Theorem crreczi 14151

Description: Reciprocal of a complex number in terms of real and imaginary components. Remark in [Apostol] p. 361. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Proof shortened by Jeff Hankins, 16-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
crrecz.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
crrecz.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
crreczi	⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

Proof of Theorem crreczi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crrecz.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2	1	recni 11146	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3	2	sqcli 14104	. . . . . 6 ⊢ (𝐴↑2) ∈ ℂ
4		ax-icn 11085	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
5		crrecz.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
6	5	recni 11146	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
7	4, 6	mulcli 11139	. . . . . . 7 ⊢ (i · 𝐵) ∈ ℂ
8	7	sqcli 14104	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) ∈ ℂ
9	3, 8	negsubi 11459	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + -((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴↑2) − ((i · 𝐵)↑2))
10	4, 6	sqmuli 14107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) = ((i↑2) · (𝐵↑2))
11		i2 14125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i↑2) = -1
12	11	oveq1i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i↑2) · (𝐵↑2)) = (-1 · (𝐵↑2))
13		ax-1cn 11084	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
14	6	sqcli 14104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵↑2) ∈ ℂ
15	13, 14	mulneg1i 11583	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · (𝐵↑2)) = -(1 · (𝐵↑2))
16	10, 12, 15	3eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝐵)↑2) = -(1 · (𝐵↑2))
17	16	negeqi 11373	. . . . . . 7 ⊢ -((i · 𝐵)↑2) = --(1 · (𝐵↑2))
18	13, 14	mulcli 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ
19	18	negnegi 11451	. . . . . . 7 ⊢ --(1 · (𝐵↑2)) = (1 · (𝐵↑2))
20	14	mullidi 11137	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (𝐵↑2)) = (𝐵↑2)
21	17, 19, 20	3eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ -((i · 𝐵)↑2) = (𝐵↑2)
22	21	oveq2i 7369	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + -((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
23	2, 7	subsqi 14136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) − ((i · 𝐵)↑2)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵)))
24	9, 22, 23	3eqtr3ri 2768	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
25	24	oveq1i 7368	. . 3 ⊢ (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
26		neorian 3027	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
27		sumsqeq0 14102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0))
28	1, 5, 27	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = 0)
29	28	necon3bbii 2979	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0)
30	26, 29	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0)
31	2, 7	addcli 11138	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ
32	2, 7	subcli 11457	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − (i · 𝐵)) ∈ ℂ
33	3, 14	addcli 11138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ
34	31, 32, 33	divasszi 11891	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))))
35	30, 34	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) · (𝐴 − (i · 𝐵))) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))))
36		divid 11827	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
37	33, 36	mpan 690	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
38	30, 37	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) = 1)
39	25, 35, 38	3eqtr3a 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1)
40	32, 33	divclzi 11876	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ≠ 0 → ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
41	30, 40	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
42	31	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
43		crne0 12138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0))
44	1, 5, 43	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)
45	44	biimpi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)
46		divmul 11799	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
47	13, 46	mp3an1 1450	. . 3 ⊢ ((((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
48	41, 42, 45, 47	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → ((1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))) ↔ ((𝐴 + (i · 𝐵)) · ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))) = 1))
49	39, 48	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (1 / (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((𝐴 − (i · 𝐵)) / ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027  ici 11028   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  -cneg 11365   / cdiv 11794  2c2 12200  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by: (None)