Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme32fva Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme32fva 39246
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. Value of 𝐹 at an atom not under π‘Š. (Contributed by NM, 2-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme32.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme32.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme32.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme32.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme32.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme32.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme32.c 𝐢 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme32.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme32.e 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme32.i 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸))
cdleme32.n 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
cdleme32.o 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
cdleme32.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
Assertion
Ref Expression
cdleme32fva ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ⦋𝑅 / π‘₯β¦Œπ‘‚ = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑦,𝐢   𝐷,𝑠,𝑦,𝑧   𝑦,𝐸   𝐻,𝑠,𝑑   ∨ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑑   ≀ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑁,𝑧   𝑃,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑅,𝑠,𝑑,𝑦   𝑦,𝐻   𝑦,𝐾   π‘₯,𝑅,𝑧   𝑧,𝐻   𝑧,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐷(π‘₯,𝑑)   𝐸(π‘₯,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐻(π‘₯)   𝐼(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐾(π‘₯)   𝑁(𝑦,𝑑,𝑠)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)

Proof of Theorem cdleme32fva
StepHypRef Expression
1 simp2l 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
2 cdleme32.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdleme32.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
42, 3atbase 38097 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
51, 4syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
6 cdleme32.o . . . 4 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
7 eqid 2733 . . . 4 (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))))
86, 7cdleme31so 39188 . . 3 (𝑅 ∈ 𝐡 β†’ ⦋𝑅 / π‘₯β¦Œπ‘‚ = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))))
95, 8syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ⦋𝑅 / π‘₯β¦Œπ‘‚ = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))))
10 simp1 1137 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
11 simp3 1139 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
12 simp2 1138 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
13 cdleme32.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
14 cdleme32.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
15 cdleme32.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
16 cdleme32.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
17 cdleme32.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
18 cdleme32.c . . . . 5 𝐢 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
19 cdleme32.d . . . . 5 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
20 cdleme32.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
21 cdleme32.i . . . . 5 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸))
22 cdleme32.n . . . . 5 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
232, 13, 14, 15, 3, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22cdleme32snb 39245 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∈ 𝐡)
2410, 11, 12, 23syl12anc 836 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∈ 𝐡)
25 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑠 Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š
26 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑠⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘
2726nfeq2 2921 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑠 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘
2825, 27nfim 1900 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑠(Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)
29 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑅 β†’ (𝑠 ≀ π‘Š ↔ 𝑅 ≀ π‘Š))
3029notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑅 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ↔ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
31 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑅 β†’ 𝑁 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)
3231eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑅 β†’ (𝑧 = 𝑁 ↔ 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘))
3330, 32imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑅 β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = 𝑁) ↔ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)))
3433ax-gen 1798 . . . . . . . 8 βˆ€π‘ (𝑠 = 𝑅 β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = 𝑁) ↔ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)))
35 ceqsralt 3506 . . . . . . . 8 ((Ⅎ𝑠(Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘) ∧ βˆ€π‘ (𝑠 = 𝑅 β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = 𝑁) ↔ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘))) ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑠 = 𝑅 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = 𝑁)) ↔ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)))
3628, 34, 35mp3an12 1452 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑠 = 𝑅 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = 𝑁)) ↔ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)))
3736adantr 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑠 = 𝑅 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = 𝑁)) ↔ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)))
38373ad2ant2 1135 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑠 = 𝑅 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = 𝑁)) ↔ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)))
39 simp11 1204 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
40 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
4113, 15, 40, 3, 16lhpmat 38839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑅 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
4239, 12, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑅 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
4342adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑅 ∧ π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
4443oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = (𝑠 ∨ (0.β€˜πΎ)))
45 simp11l 1285 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
47 hlol 38169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
492, 3atbase 38097 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
5049ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
512, 14, 40olj01 38033 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ (𝑠 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑠)
5248, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑠 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑠)
5344, 52eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑠)
5453eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅 ↔ 𝑠 = 𝑅))
5543oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = (𝑁 ∨ (0.β€˜πΎ)))
56 simpl11 1249 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
57 simpl12 1250 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
58 simpl13 1251 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
59 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))
60 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
612, 13, 14, 15, 3, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22cdleme27cl 39175 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
6256, 57, 58, 59, 60, 61syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑁 ∈ 𝐡)
632, 14, 40olj01 38033 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑁 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑁)
6448, 62, 63syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑁 ∨ (0.β€˜πΎ)) = 𝑁)
6555, 64eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑁)
6665eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) ↔ 𝑧 = 𝑁))
6754, 66imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅 β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) ↔ (𝑠 = 𝑅 β†’ 𝑧 = 𝑁)))
6867expr 458 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ (((𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅 β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) ↔ (𝑠 = 𝑅 β†’ 𝑧 = 𝑁))))
6968pm5.74d 273 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ ((𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅 β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))) ↔ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ (𝑠 = 𝑅 β†’ 𝑧 = 𝑁))))
70 impexp 452 . . . . . . 7 (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) ↔ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ ((𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅 β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))))
71 bi2.04 389 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑅 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = 𝑁)) ↔ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ (𝑠 = 𝑅 β†’ 𝑧 = 𝑁)))
7269, 70, 713bitr4g 314 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ (((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) ↔ (𝑠 = 𝑅 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = 𝑁))))
7372ralbidva 3176 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑠 = 𝑅 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = 𝑁))))
74 simp2r 1201 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)
75 biimt 361 . . . . . 6 (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š β†’ (𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ↔ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)))
7674, 75syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ↔ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š β†’ 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)))
7738, 73, 763bitr4d 311 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) ↔ 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘))
7877adantr 482 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š))) ↔ 𝑧 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘))
7924, 78riota5 7390 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)) = 𝑅) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑅 ∧ π‘Š)))) = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)
809, 79eqtrd 2773 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ⦋𝑅 / π‘₯β¦Œπ‘‚ = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  β¦‹csb 3892  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  β„©crio 7359  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  0.cp0 18372  OLcol 37982  Atomscatm 38071  HLchlt 38158  LHypclh 38793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-riotaBAD 37761
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-undef 8253  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308  df-lvols 38309  df-lines 38310  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-lhyp 38797
This theorem is referenced by:  cdleme32fva1  39247
  Copyright terms: Public domain W3C validator