Theorem cnmptkc 23657

Description: The curried first projection function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptk1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmptk1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cnmptkc	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem cnmptkc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5687	. . 3 ⊢ (𝑌 × {𝑥}) = (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝑥)
2	1	mpteq2i 5182	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝑥))
3		cnmptk1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
4		cnmptk1.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		xkoccn 23597	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))
6	3, 4, 5	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑌 × {𝑥})) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))
7	2, 6	eqeltrrid 2842	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn (𝐽 ↑ko 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  TopOnctopon 22888   Cn ccn 23202   ↑_ko cxko 23539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-1o 8399  df-2o 8400  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-fin 8891  df-fi 9318  df-rest 17379  df-topgen 17400  df-top 22872  df-topon 22889  df-bases 22924  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-cmp 23365  df-xko 23541

This theorem is referenced by: (None)