MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crreczi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crreczi 14140
Description: Reciprocal of a complex number in terms of real and imaginary components. Remark in [Apostol] p. 361. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Proof shortened by Jeff Hankins, 16-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
crrecz.1 ๐ด โˆˆ โ„
crrecz.2 ๐ต โˆˆ โ„
Assertion
Ref Expression
crreczi ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†’ (1 / (๐ด + (i ยท ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))))

Proof of Theorem crreczi
StepHypRef Expression
1 crrecz.1 . . . . . . . 8 ๐ด โˆˆ โ„
21recni 11177 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„‚
32sqcli 14094 . . . . . 6 (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚
4 ax-icn 11118 . . . . . . . 8 i โˆˆ โ„‚
5 crrecz.2 . . . . . . . . 9 ๐ต โˆˆ โ„
65recni 11177 . . . . . . . 8 ๐ต โˆˆ โ„‚
74, 6mulcli 11170 . . . . . . 7 (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚
87sqcli 14094 . . . . . 6 ((i ยท ๐ต)โ†‘2) โˆˆ โ„‚
93, 8negsubi 11487 . . . . 5 ((๐ดโ†‘2) + -((i ยท ๐ต)โ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((i ยท ๐ต)โ†‘2))
104, 6sqmuli 14097 . . . . . . . . 9 ((i ยท ๐ต)โ†‘2) = ((iโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2))
11 i2 14115 . . . . . . . . . 10 (iโ†‘2) = -1
1211oveq1i 7371 . . . . . . . . 9 ((iโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) = (-1 ยท (๐ตโ†‘2))
13 ax-1cn 11117 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
146sqcli 14094 . . . . . . . . . 10 (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚
1513, 14mulneg1i 11609 . . . . . . . . 9 (-1 ยท (๐ตโ†‘2)) = -(1 ยท (๐ตโ†‘2))
1610, 12, 153eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((i ยท ๐ต)โ†‘2) = -(1 ยท (๐ตโ†‘2))
1716negeqi 11402 . . . . . . 7 -((i ยท ๐ต)โ†‘2) = --(1 ยท (๐ตโ†‘2))
1813, 14mulcli 11170 . . . . . . . 8 (1 ยท (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚
1918negnegi 11479 . . . . . . 7 --(1 ยท (๐ตโ†‘2)) = (1 ยท (๐ตโ†‘2))
2014mulid2i 11168 . . . . . . 7 (1 ยท (๐ตโ†‘2)) = (๐ตโ†‘2)
2117, 19, 203eqtri 2765 . . . . . 6 -((i ยท ๐ต)โ†‘2) = (๐ตโ†‘2)
2221oveq2i 7372 . . . . 5 ((๐ดโ†‘2) + -((i ยท ๐ต)โ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
232, 7subsqi 14126 . . . . 5 ((๐ดโ†‘2) โˆ’ ((i ยท ๐ต)โ†‘2)) = ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)))
249, 22, 233eqtr3ri 2770 . . . 4 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))
2524oveq1i 7371 . . 3 (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) = (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))
26 neorian 3036 . . . . 5 ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†” ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0))
27 sumsqeq0 14092 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†” ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = 0))
281, 5, 27mp2an 691 . . . . . 6 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†” ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = 0)
2928necon3bbii 2988 . . . . 5 (ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†” ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โ‰  0)
3026, 29bitri 275 . . . 4 ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†” ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โ‰  0)
312, 7addcli 11169 . . . . 5 (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚
322, 7subcli 11485 . . . . 5 (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚
333, 14addcli 11169 . . . . 5 ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚
3431, 32, 33divasszi 11913 . . . 4 (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โ‰  0 โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) = ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))))
3530, 34sylbi 216 . . 3 ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) = ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))))
36 divid 11850 . . . . 5 ((((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โ‰  0) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) = 1)
3733, 36mpan 689 . . . 4 (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โ‰  0 โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) = 1)
3830, 37sylbi 216 . . 3 ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) = 1)
3925, 35, 383eqtr3a 2797 . 2 ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))) = 1)
4032, 33divclzi 11898 . . . 4 (((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) โ‰  0 โ†’ ((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
4130, 40sylbi 216 . . 3 ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†’ ((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
4231a1i 11 . . 3 ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
43 crne0 12154 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†” (๐ด + (i ยท ๐ต)) โ‰  0))
441, 5, 43mp2an 691 . . . 4 ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†” (๐ด + (i ยท ๐ต)) โ‰  0)
4544biimpi 215 . . 3 ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โ‰  0)
46 divmul 11824 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) โ‰  0)) โ†’ ((1 / (๐ด + (i ยท ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) โ†” ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))) = 1))
4713, 46mp3an1 1449 . . 3 ((((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) โ‰  0)) โ†’ ((1 / (๐ด + (i ยท ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) โ†” ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))) = 1))
4841, 42, 45, 47syl12anc 836 . 2 ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†’ ((1 / (๐ด + (i ยท ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))) โ†” ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท ((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)))) = 1))
4939, 48mpbird 257 1 ((๐ด โ‰  0 โˆจ ๐ต โ‰  0) โ†’ (1 / (๐ด + (i ยท ๐ต))) = ((๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต)) / ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  ici 11061   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  2c2 12216  โ†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator