Theorem mul01i 11428

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128   · cmul 11133

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276

This theorem is used by:  ine0  11677  msqge0  11763  recextlem2  11873  eqneg  11963  crne0  12239  2t0e0  12439  it0e0  12495  num0h  12752  discr  14308  sin4lt0  16289  demoivreALT  16295  5ndvds3  16509  gcdaddmlem  16620  bezout  16639  139prm  17222  317prm  17224  631prm  17225  1259lem4  17232  2503lem1  17235  2503lem2  17236  4001lem1  17239  4001lem2  17240  4001lem3  17241  4001lem4  17242  odadd1  19981  minveclem7  25669  itg1addlem4  25933  aalioulem3  26577  dcubic  27091  log2ublem3  27193  basellem7  27331  basellem9  27333  lgsdir2  27574  selberg2lem  27794  logdivbnd  27800  pntrsumo1  27809  pntrlog2bndlem5  27825  axpaschlem  29405  axlowdimlem6  29412  nmblolbii  31288  siilem1  31340  minvecolem7  31372  eigorthi  32326  nmbdoplbi  32513  nmcoplbi  32517  nmbdfnlbi  32538  nmcfnlbi  32541  nmopcoi  32584  itgexpif  35122  hgt750lem2  35168  subfacval2  35774  areacirc  38470  60lcm7e420  42884  3lexlogpow5ineq1  42928  sqn5i  43168  139prmALT  48507