MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul01i 11352
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 ๐ด โˆˆ โ„‚
Assertion
Ref Expression
mul01i (๐ด ยท 0) = 0

Proof of Theorem mul01i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 ๐ด โˆˆ โ„‚
2 mul01 11341 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
31, 2ax-mp 5 1 (๐ด ยท 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058   ยท cmul 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  ine0  11597  msqge0  11683  recextlem2  11793  eqneg  11882  crne0  12153  2t0e0  12329  it0e0  12382  num0h  12637  discr  14150  sin4lt0  16084  demoivreALT  16090  gcdaddmlem  16411  bezout  16431  139prm  17003  317prm  17005  631prm  17006  1259lem4  17013  2503lem1  17016  2503lem2  17017  4001lem1  17020  4001lem2  17021  4001lem3  17022  4001lem4  17023  odadd1  19633  minveclem7  24815  itg1addlem4  25079  itg1addlem4OLD  25080  aalioulem3  25710  dcubic  26212  log2ublem3  26314  basellem7  26452  basellem9  26454  lgsdir2  26694  selberg2lem  26914  logdivbnd  26920  pntrsumo1  26929  pntrlog2bndlem5  26945  axpaschlem  27931  axlowdimlem6  27938  nmblolbii  29783  siilem1  29835  minvecolem7  29867  eigorthi  30821  nmbdoplbi  31008  nmcoplbi  31012  nmbdfnlbi  31033  nmcfnlbi  31036  nmopcoi  31079  itgexpif  33259  hgt750lem2  33305  subfacval2  33821  areacirc  36200  60lcm7e420  40496  3lexlogpow5ineq1  40540  sqn5i  40828  139prmALT  45862
  Copyright terms: Public domain W3C validator