MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul01i 10480
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
mul01i (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 mul01 10469 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
31, 2ax-mp 5 1 (𝐴 · 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wcel 2155  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189   · cmul 10194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-ltxr 10333
This theorem is referenced by:  ine0  10719  msqge0  10803  recextlem2  10912  eqneg  10999  crne0  11267  2t0e0  11447  it0e0  11500  num0h  11752  decmul1  11805  discr  13208  sin4lt0  15207  demoivreALT  15213  gcdaddmlem  15526  bezout  15541  139prm  16104  317prm  16106  631prm  16107  1259lem4  16114  2503lem1  16117  2503lem2  16118  4001lem1  16121  4001lem2  16122  4001lem3  16123  4001lem4  16124  odadd1  18517  minveclem7  23495  itg1addlem4  23757  aalioulem3  24380  dcubic  24864  log2ublem3  24966  basellem7  25104  basellem9  25106  lgsdir2  25346  selberg2lem  25530  logdivbnd  25536  pntrsumo1  25545  pntrlog2bndlem5  25561  axpaschlem  26111  axlowdimlem6  26118  nmblolbii  28110  siilem1  28162  minvecolem7  28195  eigorthi  29152  nmbdoplbi  29339  nmcoplbi  29343  nmbdfnlbi  29364  nmcfnlbi  29367  nmopcoi  29410  itgexpif  31135  hgt750lem2  31181  subfacval2  31617  areacirc  33928  sqn5i  37922  139prmALT  42187
  Copyright terms: Public domain W3C validator