Theorem crreczi 14223

Description: Reciprocal of a complex number in terms of real and imaginary components. Remark in [Apostol] p. 361. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Proof shortened by Jeff Hankins, 16-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
crrecz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
crrecz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
crreczi	⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

Proof of Theorem crreczi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crrecz.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2	1	recni 11259	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	2	sqcli 14177	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑2) ∈ ℂ
4		ax-icn 11198	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
5		crrecz.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
6	5	recni 11259	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7	4, 6	mulcli 11252	. . . . . . 7 ⊢ (i · 𝐵) ∈ ℂ
8	7	sqcli 14177	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) ∈ ℂ
9	3, 8	negsubi 11569	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + -((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴↑2) − ((i · 𝐵)↑2))
10	4, 6	sqmuli 14180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) = ((i↑2) · (𝐵↑2))
11		i2 14198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i↑2) = -1
12	11	oveq1i 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i↑2) · (𝐵↑2)) = (-1 · (𝐵↑2))
13		ax-1cn 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
14	6	sqcli 14177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℂ
15	13, 14	mulneg1i 11691	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · (𝐵↑2)) = -(1 · (𝐵↑2))
16	10, 12, 15	3eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) = -(1 · (𝐵↑2))
17	16	negeqi 11484	. . . . . . 7 ⊢ -((i · 𝐵)↑2) = --(1 · (𝐵↑2))
18	13, 14	mulcli 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ
19	18	negnegi 11561	. . . . . . 7 ⊢ --(1 · (𝐵↑2)) = (1 · (𝐵↑2))
20	14	mullidi 11250	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (𝐵↑2)) = (𝐵↑2)
21	17, 19, 20	3eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ -((i · 𝐵)↑2) = (𝐵↑2)
22	21	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + -((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
23	2, 7	subsqi 14209	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) − ((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵)))
24	9, 22, 23	3eqtr3ri 2765	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
25	24	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
26		neorian 3034	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
27		sumsqeq0 14175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0))
28	1, 5, 27	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0)
29	28	necon3bbii 2985	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0)
30	26, 29	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0)
31	2, 7	addcli 11251	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ
32	2, 7	subcli 11567	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ
33	3, 14	addcli 11251	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ
34	31, 32, 33	divasszi 11995	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))))
35	30, 34	sylbi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))))
36		divid 11932	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
37	33, 36	mpan 689	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
38	30, 37	sylbi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
39	25, 35, 38	3eqtr3a 2792	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1)
40	32, 33	divclzi 11980	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
41	30, 40	sylbi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
42	31	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
43		crne0 12236	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0))
44	1, 5, 43	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)
45	44	biimpi 215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)
46		divmul 11906	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
47	13, 46	mp3an1 1445	. . 3 ⊢ ((((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
48	41, 42, 45, 47	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
49	39, 48	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  ℝcr 11138  0cc0 11139  1c1 11140  ici 11141   + caddc 11142   · cmul 11144   − cmin 11475  -cneg 11476   / cdiv 11902  2c2 12298  ↑cexp 14059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060

This theorem is referenced by: (None)