Theorem mul01i 11303

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11292	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   · cmul 11011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151

This theorem is referenced by:  ine0  11552  msqge0  11638  recextlem2  11748  eqneg  11841  crne0  12118  2t0e0  12289  it0e0  12344  num0h  12600  discr  14147  sin4lt0  16104  demoivreALT  16110  5ndvds3  16324  gcdaddmlem  16435  bezout  16454  139prm  17035  317prm  17037  631prm  17038  1259lem4  17045  2503lem1  17048  2503lem2  17049  4001lem1  17052  4001lem2  17053  4001lem3  17054  4001lem4  17055  odadd1  19761  minveclem7  25363  itg1addlem4  25628  aalioulem3  26270  dcubic  26784  log2ublem3  26886  basellem7  27025  basellem9  27027  lgsdir2  27269  selberg2lem  27489  logdivbnd  27495  pntrsumo1  27504  pntrlog2bndlem5  27520  axpaschlem  28919  axlowdimlem6  28926  nmblolbii  30777  siilem1  30829  minvecolem7  30861  eigorthi  31815  nmbdoplbi  32002  nmcoplbi  32006  nmbdfnlbi  32027  nmcfnlbi  32030  nmopcoi  32073  itgexpif  34617  hgt750lem2  34663  subfacval2  35229  areacirc  37759  60lcm7e420  42049  3lexlogpow5ineq1  42093  sqn5i  42324  139prmALT  47633