Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme25b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme25b 38784
Description: Transform cdleme24 38782. TODO get rid of $d's on 𝑈, 𝑁 (Contributed by NM, 1-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme24.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme24.l = (le‘𝐾)
cdleme24.j = (join‘𝐾)
cdleme24.m = (meet‘𝐾)
cdleme24.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme24.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme24.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme24.f 𝐹 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
cdleme24.n 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑠) 𝑊)))
Assertion
Ref Expression
cdleme25b ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → ∃𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) → 𝑢 = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑠,𝐴   𝐵,𝑠,𝑢   𝐻,𝑠   ,𝑠,𝑢   𝐾,𝑠   ,𝑠,𝑢   ,𝑠,𝑢   𝑃,𝑠,𝑢   𝑄,𝑠,𝑢   𝑅,𝑠,𝑢   𝑊,𝑠,𝑢   𝑢,𝑁   𝑈,𝑠,𝑢
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑢,𝑠)   𝐻(𝑢)   𝐾(𝑢)   𝑁(𝑠)

Proof of Theorem cdleme25b
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdleme24.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdleme24.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 cdleme24.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 cdleme24.m . . 3 = (meet‘𝐾)
5 cdleme24.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdleme24.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdleme24.u . . 3 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
8 cdleme24.f . . 3 𝐹 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
9 cdleme24.n . . 3 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑠) 𝑊)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdleme25a 38783 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → ∃𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑁𝐵))
11 eqid 2736 . . 3 ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
12 eqid 2736 . . 3 ((𝑃 𝑄) (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊))) = ((𝑃 𝑄) (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊)))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12cdleme24 38782 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → ∀𝑠𝐴𝑡𝐴 (((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄))) → 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊)))))
14 breq1 5106 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 𝑊𝑡 𝑊))
1514notbid 317 . . . . 5 (𝑠 = 𝑡 → (¬ 𝑠 𝑊 ↔ ¬ 𝑡 𝑊))
16 breq1 5106 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑡 (𝑃 𝑄)))
1716notbid 317 . . . . 5 (𝑠 = 𝑡 → (¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ↔ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)))
1815, 17anbi12d 631 . . . 4 (𝑠 = 𝑡 → ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ↔ (¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄))))
19 oveq1 7360 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 𝑈) = (𝑡 𝑈))
20 oveq2 7361 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑡 → (𝑃 𝑠) = (𝑃 𝑡))
2120oveq1d 7368 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 𝑠) 𝑊) = ((𝑃 𝑡) 𝑊))
2221oveq2d 7369 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑡 → (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)) = (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
2319, 22oveq12d 7371 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊))) = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))))
248, 23eqtrid 2788 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡𝐹 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))))
25 oveq2 7361 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → (𝑅 𝑠) = (𝑅 𝑡))
2625oveq1d 7368 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑅 𝑠) 𝑊) = ((𝑅 𝑡) 𝑊))
2724, 26oveq12d 7371 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → (𝐹 ((𝑅 𝑠) 𝑊)) = (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊)))
2827oveq2d 7369 . . . . 5 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑠) 𝑊))) = ((𝑃 𝑄) (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊))))
299, 28eqtrid 2788 . . . 4 (𝑠 = 𝑡𝑁 = ((𝑃 𝑄) (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊))))
3018, 29reusv3 5358 . . 3 (∃𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑁𝐵) → (∀𝑠𝐴𝑡𝐴 (((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄))) → 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊)))) ↔ ∃𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) → 𝑢 = 𝑁)))
3130biimpd 228 . 2 (∃𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑁𝐵) → (∀𝑠𝐴𝑡𝐴 (((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄))) → 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊)))) → ∃𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) → 𝑢 = 𝑁)))
3210, 13, 31sylc 65 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → ∃𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) → 𝑢 = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5103  cfv 6493  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  lecple 17132  joincjn 18192  meetcmee 18193  Atomscatm 37692  HLchlt 37779  LHypclh 38414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-proset 18176  df-poset 18194  df-plt 18211  df-lub 18227  df-glb 18228  df-join 18229  df-meet 18230  df-p0 18306  df-p1 18307  df-lat 18313  df-clat 18380  df-oposet 37605  df-ol 37607  df-oml 37608  df-covers 37695  df-ats 37696  df-atl 37727  df-cvlat 37751  df-hlat 37780  df-llines 37928  df-lplanes 37929  df-lvols 37930  df-lines 37931  df-psubsp 37933  df-pmap 37934  df-padd 38226  df-lhyp 38418
This theorem is referenced by:  cdleme25c  38785
  Copyright terms: Public domain W3C validator