Theorem idepi 46298

Description: An identity arrow, or an identity morphism, is an epimorphism. (Contributed by Zhi Wang, 21-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idmon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
idmon.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
idmon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
idepi	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋))

Proof of Theorem idepi

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idmon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		idmon.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		idmon.i	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
4		idmon.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		idmon.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	catidcl 17391	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))
7	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ Cat)
8	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
10		simpr1 1193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1194	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧))
12	1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11	catrid 17393	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = 𝑔)
13		simpr3 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))
14	1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 13	catrid 17393	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = ℎ)
15	12, 14	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) ↔ 𝑔 = ℎ))
16	15	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) → 𝑔 = ℎ))
17	16	ralrimivvva 3127	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) → 𝑔 = ℎ))
18		idepi.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
19	1, 2, 9, 18, 4, 5, 5	isepi2 17453	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋) ↔ (( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) → 𝑔 = ℎ))))
20	6, 17, 19	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ⟨cop 4567  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Hom chom 16973  compcco 16974  Catccat 17373  Idccid 17374  Epicepi 17441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-hom 16986  df-cco 16987  df-cat 17377  df-cid 17378  df-oppc 17421  df-mon 17442  df-epi 17443

This theorem is referenced by: (None)