Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme25b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme25b 39738
Description: Transform cdleme24 39736. TODO get rid of $d's on π‘ˆ, 𝑁 (Contributed by NM, 1-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme24.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme24.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme24.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme24.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme24.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme24.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme24.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme24.f 𝐹 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme24.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
Assertion
Ref Expression
cdleme25b ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑠,𝐴   𝐡,𝑠,𝑒   𝐻,𝑠   ∨ ,𝑠,𝑒   𝐾,𝑠   ≀ ,𝑠,𝑒   ∧ ,𝑠,𝑒   𝑃,𝑠,𝑒   𝑄,𝑠,𝑒   𝑅,𝑠,𝑒   π‘Š,𝑠,𝑒   𝑒,𝑁   π‘ˆ,𝑠,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑒,𝑠)   𝐻(𝑒)   𝐾(𝑒)   𝑁(𝑠)

Proof of Theorem cdleme25b
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdleme24.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdleme24.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cdleme24.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 cdleme24.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 cdleme24.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdleme24.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdleme24.u . . 3 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
8 cdleme24.f . . 3 𝐹 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
9 cdleme24.n . . 3 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdleme25a 39737 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐡))
11 eqid 2726 . . 3 ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
12 eqid 2726 . . 3 ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12cdleme24 39736 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))))
14 breq1 5144 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑠 ≀ π‘Š ↔ 𝑑 ≀ π‘Š))
1514notbid 318 . . . . 5 (𝑠 = 𝑑 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ↔ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š))
16 breq1 5144 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
1716notbid 318 . . . . 5 (𝑠 = 𝑑 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
1815, 17anbi12d 630 . . . 4 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))))
19 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑠 ∨ π‘ˆ) = (𝑑 ∨ π‘ˆ))
20 oveq2 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑃 ∨ 𝑠) = (𝑃 ∨ 𝑑))
2120oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))
2221oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)) = (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
2319, 22oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š))) = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))))
248, 23eqtrid 2778 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ 𝐹 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))))
25 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑅 ∨ 𝑠) = (𝑅 ∨ 𝑑))
2625oveq1d 7420 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑅 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š) = ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))
2724, 26oveq12d 7423 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)) = (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
2827oveq2d 7421 . . . . 5 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š))) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))))
299, 28eqtrid 2778 . . . 4 (𝑠 = 𝑑 β†’ 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))))
3018, 29reusv3 5396 . . 3 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁)))
3130biimpd 228 . 2 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁)))
3210, 13, 31sylc 65 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme25c  39739
  Copyright terms: Public domain W3C validator