MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptkp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmptkp 23508
Description: The evaluation of the inner function in a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
cnmptk1.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
cnmptk1.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
cnmptkp.a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)))
cnmptkp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
cnmptkp.c (𝑦 = 𝐡 β†’ 𝐴 = 𝐢)
Assertion
Ref Expression
cnmptkp (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑍,𝑦   π‘₯,𝐡   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   𝑦,𝐡   𝑦,𝐢
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐢(π‘₯)

Proof of Theorem cnmptkp
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . 4 (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)
2 cnmptkp.c . . . 4 (𝑦 = 𝐡 β†’ 𝐴 = 𝐢)
3 cnmptkp.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
43adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
52eleq1d 2810 . . . . 5 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝐴 ∈ βˆͺ 𝐿 ↔ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝐿))
6 cnmptk1.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
76adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
8 cnmptk1.l . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘))
9 topontop 22739 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (TopOnβ€˜π‘) β†’ 𝐿 ∈ Top)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ Top)
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐿 ∈ Top)
12 toptopon2 22744 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ Top ↔ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐿))
1311, 12sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐿))
14 cnmptk1.j . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15 topontop 22739 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
166, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
17 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ↑ko 𝐾) = (𝐿 ↑ko 𝐾)
1817xkotopon 23428 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐿 ∈ Top) β†’ (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝐾 Cn 𝐿)))
1916, 10, 18syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝐾 Cn 𝐿)))
20 cnmptkp.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾)))
21 cnf2 23077 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐿 ↑ko 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝐾 Cn 𝐿)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)) ∈ (𝐽 Cn (𝐿 ↑ko 𝐾))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆ(𝐾 Cn 𝐿))
2214, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)):π‘‹βŸΆ(𝐾 Cn 𝐿))
2322fvmptelcdm 7105 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿))
24 cnf2 23077 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐿 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐿)) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐿)
257, 13, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐿)
261fmpt 7102 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐿 ↔ (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐿)
2725, 26sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐿)
285, 27, 4rspcdva 3605 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ βˆͺ 𝐿)
291, 2, 4, 28fvmptd3 7012 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜π΅) = 𝐢)
3029mpteq2dva 5239 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜π΅)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢))
31 toponuni 22740 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
326, 31syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
333, 32eleqtrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐾)
34 eqid 2724 . . . . 5 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
3534xkopjcn 23484 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐿 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ βˆͺ 𝐾) β†’ (𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐿) ↦ (π‘€β€˜π΅)) ∈ ((𝐿 ↑ko 𝐾) Cn 𝐿))
3616, 10, 33, 35syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐿) ↦ (π‘€β€˜π΅)) ∈ ((𝐿 ↑ko 𝐾) Cn 𝐿))
37 fveq1 6881 . . 3 (𝑀 = (𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΅) = ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜π΅))
3814, 20, 19, 36, 37cnmpt11 23491 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑦 ∈ π‘Œ ↦ 𝐴)β€˜π΅)) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
3930, 38eqeltrrd 2826 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 𝐢) ∈ (𝐽 Cn 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆͺ cuni 4900   ↦ cmpt 5222  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Topctop 22719  TopOnctopon 22736   Cn ccn 23052   ↑ko cxko 23389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-fin 8940  df-fi 9403  df-rest 17369  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-top 22720  df-topon 22737  df-bases 22773  df-cn 23055  df-cmp 23215  df-xko 23391
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator