Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg4g Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg4g 39790
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 25-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg4.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg4b.v 𝑉 = (π‘…β€˜πΊ)
cdlemg4.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemg4g (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) = ((𝑄 ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
Proof of Theorem cdlemg4g
StepHypRef Expression
1 cdlemg4.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 cdlemg4.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 cdlemg4.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 cdlemg4.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 cdlemg4.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 cdlemg4.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 cdlemg4b.v . . 3 𝑉 = (π‘…β€˜πΊ)
8 cdlemg4.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8cdlemg4f 39789 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) = ((𝑄 ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))))
10 simp1l 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
11 simp1r 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
12 simp21 1206 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
13 simp22l 1292 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
14 eqid 2732 . . . . 5 ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
151, 6, 8, 2, 3, 14cdleme0cp 39388 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) = (𝑃 ∨ 𝑄))
1610, 11, 12, 13, 15syl22anc 837 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)) = (𝑃 ∨ 𝑄))
1716oveq2d 7427 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š))) = ((𝑄 ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
189, 17eqtrd 2772 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑉) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) = ((𝑄 ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  trLctrl 39332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333
This theorem is referenced by:  cdlemg4  39791
  Copyright terms: Public domain W3C validator