Theorem mul01i 11335

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11324	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   · cmul 11043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  ine0  11584  msqge0  11670  recextlem2  11780  eqneg  11873  crne0  12150  2t0e0  12321  it0e0  12376  num0h  12631  discr  14175  sin4lt0  16132  demoivreALT  16138  5ndvds3  16352  gcdaddmlem  16463  bezout  16482  139prm  17063  317prm  17065  631prm  17066  1259lem4  17073  2503lem1  17076  2503lem2  17077  4001lem1  17080  4001lem2  17081  4001lem3  17082  4001lem4  17083  odadd1  19789  minveclem7  25403  itg1addlem4  25668  aalioulem3  26310  dcubic  26824  log2ublem3  26926  basellem7  27065  basellem9  27067  lgsdir2  27309  selberg2lem  27529  logdivbnd  27535  pntrsumo1  27544  pntrlog2bndlem5  27560  axpaschlem  29025  axlowdimlem6  29032  nmblolbii  30886  siilem1  30938  minvecolem7  30970  eigorthi  31924  nmbdoplbi  32111  nmcoplbi  32115  nmbdfnlbi  32136  nmcfnlbi  32139  nmopcoi  32182  itgexpif  34783  hgt750lem2  34829  subfacval2  35400  areacirc  37961  60lcm7e420  42377  3lexlogpow5ineq1  42421  sqn5i  42652  139prmALT  47953