MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cru Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cru 12203
Description: The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cru (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))

Proof of Theorem cru
StepHypRef Expression
1 simplrl 775 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
21recnd 11241 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 simplll 773 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
43recnd 11241 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)))
6 ax-icn 11168 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
76a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
8 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
98recnd 11241 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
107, 9mulcld 11233 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
11 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
1211recnd 11241 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
137, 12mulcld 11233 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
144, 10, 2, 13addsubeq4d 11621 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ด) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (i ยท ๐ท))))
155, 14mpbid 231 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (i ยท ๐ท)))
168, 11resubcld 11641 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„)
177, 9, 12subdid 11669 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (i ยท ๐ท)))
1817, 15eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (๐ถ โˆ’ ๐ด))
191, 3resubcld 11641 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
2018, 19eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„)
21 rimul 12202 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) = 0)
2216, 20, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) = 0)
239, 12, 22subeq0d 11578 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ต = ๐ท)
2423oveq2d 7424 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท ๐ต) = (i ยท ๐ท))
2524oveq1d 7423 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ((i ยท ๐ต) โˆ’ (i ยท ๐ท)) = ((i ยท ๐ท) โˆ’ (i ยท ๐ท)))
2613subidd 11558 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ((i ยท ๐ท) โˆ’ (i ยท ๐ท)) = 0)
2715, 25, 263eqtrd 2776 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) = 0)
282, 4, 27subeq0d 11578 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ถ = ๐ด)
2928eqcomd 2738 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ด = ๐ถ)
3029, 23jca 512 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท))
3130ex 413 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
32 oveq2 7416 . . 3 (๐ต = ๐ท โ†’ (i ยท ๐ต) = (i ยท ๐ท))
33 oveq12 7417 . . 3 ((๐ด = ๐ถ โˆง (i ยท ๐ต) = (i ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)))
3432, 33sylan2 593 . 2 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)))
3531, 34impbid1 224 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871
This theorem is referenced by:  crne0  12204  creur  12205  creui  12206  cnref1o  12968  efieq  16105
  Copyright terms: Public domain W3C validator