MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cru Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cru 12201
Description: The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cru (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))

Proof of Theorem cru
StepHypRef Expression
1 simplrl 774 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
21recnd 11239 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 simplll 772 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
43recnd 11239 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)))
6 ax-icn 11165 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
76a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
8 simpllr 773 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
98recnd 11239 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
107, 9mulcld 11231 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
11 simplrr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
1211recnd 11239 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
137, 12mulcld 11231 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
144, 10, 2, 13addsubeq4d 11619 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ด) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (i ยท ๐ท))))
155, 14mpbid 231 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (i ยท ๐ท)))
168, 11resubcld 11639 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„)
177, 9, 12subdid 11667 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (i ยท ๐ท)))
1817, 15eqtr4d 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (๐ถ โˆ’ ๐ด))
191, 3resubcld 11639 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
2018, 19eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„)
21 rimul 12200 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) = 0)
2216, 20, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) = 0)
239, 12, 22subeq0d 11576 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ต = ๐ท)
2423oveq2d 7417 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท ๐ต) = (i ยท ๐ท))
2524oveq1d 7416 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ((i ยท ๐ต) โˆ’ (i ยท ๐ท)) = ((i ยท ๐ท) โˆ’ (i ยท ๐ท)))
2613subidd 11556 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ((i ยท ๐ท) โˆ’ (i ยท ๐ท)) = 0)
2715, 25, 263eqtrd 2768 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) = 0)
282, 4, 27subeq0d 11576 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ถ = ๐ด)
2928eqcomd 2730 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ด = ๐ถ)
3029, 23jca 511 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท))
3130ex 412 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
32 oveq2 7409 . . 3 (๐ต = ๐ท โ†’ (i ยท ๐ต) = (i ยท ๐ท))
33 oveq12 7410 . . 3 ((๐ด = ๐ถ โˆง (i ยท ๐ต) = (i ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)))
3432, 33sylan2 592 . 2 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)))
3531, 34impbid1 224 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  ici 11108   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โˆ’ cmin 11441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869
This theorem is referenced by:  crne0  12202  creur  12203  creui  12204  cnref1o  12966  efieq  16103
  Copyright terms: Public domain W3C validator