Theorem mul01i 11324

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11313	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028   · cmul 11033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  ine0  11573  msqge0  11659  recextlem2  11769  eqneg  11862  crne0  12139  2t0e0  12310  it0e0  12365  num0h  12621  discr  14165  sin4lt0  16122  demoivreALT  16128  5ndvds3  16342  gcdaddmlem  16453  bezout  16472  139prm  17053  317prm  17055  631prm  17056  1259lem4  17063  2503lem1  17066  2503lem2  17067  4001lem1  17070  4001lem2  17071  4001lem3  17072  4001lem4  17073  odadd1  19745  minveclem7  25351  itg1addlem4  25616  aalioulem3  26258  dcubic  26772  log2ublem3  26874  basellem7  27013  basellem9  27015  lgsdir2  27257  selberg2lem  27477  logdivbnd  27483  pntrsumo1  27492  pntrlog2bndlem5  27508  axpaschlem  28903  axlowdimlem6  28910  nmblolbii  30761  siilem1  30813  minvecolem7  30845  eigorthi  31799  nmbdoplbi  31986  nmcoplbi  31990  nmbdfnlbi  32011  nmcfnlbi  32014  nmopcoi  32057  itgexpif  34576  hgt750lem2  34622  subfacval2  35162  areacirc  37695  60lcm7e420  41986  3lexlogpow5ineq1  42030  sqn5i  42261  139prmALT  47584