Theorem cnmptkc 23805

Description: The curried first projection function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptk1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmptk1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cnmptkc	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem cnmptkc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5724	. . 3 ⊢ (𝑌 × {𝑥}) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝑥)
2	1	mpteq2i 5211	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝑥))
3		cnmptk1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4		cnmptk1.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		xkoccn 23745	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))
6	3, 4, 5	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))
7	2, 6	eqeltrrid 2874	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  {csn 4594   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  TopOnctopon 23036   Cn ccn 23350   ↑_ko cxko 23687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8453  df-2o 8454  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-fin 8947  df-fi 9371  df-rest 17475  df-topgen 17496  df-top 23020  df-topon 23037  df-bases 23072  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-cmp 23513  df-xko 23689

This theorem is referenced by: (None)