Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π β π) |
3 | | simp23 1209 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
4 | | simp12 1205 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β πΉ β π) |
5 | | simp13 1206 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π· β π) |
6 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π
βπ·) β (π
βπΉ)) |
7 | 6, 6 | jca 513 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) |
8 | | simp31 1210 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
9 | | simp32 1211 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π· β ( I βΎ π΅)) |
10 | 8, 8, 9 | 3jca 1129 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅))) |
11 | | simp22 1208 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
12 | | cdlemk1.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
13 | | cdlemk1.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
14 | | cdlemk1.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
15 | | cdlemk1.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
16 | | cdlemk1.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
17 | | cdlemk1.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
18 | | cdlemk1.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
19 | | cdlemk1.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
20 | | cdlemk1.s |
. . . . 5
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
21 | | cdlemk1.o |
. . . . 5
β’ π = (πβπ·) |
22 | | cdlemk1.u |
. . . . 5
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘π·)))))) |
23 | 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 | cdlemkuel 39374 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΉ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πβπΉ) β π) |
24 | 1, 3, 4, 4, 5, 2, 7, 10, 11, 23 | syl333anc 1403 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπΉ) β π) |
25 | 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 | cdlemk18 39377 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) = ((πβπΉ)βπ)) |
26 | 13, 16, 17, 18 | cdlemd 38716 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ (πβπΉ) β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πβπ) = ((πβπΉ)βπ)) β π = (πβπΉ)) |
27 | 1, 2, 24, 11, 25, 26 | syl311anc 1385 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π = (πβπΉ)) |
28 | 27 | eqcomd 2739 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπΉ) = π) |