Theorem crreczi 14149

Description: Reciprocal of a complex number in terms of real and imaginary components. Remark in [Apostol] p. 361. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Proof shortened by Jeff Hankins, 16-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
crrecz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
crrecz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
crreczi	⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

Proof of Theorem crreczi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crrecz.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2	1	recni 11144	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	2	sqcli 14102	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑2) ∈ ℂ
4		ax-icn 11083	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
5		crrecz.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
6	5	recni 11144	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7	4, 6	mulcli 11137	. . . . . . 7 ⊢ (i · 𝐵) ∈ ℂ
8	7	sqcli 14102	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) ∈ ℂ
9	3, 8	negsubi 11457	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + -((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴↑2) − ((i · 𝐵)↑2))
10	4, 6	sqmuli 14105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) = ((i↑2) · (𝐵↑2))
11		i2 14123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i↑2) = -1
12	11	oveq1i 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i↑2) · (𝐵↑2)) = (-1 · (𝐵↑2))
13		ax-1cn 11082	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
14	6	sqcli 14102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℂ
15	13, 14	mulneg1i 11581	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · (𝐵↑2)) = -(1 · (𝐵↑2))
16	10, 12, 15	3eqtri 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) = -(1 · (𝐵↑2))
17	16	negeqi 11371	. . . . . . 7 ⊢ -((i · 𝐵)↑2) = --(1 · (𝐵↑2))
18	13, 14	mulcli 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ
19	18	negnegi 11449	. . . . . . 7 ⊢ --(1 · (𝐵↑2)) = (1 · (𝐵↑2))
20	14	mullidi 11135	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (𝐵↑2)) = (𝐵↑2)
21	17, 19, 20	3eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ -((i · 𝐵)↑2) = (𝐵↑2)
22	21	oveq2i 7367	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + -((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
23	2, 7	subsqi 14134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) − ((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵)))
24	9, 22, 23	3eqtr3ri 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
25	24	oveq1i 7366	. . 3 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
26		neorian 3025	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
27		sumsqeq0 14100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0))
28	1, 5, 27	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0)
29	28	necon3bbii 2977	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0)
30	26, 29	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0)
31	2, 7	addcli 11136	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ
32	2, 7	subcli 11455	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ
33	3, 14	addcli 11136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ
34	31, 32, 33	divasszi 11889	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))))
35	30, 34	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))))
36		divid 11825	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
37	33, 36	mpan 690	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
38	30, 37	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
39	25, 35, 38	3eqtr3a 2793	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1)
40	32, 33	divclzi 11874	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
41	30, 40	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
42	31	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
43		crne0 12136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0))
44	1, 5, 43	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)
45	44	biimpi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)
46		divmul 11797	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
47	13, 46	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ ((((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
48	41, 42, 45, 47	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
49	39, 48	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025  ici 11026   + caddc 11027   · cmul 11029   − cmin 11362  -cneg 11363   / cdiv 11792  2c2 12198  ↑cexp 13982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-seq 13923  df-exp 13983

This theorem is referenced by: (None)