Theorem mul01i 11408

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112   · cmul 11117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257

This theorem is referenced by:  ine0  11653  msqge0  11739  recextlem2  11849  eqneg  11938  crne0  12209  2t0e0  12385  it0e0  12438  num0h  12693  discr  14207  sin4lt0  16142  demoivreALT  16148  gcdaddmlem  16469  bezout  16489  139prm  17061  317prm  17063  631prm  17064  1259lem4  17071  2503lem1  17074  2503lem2  17075  4001lem1  17078  4001lem2  17079  4001lem3  17080  4001lem4  17081  odadd1  19757  minveclem7  25183  itg1addlem4  25448  itg1addlem4OLD  25449  aalioulem3  26083  dcubic  26587  log2ublem3  26689  basellem7  26827  basellem9  26829  lgsdir2  27069  selberg2lem  27289  logdivbnd  27295  pntrsumo1  27304  pntrlog2bndlem5  27320  axpaschlem  28465  axlowdimlem6  28472  nmblolbii  30319  siilem1  30371  minvecolem7  30403  eigorthi  31357  nmbdoplbi  31544  nmcoplbi  31548  nmbdfnlbi  31569  nmcfnlbi  31572  nmopcoi  31615  itgexpif  33916  hgt750lem2  33962  subfacval2  34476  areacirc  36884  60lcm7e420  41181  3lexlogpow5ineq1  41225  sqn5i  41499  139prmALT  46562