Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemefs27.n |
. 2
β’ π = if(π β€ (π β¨ π), πΌ, πΆ) |
2 | | simpr2 1196 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ π β π)) β π β€ (π β¨ π)) |
3 | 2 | iftrued 4499 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ π β π)) β if(π β€ (π β¨ π), πΌ, πΆ) = πΌ) |
4 | | simpl1 1192 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ π β π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
5 | | simpl2 1193 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ π β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
6 | | simpl3 1194 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ π β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
7 | | simpr1 1195 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ π β π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
8 | | simpr3 1197 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ π β π)) β π β π) |
9 | | cdlemefs26.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
10 | | cdlemefs26.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
11 | | cdlemefs26.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | | cdlemefs26.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
13 | | cdlemefs26.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
14 | | cdlemefs26.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
15 | | cdlemefs27.u |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
16 | | cdlemefs27.d |
. . . . 5
β’ π· = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
17 | | cdlemefs27.e |
. . . . 5
β’ πΈ = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
18 | | cdlemefs27.i |
. . . . 5
β’ πΌ = (β©π’ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π’ = πΈ)) |
19 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 | cdleme25cl 38849 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β€ (π β¨ π))) β πΌ β π΅) |
20 | 4, 5, 6, 7, 8, 2, 19 | syl312anc 1392 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ π β π)) β πΌ β π΅) |
21 | 3, 20 | eqeltrd 2838 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ π β π)) β if(π β€ (π β¨ π), πΌ, πΆ) β π΅) |
22 | 1, 21 | eqeltrid 2842 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ (π β¨ π) β§ π β π)) β π β π΅) |