MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptkc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptkc 23688
Description: The curried first projection function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmptk1.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
cnmptkc (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝑥)) ∈ (𝐽 Cn (𝐽ko 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem cnmptkc
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5746 . . 3 (𝑌 × {𝑥}) = (𝑦𝑌𝑥)
21mpteq2i 5246 . 2 (𝑥𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝑥))
3 cnmptk1.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4 cnmptk1.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5 xkoccn 23628 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) ∈ (𝐽 Cn (𝐽ko 𝐾)))
63, 4, 5syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) ∈ (𝐽 Cn (𝐽ko 𝐾)))
72, 6eqeltrrid 2845 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝑦𝑌𝑥)) ∈ (𝐽 Cn (𝐽ko 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  {csn 4625  cmpt 5224   × cxp 5682  cfv 6560  (class class class)co 7432  TopOnctopon 22917   Cn ccn 23233  ko cxko 23570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-1o 8507  df-2o 8508  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-fin 8990  df-fi 9452  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22901  df-topon 22918  df-bases 22954  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-cmp 23396  df-xko 23572
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator