Theorem idepi 48963

Description: An identity arrow, or an identity morphism, is an epimorphism. (Contributed by Zhi Wang, 21-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idmon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
idmon.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
idmon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
idepi	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋))

Proof of Theorem idepi

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idmon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		idmon.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		idmon.i	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
4		idmon.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		idmon.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	catidcl 17699	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))
7	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ Cat)
8	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
10		simpr1 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧))
12	1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11	catrid 17701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = 𝑔)
13		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))
14	1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 13	catrid 17701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = ℎ)
15	12, 14	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) ↔ 𝑔 = ℎ))
16	15	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) → 𝑔 = ℎ))
17	16	ralrimivvva 3191	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) → 𝑔 = ℎ))
18		idepi.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
19	1, 2, 9, 18, 4, 5, 5	isepi2 17759	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋) ↔ (( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) → 𝑔 = ℎ))))
20	6, 17, 19	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ⟨cop 4612  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  Hom chom 17287  compcco 17288  Catccat 17681  Idccid 17682  Epicepi 17747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-hom 17300  df-cco 17301  df-cat 17685  df-cid 17686  df-oppc 17729  df-mon 17748  df-epi 17749

This theorem is referenced by: (None)