Theorem mul01i 11418

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11407	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118   · cmul 11123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266

This theorem is used by:  ine0  11667  msqge0  11753  recextlem2  11863  eqneg  11953  crne0  12229  2t0e0  12429  it0e0  12485  num0h  12741  discr  14296  sin4lt0  16276  demoivreALT  16282  5ndvds3  16496  gcdaddmlem  16607  bezout  16626  139prm  17209  317prm  17211  631prm  17212  1259lem4  17219  2503lem1  17222  2503lem2  17223  4001lem1  17226  4001lem2  17227  4001lem3  17228  4001lem4  17229  odadd1  19949  minveclem7  25631  itg1addlem4  25895  aalioulem3  26534  dcubic  27048  log2ublem3  27150  basellem7  27288  basellem9  27290  lgsdir2  27531  selberg2lem  27751  logdivbnd  27757  pntrsumo1  27766  pntrlog2bndlem5  27782  axpaschlem  29327  axlowdimlem6  29334  nmblolbii  31188  siilem1  31240  minvecolem7  31272  eigorthi  32226  nmbdoplbi  32413  nmcoplbi  32417  nmbdfnlbi  32438  nmcfnlbi  32441  nmopcoi  32484  itgexpif  35025  hgt750lem2  35071  subfacval2  35700  areacirc  38405  60lcm7e420  42818  3lexlogpow5ineq1  42862  sqn5i  43087  139prmALT  48389