Theorem mul01i 11095

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11084	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945

This theorem is referenced by:  ine0  11340  msqge0  11426  recextlem2  11536  eqneg  11625  crne0  11896  2t0e0  12072  it0e0  12125  num0h  12378  discr  13883  sin4lt0  15832  demoivreALT  15838  gcdaddmlem  16159  bezout  16179  139prm  16753  317prm  16755  631prm  16756  1259lem4  16763  2503lem1  16766  2503lem2  16767  4001lem1  16770  4001lem2  16771  4001lem3  16772  4001lem4  16773  odadd1  19364  minveclem7  24504  itg1addlem4  24768  itg1addlem4OLD  24769  aalioulem3  25399  dcubic  25901  log2ublem3  26003  basellem7  26141  basellem9  26143  lgsdir2  26383  selberg2lem  26603  logdivbnd  26609  pntrsumo1  26618  pntrlog2bndlem5  26634  axpaschlem  27211  axlowdimlem6  27218  nmblolbii  29062  siilem1  29114  minvecolem7  29146  eigorthi  30100  nmbdoplbi  30287  nmcoplbi  30291  nmbdfnlbi  30312  nmcfnlbi  30315  nmopcoi  30358  itgexpif  32486  hgt750lem2  32532  subfacval2  33049  areacirc  35797  60lcm7e420  39946  3lexlogpow5ineq1  39990  sqn5i  40234  139prmALT  44936