Theorem mul01i 11530

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11519	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230   · cmul 11235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-ltxr 11378

This theorem is used by:  ine0  11781  msqge0  11867  recextlem2  11977  eqneg  12067  crne0  12343  2t0e0  12543  it0e0  12599  num0h  12856  discr  14414  sin4lt0  16395  demoivreALT  16401  5ndvds3  16615  gcdaddmlem  16728  bezout  16748  139prm  17334  317prm  17336  631prm  17337  1259lem4  17344  2503lem1  17347  2503lem2  17348  4001lem1  17351  4001lem2  17352  4001lem3  17353  4001lem4  17354  odadd1  20095  minveclem7  25789  itg1addlem4  26053  aalioulem3  26694  dcubic  27207  log2ublem3  27309  basellem7  27447  basellem9  27449  lgsdir2  27690  selberg2lem  27910  logdivbnd  27916  pntrsumo1  27925  pntrlog2bndlem5  27941  axpaschlem  29551  axlowdimlem6  29558  nmblolbii  31434  siilem1  31486  minvecolem7  31518  eigorthi  32472  nmbdoplbi  32659  nmcoplbi  32663  nmbdfnlbi  32684  nmcfnlbi  32687  nmopcoi  32730  itgexpif  35318  hgt750lem2  35364  subfacval2  36132  areacirc  38836  60lcm7e420  43263  3lexlogpow5ineq1  43307  sqn5i  43546  139prmALT  48896