Theorem mul01i 10824

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 10813	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   · cmul 10536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674

This theorem is referenced by:  ine0  11069  msqge0  11155  recextlem2  11265  eqneg  11354  crne0  11625  2t0e0  11800  it0e0  11853  num0h  12104  discr  13595  sin4lt0  15542  demoivreALT  15548  gcdaddmlem  15866  bezout  15885  139prm  16451  317prm  16453  631prm  16454  1259lem4  16461  2503lem1  16464  2503lem2  16465  4001lem1  16468  4001lem2  16469  4001lem3  16470  4001lem4  16471  odadd1  18962  minveclem7  24032  itg1addlem4  24294  aalioulem3  24917  dcubic  25418  log2ublem3  25520  basellem7  25658  basellem9  25660  lgsdir2  25900  selberg2lem  26120  logdivbnd  26126  pntrsumo1  26135  pntrlog2bndlem5  26151  axpaschlem  26720  axlowdimlem6  26727  nmblolbii  28570  siilem1  28622  minvecolem7  28654  eigorthi  29608  nmbdoplbi  29795  nmcoplbi  29799  nmbdfnlbi  29820  nmcfnlbi  29823  nmopcoi  29866  itgexpif  31872  hgt750lem2  31918  subfacval2  32429  areacirc  34981  sqn5i  39164  139prmALT  43752