Theorem crreczi 14194

Description: Reciprocal of a complex number in terms of real and imaginary components. Remark in [Apostol] p. 361. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Proof shortened by Jeff Hankins, 16-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
crrecz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
crrecz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
crreczi	⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

Proof of Theorem crreczi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crrecz.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2	1	recni 11229	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	2	sqcli 14148	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑2) ∈ ℂ
4		ax-icn 11168	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
5		crrecz.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
6	5	recni 11229	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7	4, 6	mulcli 11222	. . . . . . 7 ⊢ (i · 𝐵) ∈ ℂ
8	7	sqcli 14148	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) ∈ ℂ
9	3, 8	negsubi 11539	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + -((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴↑2) − ((i · 𝐵)↑2))
10	4, 6	sqmuli 14151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) = ((i↑2) · (𝐵↑2))
11		i2 14169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i↑2) = -1
12	11	oveq1i 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i↑2) · (𝐵↑2)) = (-1 · (𝐵↑2))
13		ax-1cn 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
14	6	sqcli 14148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℂ
15	13, 14	mulneg1i 11661	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · (𝐵↑2)) = -(1 · (𝐵↑2))
16	10, 12, 15	3eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) = -(1 · (𝐵↑2))
17	16	negeqi 11454	. . . . . . 7 ⊢ -((i · 𝐵)↑2) = --(1 · (𝐵↑2))
18	13, 14	mulcli 11222	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ
19	18	negnegi 11531	. . . . . . 7 ⊢ --(1 · (𝐵↑2)) = (1 · (𝐵↑2))
20	14	mullidi 11220	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (𝐵↑2)) = (𝐵↑2)
21	17, 19, 20	3eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ -((i · 𝐵)↑2) = (𝐵↑2)
22	21	oveq2i 7415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + -((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
23	2, 7	subsqi 14180	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) − ((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵)))
24	9, 22, 23	3eqtr3ri 2763	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
25	24	oveq1i 7414	. . 3 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
26		neorian 3031	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
27		sumsqeq0 14146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0))
28	1, 5, 27	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0)
29	28	necon3bbii 2982	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0)
30	26, 29	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0)
31	2, 7	addcli 11221	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ
32	2, 7	subcli 11537	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ
33	3, 14	addcli 11221	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ
34	31, 32, 33	divasszi 11965	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))))
35	30, 34	sylbi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))))
36		divid 11902	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
37	33, 36	mpan 687	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
38	30, 37	sylbi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
39	25, 35, 38	3eqtr3a 2790	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1)
40	32, 33	divclzi 11950	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
41	30, 40	sylbi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
42	31	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
43		crne0 12206	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0))
44	1, 5, 43	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)
45	44	biimpi 215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)
46		divmul 11876	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
47	13, 46	mp3an1 1444	. . 3 ⊢ ((((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
48	41, 42, 45, 47	syl12anc 834	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
49	39, 48	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  ici 11111   + caddc 11112   · cmul 11114   − cmin 11445  -cneg 11446   / cdiv 11872  2c2 12268  ↑cexp 14030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970  df-exp 14031

This theorem is referenced by: (None)