Theorem idepi 47726

Description: An identity arrow, or an identity morphism, is an epimorphism. (Contributed by Zhi Wang, 21-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idmon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
idmon.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
idmon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
idepi	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋))

Proof of Theorem idepi

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idmon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		idmon.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		idmon.i	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
4		idmon.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		idmon.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	catidcl 17632	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))
7	4	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ Cat)
8	5	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
10		simpr1 1192	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧))
12	1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11	catrid 17634	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = 𝑔)
13		simpr3 1194	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))
14	1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 13	catrid 17634	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = ℎ)
15	12, 14	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) ↔ 𝑔 = ℎ))
16	15	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) → 𝑔 = ℎ))
17	16	ralrimivvva 3201	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) → 𝑔 = ℎ))
18		idepi.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
19	1, 2, 9, 18, 4, 5, 5	isepi2 17694	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋) ↔ (( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) → 𝑔 = ℎ))))
20	6, 17, 19	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ⟨cop 4635  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  Basecbs 17150  Hom chom 17214  compcco 17215  Catccat 17614  Idccid 17615  Epicepi 17682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-hom 17227  df-cco 17228  df-cat 17618  df-cid 17619  df-oppc 17662  df-mon 17683  df-epi 17684

This theorem is referenced by: (None)