Theorem cru 11965

Description: The representation of complex numbers in terms of real and imaginary parts is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cru	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem cru

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrl 774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		simplll 772	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
6		ax-icn 10930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → i ∈ ℂ)
8		simpllr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐵 ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 10995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
11		simplrr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐷 ∈ ℂ)
13	7, 12	mulcld 10995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · 𝐷) ∈ ℂ)
14	4, 10, 2, 13	addsubeq4d 11383	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐶 − 𝐴) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐷))))
15	5, 14	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶 − 𝐴) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐷)))
16	8, 11	resubcld 11403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ)
17	7, 9, 12	subdid 11431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (𝐵 − 𝐷)) = ((i · 𝐵) − (i · 𝐷)))
18	17, 15	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (𝐵 − 𝐷)) = (𝐶 − 𝐴))
19	1, 3	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ)
21		rimul 11964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 − 𝐷) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐵 − 𝐷)) ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐷) = 0)
22	16, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐵 − 𝐷) = 0)
23	9, 12, 22	subeq0d 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐵 = 𝐷)
24	23	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (i · 𝐵) = (i · 𝐷))
25	24	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((i · 𝐵) − (i · 𝐷)) = ((i · 𝐷) − (i · 𝐷)))
26	13	subidd 11320	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → ((i · 𝐷) − (i · 𝐷)) = 0)
27	15, 25, 26	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐶 − 𝐴) = 0)
28	2, 4, 27	subeq0d 11340	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐶 = 𝐴)
29	28	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → 𝐴 = 𝐶)
30	29, 23	jca 512	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷))) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
31	30	ex 413	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))
32		oveq2 7283	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐷 → (i · 𝐵) = (i · 𝐷))
33		oveq12 7284	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ (i · 𝐵) = (i · 𝐷)) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
34	32, 33	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)))
35	31, 34	impbid1 224	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) = (𝐶 + (i · 𝐷)) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633

This theorem is referenced by:  crne0  11966  creur  11967  creui  11968  cnref1o  12725  efieq  15872