Theorem creur 12130

Description: The real part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
creur	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem creur

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 11120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)))
2		cru 12128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
3	2	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤)))
4		eqcom 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑥 + (i · 𝑦)) = (𝑧 + (i · 𝑤)))
5		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧) ↔ (𝑥 = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑤))
6	3, 4, 5	3bitr4g 314	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧)))
7	6	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧)))
8	7	rexbidva 3155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧)))
9		biidd 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑥 = 𝑧 ↔ 𝑥 = 𝑧))
10	9	ceqsrexv 3606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑧))
11	10	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑥 = 𝑧) ↔ 𝑥 = 𝑧))
12	8, 11	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑥 = 𝑧))
13	12	ralrimiva 3125	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑥 = 𝑧))
14		reu6i 3683	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝑥 = 𝑧)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
15	13, 14	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
16		eqeq1 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
17	16	rexbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
18	17	reubidv 3363	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑧 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦))))
19	15, 18	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
20	19	rexlimivv 3175	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑧 + (i · 𝑤)) → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
21	1, 20	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  ∃!wreu 3345  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  ℝcr 11016  ici 11019   + caddc 11020   · cmul 11022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786

This theorem is referenced by: (None)