MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptkc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptkc 23014
Description: The curried first projection function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmptk1.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
cnmptkc (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝑥)) ∈ (𝐽 Cn (𝐽ko 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem cnmptkc
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5692 . . 3 (𝑌 × {𝑥}) = (𝑦𝑌𝑥)
21mpteq2i 5208 . 2 (𝑥𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝑥))
3 cnmptk1.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4 cnmptk1.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5 xkoccn 22954 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) ∈ (𝐽 Cn (𝐽ko 𝐾)))
63, 4, 5syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) ∈ (𝐽 Cn (𝐽ko 𝐾)))
72, 6eqeltrrid 2843 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝑥)) ∈ (𝐽 Cn (𝐽ko 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  {csn 4584  cmpt 5186   × cxp 5629  cfv 6493  (class class class)co 7353  TopOnctopon 22243   Cn ccn 22559  ko cxko 22896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-fin 8883  df-fi 9343  df-rest 17296  df-topgen 17317  df-top 22227  df-topon 22244  df-bases 22280  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-cmp 22722  df-xko 22898
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator