Theorem mul01i 11480

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11469	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  ine0  11725  msqge0  11811  recextlem2  11921  eqneg  12014  crne0  12286  2t0e0  12462  it0e0  12515  num0h  12770  discr  14289  sin4lt0  16243  demoivreALT  16249  gcdaddmlem  16570  bezout  16590  139prm  17171  317prm  17173  631prm  17174  1259lem4  17181  2503lem1  17184  2503lem2  17185  4001lem1  17188  4001lem2  17189  4001lem3  17190  4001lem4  17191  odadd1  19890  minveclem7  25488  itg1addlem4  25753  itg1addlem4OLD  25754  aalioulem3  26394  dcubic  26907  log2ublem3  27009  basellem7  27148  basellem9  27150  lgsdir2  27392  selberg2lem  27612  logdivbnd  27618  pntrsumo1  27627  pntrlog2bndlem5  27643  axpaschlem  28973  axlowdimlem6  28980  nmblolbii  30831  siilem1  30883  minvecolem7  30915  eigorthi  31869  nmbdoplbi  32056  nmcoplbi  32060  nmbdfnlbi  32081  nmcfnlbi  32084  nmopcoi  32127  itgexpif  34583  hgt750lem2  34629  subfacval2  35155  areacirc  37673  60lcm7e420  41967  3lexlogpow5ineq1  42011  sqn5i  42274  139prmALT  47470