MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cru Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cru 12153
Description: The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cru (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))

Proof of Theorem cru
StepHypRef Expression
1 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
21recnd 11191 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 simplll 774 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
43recnd 11191 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)))
6 ax-icn 11118 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
76a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
8 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
98recnd 11191 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
107, 9mulcld 11183 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
11 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
1211recnd 11191 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
137, 12mulcld 11183 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
144, 10, 2, 13addsubeq4d 11571 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ด) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (i ยท ๐ท))))
155, 14mpbid 231 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (i ยท ๐ท)))
168, 11resubcld 11591 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„)
177, 9, 12subdid 11619 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (i ยท ๐ท)))
1817, 15eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) = (๐ถ โˆ’ ๐ด))
191, 3resubcld 11591 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
2018, 19eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„)
21 rimul 12152 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต โˆ’ ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท (๐ต โˆ’ ๐ท)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) = 0)
2216, 20, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ท) = 0)
239, 12, 22subeq0d 11528 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ต = ๐ท)
2423oveq2d 7377 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (i ยท ๐ต) = (i ยท ๐ท))
2524oveq1d 7376 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ((i ยท ๐ต) โˆ’ (i ยท ๐ท)) = ((i ยท ๐ท) โˆ’ (i ยท ๐ท)))
2613subidd 11508 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ((i ยท ๐ท) โˆ’ (i ยท ๐ท)) = 0)
2715, 25, 263eqtrd 2777 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ด) = 0)
282, 4, 27subeq0d 11528 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ถ = ๐ด)
2928eqcomd 2739 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ ๐ด = ๐ถ)
3029, 23jca 513 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท))) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท))
3130ex 414 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
32 oveq2 7369 . . 3 (๐ต = ๐ท โ†’ (i ยท ๐ต) = (i ยท ๐ท))
33 oveq12 7370 . . 3 ((๐ด = ๐ถ โˆง (i ยท ๐ต) = (i ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)))
3432, 33sylan2 594 . 2 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)))
3531, 34impbid1 224 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) = (๐ถ + (i ยท ๐ท)) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  ici 11061   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  crne0  12154  creur  12155  creui  12156  cnref1o  12918  efieq  16053
  Copyright terms: Public domain W3C validator