MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptkp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptkp 23183
Description: The evaluation of the inner function in a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmptk1.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmptk1.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
cnmptkp.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)))
cnmptkp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
cnmptkp.c (𝑦 = 𝐡 β†’ 𝐴 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
cnmptkp (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑍,𝑦   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   𝑦,𝐡   𝑦,𝐢
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐢(π‘₯)

Proof of Theorem cnmptkp
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
2 cnmptkp.c . . . 4 (𝑦 = 𝐡 β†’ 𝐴 = 𝐢)
3 cnmptkp.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
43adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
52eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐿 ↔ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝐿))
6 cnmptk1.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
76adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
8 cnmptk1.l . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
9 topontop 22414 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) β†’ 𝐿 ∈ Top)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ Top)
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐿 ∈ Top)
12 toptopon2 22419 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ Top ↔ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐿))
1311, 12sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐿))
14 cnmptk1.j . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15 topontop 22414 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
166, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
17 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ↑ko 𝐾) = (𝐿 ↑ko 𝐾)
1817xkotopon 23103 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐿 ∈ Top) β†’ (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝐾 Cn 𝐿)))
1916, 10, 18syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝐾 Cn 𝐿)))
20 cnmptkp.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)))
21 cnf2 22752 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝐾 Cn 𝐿)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆ(𝐾 Cn 𝐿))
2214, 19, 20, 21syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆ(𝐾 Cn 𝐿))
2322fvmptelcdm 7112 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
24 cnf2 22752 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐿)
257, 13, 23, 24syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐿)
261fmpt 7109 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐿 ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐿)
2725, 26sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐿)
285, 27, 4rspcdva 3613 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝐿)
291, 2, 4, 28fvmptd3 7021 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜π΅) = 𝐢)
3029mpteq2dva 5248 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢))
31 toponuni 22415 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
326, 31syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
333, 32eleqtrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐾)
34 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
3534xkopjcn 23159 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐿 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐾) β†’ (𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐿) ↦ (π‘€β€˜π΅)) ∈ ((𝐿 ↑ko 𝐾) Cn 𝐿))
3616, 10, 33, 35syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐿) ↦ (π‘€β€˜π΅)) ∈ ((𝐿 ↑ko 𝐾) Cn 𝐿))
37 fveq1 6890 . . 3 (𝑀 = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΅) = ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜π΅))
3814, 20, 19, 36, 37cnmpt11 23166 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜π΅)) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
3930, 38eqeltrrd 2834 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Topctop 22394  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727   ↑ko cxko 23064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cmp 22890  df-xko 23066
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator