Theorem crreczi 14190

Description: Reciprocal of a complex number in terms of real and imaginary components. Remark in [Apostol] p. 361. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Proof shortened by Jeff Hankins, 16-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
crrecz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
crrecz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
crreczi	⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

Proof of Theorem crreczi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crrecz.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2	1	recni 11159	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	2	sqcli 14143	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑2) ∈ ℂ
4		ax-icn 11097	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
5		crrecz.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
6	5	recni 11159	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7	4, 6	mulcli 11152	. . . . . . 7 ⊢ (i · 𝐵) ∈ ℂ
8	7	sqcli 14143	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) ∈ ℂ
9	3, 8	negsubi 11472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + -((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴↑2) − ((i · 𝐵)↑2))
10	4, 6	sqmuli 14146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) = ((i↑2) · (𝐵↑2))
11		i2 14164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i↑2) = -1
12	11	oveq1i 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i↑2) · (𝐵↑2)) = (-1 · (𝐵↑2))
13		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
14	6	sqcli 14143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℂ
15	13, 14	mulneg1i 11596	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · (𝐵↑2)) = -(1 · (𝐵↑2))
16	10, 12, 15	3eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) = -(1 · (𝐵↑2))
17	16	negeqi 11386	. . . . . . 7 ⊢ -((i · 𝐵)↑2) = --(1 · (𝐵↑2))
18	13, 14	mulcli 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ
19	18	negnegi 11464	. . . . . . 7 ⊢ --(1 · (𝐵↑2)) = (1 · (𝐵↑2))
20	14	mullidi 11150	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (𝐵↑2)) = (𝐵↑2)
21	17, 19, 20	3eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ -((i · 𝐵)↑2) = (𝐵↑2)
22	21	oveq2i 7378	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + -((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
23	2, 7	subsqi 14175	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) − ((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵)))
24	9, 22, 23	3eqtr3ri 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
25	24	oveq1i 7377	. . 3 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
26		neorian 3027	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
27		sumsqeq0 14141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0))
28	1, 5, 27	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0)
29	28	necon3bbii 2979	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0)
30	26, 29	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0)
31	2, 7	addcli 11151	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ
32	2, 7	subcli 11470	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ
33	3, 14	addcli 11151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ
34	31, 32, 33	divasszi 11905	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))))
35	30, 34	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))))
36		divid 11840	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
37	33, 36	mpan 691	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
38	30, 37	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
39	25, 35, 38	3eqtr3a 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1)
40	32, 33	divclzi 11890	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
41	30, 40	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
42	31	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
43		crne0 12152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0))
44	1, 5, 43	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)
45	44	biimpi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)
46		divmul 11812	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
47	13, 46	mp3an1 1451	. . 3 ⊢ ((((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
48	41, 42, 45, 47	syl12anc 837	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
49	39, 48	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  2c2 12236  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by: (None)