Theorem creur 12122

Description: The real part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
creur	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem creur

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11112	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
2		cru 12120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
3	2	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
4		eqcom 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)))
5		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤))
6	3, 4, 5	3bitr4g 314	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧)))
7	6	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧)))
8	7	rexbidva 3151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧)))
9		biidd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑥 = 𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧))
10	9	ceqsrexv 3610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑧))
11	10	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑧))
12	8, 11	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑥 = 𝑧))
13	12	ralrimiva 3121	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑥 = 𝑧))
14		reu6i 3688	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑥 = 𝑧)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
15	13, 14	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
16		eqeq1 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
17	16	rexbidv 3153	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
18	17	reubidv 3361	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
19	15, 18	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
20	19	rexlimivv 3171	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
21	1, 20	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∃!wreu 3341  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  ici 11011   + caddc 11012   · cmul 11014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778

This theorem is referenced by: (None)