22663  df-lm 22664  df-haus 22750  df-tx 22997  df-hmeo 23190  df-fil 23281  df-fm 23373  df-flim 23374  df-flf 23375  df-xms 23757  df-ms 23758  df-tms 23759  df-cfil 24703  df-cau 24704  df-cmet 24705  df-grpo 29673  df-gid 29674  df-ginv 29675  df-gdiv 29676  df-ablo 29725  df-vc 29739  df-nv 29772  df-va 29775  df-ba 29776  df-sm 29777  df-0v 29778  df-vs 29779  df-nmcv 29780  df-ims 29781  df-dip 29881  df-ssp 29902  df-ph 29993  df-cbn 30043  df-hnorm 30148  df-hba 30149  df-hvsub 30151  df-hlim 30152  df-hcau 30153  df-sh 30387  df-ch 30401  df-oc 30432  df-ch0 30433  df-shs 30488  df-pjh 30575
This theorem is referenced by:  pjssge0i  31346
  Copyright terms: Public domain W3C validator