Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idepi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idepi 45825
Description: An identity arrow, or an identity morphism, is an epimorphism. (Contributed by Zhi Wang, 21-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
idmon.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
idmon.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
idmon.i 1 = (Id‘𝐶)
idmon.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
idmon.x (𝜑𝑋𝐵)
idepi.e 𝐸 = (Epi‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
idepi (𝜑 → ( 1𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋))

Proof of Theorem idepi
Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idmon.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 idmon.h . . 3 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3 idmon.i . . 3 1 = (Id‘𝐶)
4 idmon.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
5 idmon.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
61, 2, 3, 4, 5catidcl 17068 . 2 (𝜑 → ( 1𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))
74adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ Cat)
85adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑋𝐵)
9 eqid 2739 . . . . . 6 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
10 simpr1 1195 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑧𝐵)
11 simpr2 1196 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧))
121, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11catrid 17070 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1𝑋)) = 𝑔)
13 simpr3 1197 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ∈ (𝑋𝐻𝑧))
141, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 13catrid 17070 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ((⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1𝑋)) = )
1512, 14eqeq12d 2755 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1𝑋)) = ((⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1𝑋)) ↔ 𝑔 = ))
1615biimpd 232 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1𝑋)) = ((⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1𝑋)) → 𝑔 = ))
1716ralrimivvva 3105 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧)∀ ∈ (𝑋𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1𝑋)) = ((⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1𝑋)) → 𝑔 = ))
18 idepi.e . . 3 𝐸 = (Epi‘𝐶)
191, 2, 9, 18, 4, 5, 5isepi2 17128 . 2 (𝜑 → (( 1𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋) ↔ (( 1𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋) ∧ ∀𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧)∀ ∈ (𝑋𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1𝑋)) = ((⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1𝑋)) → 𝑔 = ))))
206, 17, 19mpbir2and 713 1 (𝜑 → ( 1𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  cop 4532  cfv 6349  (class class class)co 7182  Basecbs 16598  Hom chom 16691  compcco 16692  Catccat 17050  Idccid 17051  Epicepi 17116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-tpos 7933  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-z 12075  df-dec 12192  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-hom 16704  df-cco 16705  df-cat 17054  df-cid 17055  df-oppc 17098  df-mon 17117  df-epi 17118
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator