Theorem cnmptkc 23687

Description: The curried first projection function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptk1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmptk1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cnmptkc	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem cnmptkc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5747	. . 3 ⊢ (𝑌 × {𝑥}) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝑥)
2	1	mpteq2i 5247	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝑥))
3		cnmptk1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4		cnmptk1.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		xkoccn 23627	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))
7	2, 6	eqeltrrid 2846	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  {csn 4626   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232   ↑_ko cxko 23569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-fin 8989  df-fi 9451  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-xko 23571

This theorem is referenced by: (None)