Theorem cdlemkuel-2N 40281

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Conditions for the sigma₂ (p) function to be a translation. TODO: combine cdlemkj 40260? (Contributed by NM, 2-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk2.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk2.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk2.q	⊢ 𝑄 = (𝑆‘𝐶)
cdlemk2.v	⊢ 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑇 (𝑘‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑑)) ∧ ((𝑄‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑑 ∘ ◡𝐶))))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemkuel-2N	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑉‘𝐺) ∈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐶,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,𝑊,𝑖   ∧ ,𝑑   ∨ ,𝑑   𝐶,𝑑,𝑘   𝐺,𝑑,𝑘   𝑄,𝑑   𝑃,𝑑   𝑅,𝑑   𝑇,𝑑   𝑊,𝑑   ∧ ,𝑘   ≤ ,𝑘   ∨ ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐻   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑇,𝑘   𝑘,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑑)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑘,𝑑)   𝑄(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖,𝑘,𝑑)   𝐹(𝑑)   𝐺(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓,𝑑)   𝐾(𝑓,𝑑)   ≤ (𝑓,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑘,𝑑)

Proof of Theorem cdlemkuel-2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk2.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemk2.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemk2.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdlemk2.m	. 2 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5		cdlemk2.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		cdlemk2.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		cdlemk2.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		cdlemk2.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemk2.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
10		cdlemk2.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (𝑆‘𝐶)
11		cdlemk2.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑇 (𝑘‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑑)) ∧ ((𝑄‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑑 ∘ ◡𝐶))))))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cdlemkuel 40262	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (((𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝐶) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑉‘𝐺) ∈ 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   I cid 5569  ^◡ccnv 5671   ↾ cres 5674   ∘ ccom 5676  ‘cfv 6542  ℩crio 7369  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  meetcmee 18289  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381  LTrncltrn 39498  trLctrl 39555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-riotaBAD 38349

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-undef 8270  df-map 8836  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556

This theorem is referenced by: (None)