Theorem cdleme32fva1 41101

Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 2-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme32.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme32.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme32.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme32.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme32.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme32.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme32.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
cdleme32.c	⊢ 𝐶 = ((𝑠 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ 𝑊)))
cdleme32.d	⊢ 𝐷 = ((𝑡 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
cdleme32.e	⊢ 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
cdleme32.i	⊢ 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑦 = 𝐸))
cdleme32.n	⊢ 𝑁 = if(𝑠 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐶)
cdleme32.o	⊢ 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊))))
cdleme32.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), 𝑂, 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
cdleme32fva1	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝐹‘𝑅) = ⦋𝑅 / 𝑠⦌𝑁)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐵,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐶   𝐷,𝑠,𝑦,𝑧   𝑦,𝐸   𝐻,𝑠,𝑡   ∨ ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑡   ≤ ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝑃,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑠,𝑡,𝑦   𝑦,𝐻   𝑦,𝐾   𝑥,𝑅,𝑧   𝑧,𝐻   𝑧,𝐾

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐷(𝑥,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑦,𝑡,𝑠)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem cdleme32fva1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2l 1216	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑅 ∈ 𝐴)
2		cdleme32.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cdleme32.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39952	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑅 ∈ 𝐵)
6		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → 𝑃 ≠ 𝑄)
7		simp2r 1217	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)
8		cdleme32.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊))))
9		cdleme32.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), 𝑂, 𝑥))
10	8, 9	cdleme31fv1s 41055	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑅) = ⦋𝑅 / 𝑥⦌𝑂)
11	5, 6, 7, 10	syl12anc 849	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝐹‘𝑅) = ⦋𝑅 / 𝑥⦌𝑂)
12		cdleme32.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		cdleme32.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14		cdleme32.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
15		cdleme32.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16		cdleme32.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
17		cdleme32.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((𝑠 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ 𝑊)))
18		cdleme32.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((𝑡 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
19		cdleme32.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
20		cdleme32.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) → 𝑦 = 𝐸))
21		cdleme32.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = if(𝑠 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐶)
22	2, 12, 13, 14, 3, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 8, 9	cdleme32fva 41100	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → ⦋𝑅 / 𝑥⦌𝑂 = ⦋𝑅 / 𝑠⦌𝑁)
23	11, 22	eqtrd 2804	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝐹‘𝑅) = ⦋𝑅 / 𝑠⦌𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ⦋csb 3861  ifcif 4492   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  ℩crio 7367  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  lecple 17316  joincjn 18366  meetcmee 18367  Atomscatm 39926  HLchlt 40013  LHypclh 40647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-riotaBAD 39616

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-undef 8268  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-p0 18478  df-p1 18479  df-lat 18487  df-clat 18554  df-oposet 39839  df-ol 39841  df-oml 39842  df-covers 39929  df-ats 39930  df-atl 39961  df-cvlat 39985  df-hlat 40014  df-llines 40161  df-lplanes 40162  df-lvols 40163  df-lines 40164  df-psubsp 40166  df-pmap 40167  df-padd 40459  df-lhyp 40651

This theorem is referenced by:  cdleme32fvaw  41102  cdleme41fva11  41140  cdleme42f  41143  cdleme48fv  41162