Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme25b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme25b 38846
Description: Transform cdleme24 38844. TODO get rid of $d's on π‘ˆ, 𝑁 (Contributed by NM, 1-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme24.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme24.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme24.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme24.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme24.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme24.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme24.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme24.f 𝐹 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme24.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
Assertion
Ref Expression
cdleme25b ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑠,𝐴   𝐡,𝑠,𝑒   𝐻,𝑠   ∨ ,𝑠,𝑒   𝐾,𝑠   ≀ ,𝑠,𝑒   ∧ ,𝑠,𝑒   𝑃,𝑠,𝑒   𝑄,𝑠,𝑒   𝑅,𝑠,𝑒   π‘Š,𝑠,𝑒   𝑒,𝑁   π‘ˆ,𝑠,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑒,𝑠)   𝐻(𝑒)   𝐾(𝑒)   𝑁(𝑠)

Proof of Theorem cdleme25b
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdleme24.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdleme24.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cdleme24.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 cdleme24.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 cdleme24.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdleme24.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdleme24.u . . 3 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
8 cdleme24.f . . 3 𝐹 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
9 cdleme24.n . . 3 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdleme25a 38845 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐡))
11 eqid 2737 . . 3 ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
12 eqid 2737 . . 3 ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12cdleme24 38844 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))))
14 breq1 5113 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑠 ≀ π‘Š ↔ 𝑑 ≀ π‘Š))
1514notbid 318 . . . . 5 (𝑠 = 𝑑 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ↔ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š))
16 breq1 5113 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
1716notbid 318 . . . . 5 (𝑠 = 𝑑 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
1815, 17anbi12d 632 . . . 4 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))))
19 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑠 ∨ π‘ˆ) = (𝑑 ∨ π‘ˆ))
20 oveq2 7370 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑃 ∨ 𝑠) = (𝑃 ∨ 𝑑))
2120oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))
2221oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)) = (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
2319, 22oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š))) = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))))
248, 23eqtrid 2789 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ 𝐹 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))))
25 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑅 ∨ 𝑠) = (𝑅 ∨ 𝑑))
2625oveq1d 7377 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑅 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š) = ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))
2724, 26oveq12d 7380 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)) = (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
2827oveq2d 7378 . . . . 5 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š))) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))))
299, 28eqtrid 2789 . . . 4 (𝑠 = 𝑑 β†’ 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))))
3018, 29reusv3 5365 . . 3 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁)))
3130biimpd 228 . 2 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š))) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁)))
3210, 13, 31sylc 65 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  meetcmee 18208  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LHypclh 38476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480
This theorem is referenced by:  cdleme25c  38847
  Copyright terms: Public domain W3C validator