MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptkc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptkc 23534
Description: The curried first projection function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmptk1.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
cnmptkc (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝐾,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦

Proof of Theorem cnmptkc
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5731 . . 3 (π‘Œ Γ— {π‘₯}) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ π‘₯)
21mpteq2i 5246 . 2 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘Œ Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ π‘₯))
3 cnmptk1.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
4 cnmptk1.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 xkoccn 23474 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘Œ Γ— {π‘₯})) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))
63, 4, 5syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘Œ Γ— {π‘₯})) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))
72, 6eqeltrrid 2832 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2098  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  TopOnctopon 22763   Cn ccn 23079   ↑ko cxko 23416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-cmp 23242  df-xko 23418
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator