Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme40n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme40n 39997
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Show that f(x) is one-to-one on 𝑃 ∨ 𝑄 line. TODO: FIX COMMENT. TODO get rid of '.<' class? (Contributed by NM, 18-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme40.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme40.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme40.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme40.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme40.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme40.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme40.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme40.e 𝐸 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme40.g 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme40.i 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐺))
cdleme40.n 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐷)
cdleme40a1.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme40a1.c 𝐢 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = π‘Œ))
cdleme40.t 𝑇 = ((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
cdleme40.f 𝐹 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑇 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
cdleme40a1.x 𝑋 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑇 ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
cdleme40.o 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = 𝑋))
cdleme40.v 𝑉 = if(𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝑂, < )
cdleme40a1.z 𝑍 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = 𝐹))
Assertion
Ref Expression
cdleme40n ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  ⦋𝑆 / π‘’β¦Œπ‘‰)
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝑧,𝐴   𝑒,𝐡,𝑣,𝑧   𝑧,𝐹   𝑣,𝐻,𝑧   𝑒, ∨ ,𝑣,𝑧   𝑣,𝐾,𝑧   𝑒, ≀ ,𝑣,𝑧   𝑒, ∧ ,𝑣,𝑧   𝑒,𝑃,𝑣,𝑧   𝑒,𝑄,𝑣,𝑧   𝑣,𝑅,𝑧   𝑒,𝑆,𝑧   𝑒,𝑇   𝑣,π‘ˆ,𝑧   𝑒,π‘Š,𝑣,𝑧   𝑣,𝑠,𝑑,𝑦,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,𝑦   𝐸,𝑠   𝑑,𝐹   𝑑,𝐻,𝑦   ∨ ,𝑠,𝑑,𝑦   𝑑,𝐾,𝑦   ≀ ,𝑠,𝑑,𝑦   ∧ ,𝑠,𝑑,𝑦   𝑃,𝑠,𝑑,𝑦   𝑄,𝑠,𝑑,𝑦   𝑅,𝑠,𝑑,𝑦   𝑑,π‘ˆ,𝑦   π‘Š,𝑠,𝑑,𝑦   𝑦,π‘Œ   𝑑,𝑆,𝑣,𝑦   𝑇,𝑠,𝑑,𝑦   𝑣,𝐷   𝑣,𝐼   𝑣,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑒,𝑑,𝑠)   𝑅(𝑒)   𝑆(𝑠)   < (𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝑇(𝑧,𝑣)   π‘ˆ(𝑒,𝑠)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,𝑑)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑒,𝑠)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝐻(𝑒,𝑠)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑒,𝑑,𝑠)   𝐾(𝑒,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑒,𝑑,𝑠)   𝑂(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   π‘Œ(𝑧,𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝑍(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)

Proof of Theorem cdleme40n
StepHypRef Expression
1 cdleme40.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
21fvexi 6906 . . 3 𝐡 ∈ V
3 nfv 1909 . . . 4 Ⅎ𝑣(((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆))
4 nfcv 2892 . . . . . 6 Ⅎ𝑣⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘
5 cdleme40a1.z . . . . . . 7 𝑍 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = 𝐹))
6 nfra1 3272 . . . . . . . 8 β„²π‘£βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = 𝐹)
7 nfcv 2892 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑣𝐡
86, 7nfriota 7385 . . . . . . 7 Ⅎ𝑣(℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = 𝐹))
95, 8nfcxfr 2890 . . . . . 6 Ⅎ𝑣𝑍
104, 9nfne 3033 . . . . 5 Ⅎ𝑣⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  𝑍
1110a1i 11 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ Ⅎ𝑣⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  𝑍)
125a1i 11 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ 𝑍 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = 𝐹)))
13 neeq2 2994 . . . . 5 (𝐹 = 𝑍 β†’ (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  𝐹 ↔ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  𝑍))
1413adantl 480 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) ∧ 𝐹 = 𝑍) β†’ (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  𝐹 ↔ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  𝑍))
15 simpl11 1245 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 simpl12 1246 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
17 simpl13 1247 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
18 simpl21 1248 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
19 simpl22 1249 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
20 simpl23 1250 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
21 simpl3 1190 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆))
22 simprl 769 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑣 ∈ 𝐴)
23 simprrl 779 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š)
24 simprrr 780 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
2522, 23, 243jca 1125 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
26 cdleme40.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
27 cdleme40.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
28 cdleme40.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
29 cdleme40.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
30 cdleme40.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
31 cdleme40.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
32 cdleme40.e . . . . . . 7 𝐸 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
33 cdleme40.g . . . . . . 7 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
34 cdleme40.i . . . . . . 7 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐺))
35 cdleme40.n . . . . . . 7 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐷)
36 cdleme40a1.y . . . . . . 7 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
37 cdleme40a1.c . . . . . . 7 𝐢 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = π‘Œ))
38 cdleme40.t . . . . . . 7 𝑇 = ((𝑣 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
39 cdleme40.f . . . . . . 7 𝐹 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑇 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
401, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39cdleme40m 39996 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  𝐹)
4115, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 25, 40syl332anc 1398 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  𝐹)
4241ex 411 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  𝐹))
43 simp1 1133 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
44 simp23l 1291 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
45 simp23r 1292 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)
46 simp21 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
47 simp32 1207 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
481, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 38, 39, 5cdleme25cl 39886 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
4943, 44, 45, 46, 47, 48syl122anc 1376 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
50 simp11 1200 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
51 simp12 1201 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
52 simp13 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
5326, 27, 29, 30cdlemb2 39570 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5450, 51, 52, 46, 53syl121anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
553, 11, 12, 14, 42, 49, 54riotasv3d 38488 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  𝑍)
562, 55mpan2 689 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  𝑍)
57 cdleme40a1.x . . . 4 𝑋 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑇 ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
58 cdleme40.o . . . 4 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑧 = 𝑋))
59 cdleme40.v . . . 4 𝑉 = if(𝑒 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝑂, < )
6057, 58, 59, 39, 5cdleme31sn1c 39917 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ⦋𝑆 / π‘’β¦Œπ‘‰ = 𝑍)
6144, 47, 60syl2anc 582 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ ⦋𝑆 / π‘’β¦Œπ‘‰ = 𝑍)
6256, 61neeqtrrd 3005 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 β‰  𝑆)) β†’ ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ β‰  ⦋𝑆 / π‘’β¦Œπ‘‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463  β¦‹csb 3884  ifcif 4524   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  β„©crio 7371  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LHypclh 39513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-undef 8277  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517
This theorem is referenced by:  cdleme40w  39999
  Copyright terms: Public domain W3C validator