Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme25b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme25b 36883
Description: Transform cdleme24 36881. TODO get rid of $d's on 𝑈, 𝑁 (Contributed by NM, 1-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme24.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme24.l = (le‘𝐾)
cdleme24.j = (join‘𝐾)
cdleme24.m = (meet‘𝐾)
cdleme24.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme24.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme24.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme24.f 𝐹 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
cdleme24.n 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑠) 𝑊)))
Assertion
Ref Expression
cdleme25b ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → ∃𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) → 𝑢 = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑠,𝐴   𝐵,𝑠,𝑢   𝐻,𝑠   ,𝑠,𝑢   𝐾,𝑠   ,𝑠,𝑢   ,𝑠,𝑢   𝑃,𝑠,𝑢   𝑄,𝑠,𝑢   𝑅,𝑠,𝑢   𝑊,𝑠,𝑢   𝑢,𝑁   𝑈,𝑠,𝑢
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑢,𝑠)   𝐻(𝑢)   𝐾(𝑢)   𝑁(𝑠)

Proof of Theorem cdleme25b
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdleme24.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdleme24.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 cdleme24.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 cdleme24.m . . 3 = (meet‘𝐾)
5 cdleme24.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdleme24.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdleme24.u . . 3 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
8 cdleme24.f . . 3 𝐹 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
9 cdleme24.n . . 3 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑠) 𝑊)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdleme25a 36882 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → ∃𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑁𝐵))
11 eqid 2772 . . 3 ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
12 eqid 2772 . . 3 ((𝑃 𝑄) (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊))) = ((𝑃 𝑄) (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊)))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12cdleme24 36881 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → ∀𝑠𝐴𝑡𝐴 (((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄))) → 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊)))))
14 breq1 4926 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 𝑊𝑡 𝑊))
1514notbid 310 . . . . 5 (𝑠 = 𝑡 → (¬ 𝑠 𝑊 ↔ ¬ 𝑡 𝑊))
16 breq1 4926 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑡 (𝑃 𝑄)))
1716notbid 310 . . . . 5 (𝑠 = 𝑡 → (¬ 𝑠 (𝑃 𝑄) ↔ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)))
1815, 17anbi12d 621 . . . 4 (𝑠 = 𝑡 → ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ↔ (¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄))))
19 oveq1 6977 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 𝑈) = (𝑡 𝑈))
20 oveq2 6978 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑡 → (𝑃 𝑠) = (𝑃 𝑡))
2120oveq1d 6985 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 𝑠) 𝑊) = ((𝑃 𝑡) 𝑊))
2221oveq2d 6986 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑡 → (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)) = (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
2319, 22oveq12d 6988 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊))) = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))))
248, 23syl5eq 2820 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡𝐹 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))))
25 oveq2 6978 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → (𝑅 𝑠) = (𝑅 𝑡))
2625oveq1d 6985 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑅 𝑠) 𝑊) = ((𝑅 𝑡) 𝑊))
2724, 26oveq12d 6988 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → (𝐹 ((𝑅 𝑠) 𝑊)) = (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊)))
2827oveq2d 6986 . . . . 5 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑠) 𝑊))) = ((𝑃 𝑄) (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊))))
299, 28syl5eq 2820 . . . 4 (𝑠 = 𝑡𝑁 = ((𝑃 𝑄) (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊))))
3018, 29reusv3 5153 . . 3 (∃𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑁𝐵) → (∀𝑠𝐴𝑡𝐴 (((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄))) → 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊)))) ↔ ∃𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) → 𝑢 = 𝑁)))
3130biimpd 221 . 2 (∃𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑁𝐵) → (∀𝑠𝐴𝑡𝐴 (((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄))) → 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊))) ((𝑅 𝑡) 𝑊)))) → ∃𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) → 𝑢 = 𝑁)))
3210, 13, 31sylc 65 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → ∃𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) → 𝑢 = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  wral 3082  wrex 3083   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  lecple 16418  joincjn 17402  meetcmee 17403  Atomscatm 35792  HLchlt 35879  LHypclh 36513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-proset 17386  df-poset 17404  df-plt 17416  df-lub 17432  df-glb 17433  df-join 17434  df-meet 17435  df-p0 17497  df-p1 17498  df-lat 17504  df-clat 17566  df-oposet 35705  df-ol 35707  df-oml 35708  df-covers 35795  df-ats 35796  df-atl 35827  df-cvlat 35851  df-hlat 35880  df-llines 36027  df-lplanes 36028  df-lvols 36029  df-lines 36030  df-psubsp 36032  df-pmap 36033  df-padd 36325  df-lhyp 36517
This theorem is referenced by:  cdleme25c  36884
  Copyright terms: Public domain W3C validator