MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crne0 12203
Description: The real representation of complex numbers is nonzero iff one of its terms is nonzero. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
crne0 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†” (๐ด + (i ยท ๐ต)) โ‰  0))

Proof of Theorem crne0
StepHypRef Expression
1 neorian 3029 . 2 ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†” ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0))
2 ax-icn 11166 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
32mul01i 11402 . . . . . . 7 (i ยท 0) = 0
43oveq2i 7413 . . . . . 6 (0 + (i ยท 0)) = (0 + 0)
5 00id 11387 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
64, 5eqtri 2752 . . . . 5 (0 + (i ยท 0)) = 0
76eqeq2i 2737 . . . 4 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (0 + (i ยท 0)) โ†” (๐ด + (i ยท ๐ต)) = 0)
8 0re 11214 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
9 cru 12202 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (0 + (i ยท 0)) โ†” (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)))
108, 8, 9mpanr12 702 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (0 + (i ยท 0)) โ†” (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)))
117, 10bitr3id 285 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = 0 โ†” (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)))
1211necon3abid 2969 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โ‰  0 โ†” ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)))
131, 12bitr4id 290 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†” (๐ด + (i ยท ๐ต)) โ‰  0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  (class class class)co 7402  โ„cr 11106  0cc0 11107  ici 11109   + caddc 11110   ยท cmul 11112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870
This theorem is referenced by:  crreczi  14189  creq0  32432
  Copyright terms: Public domain W3C validator