MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptkc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptkc 23601
Description: The curried first projection function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmptk1.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
cnmptkc (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝐾,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦

Proof of Theorem cnmptkc
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5742 . . 3 (π‘Œ Γ— {π‘₯}) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ π‘₯)
21mpteq2i 5255 . 2 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘Œ Γ— {π‘₯})) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ π‘₯))
3 cnmptk1.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
4 cnmptk1.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 xkoccn 23541 . . 3 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘Œ Γ— {π‘₯})) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))
63, 4, 5syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (π‘Œ Γ— {π‘₯})) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))
72, 6eqeltrrid 2833 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2098  {csn 4630   ↦ cmpt 5233   Γ— cxp 5678  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23146   ↑ko cxko 23483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-fin 8972  df-fi 9440  df-rest 17409  df-topgen 17430  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-cmp 23309  df-xko 23485
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator