Theorem mul01i 11334

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11323	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036   · cmul 11041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182

This theorem is referenced by:  ine0  11583  msqge0  11669  recextlem2  11779  eqneg  11873  crne0  12150  2t0e0  12343  it0e0  12398  num0h  12654  discr  14200  sin4lt0  16160  demoivreALT  16166  5ndvds3  16380  gcdaddmlem  16491  bezout  16510  139prm  17092  317prm  17094  631prm  17095  1259lem4  17102  2503lem1  17105  2503lem2  17106  4001lem1  17109  4001lem2  17110  4001lem3  17111  4001lem4  17112  odadd1  19821  minveclem7  25427  itg1addlem4  25691  aalioulem3  26325  dcubic  26835  log2ublem3  26937  basellem7  27075  basellem9  27077  lgsdir2  27318  selberg2lem  27538  logdivbnd  27544  pntrsumo1  27553  pntrlog2bndlem5  27569  axpaschlem  29034  axlowdimlem6  29041  nmblolbii  30895  siilem1  30947  minvecolem7  30979  eigorthi  31933  nmbdoplbi  32120  nmcoplbi  32124  nmbdfnlbi  32145  nmcfnlbi  32148  nmopcoi  32191  itgexpif  34797  hgt750lem2  34843  subfacval2  35422  areacirc  38087  60lcm7e420  42502  3lexlogpow5ineq1  42546  sqn5i  42769  139prmALT  48081