Theorem idepi 49014

Description: An identity arrow, or an identity morphism, is an epimorphism. (Contributed by Zhi Wang, 21-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idmon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
idmon.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
idmon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
idepi	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋))

Proof of Theorem idepi

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idmon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		idmon.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		idmon.i	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
4		idmon.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		idmon.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	catidcl 17650	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋))
7	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ Cat)
8	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
10		simpr1 1195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧))
12	1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11	catrid 17652	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = 𝑔)
13		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))
14	1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 13	catrid 17652	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = ℎ)
15	12, 14	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) ↔ 𝑔 = ℎ))
16	15	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧))) → ((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) → 𝑔 = ℎ))
17	16	ralrimivvva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) → 𝑔 = ℎ))
18		idepi.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
19	1, 2, 9, 18, 4, 5, 5	isepi2 17710	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋) ↔ (( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐻𝑋) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑔 ∈ (𝑋𝐻𝑧)∀ℎ ∈ (𝑋𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) = (ℎ(⟨𝑋, 𝑋⟩(comp‘𝐶)𝑧)( 1 ‘𝑋)) → 𝑔 = ℎ))))
20	6, 17, 19	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋𝐸𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ⟨cop 4598  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  Hom chom 17238  compcco 17239  Catccat 17632  Idccid 17633  Epicepi 17698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-hom 17251  df-cco 17252  df-cat 17636  df-cid 17637  df-oppc 17680  df-mon 17699  df-epi 17700

This theorem is referenced by: (None)