Theorem mul01i 11423

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  0cc0 11127   · cmul 11132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272

This theorem is referenced by:  ine0  11670  msqge0  11756  recextlem2  11866  eqneg  11959  crne0  12231  2t0e0  12407  it0e0  12462  num0h  12718  discr  14256  sin4lt0  16211  demoivreALT  16217  5ndvds3  16430  gcdaddmlem  16541  bezout  16560  139prm  17141  317prm  17143  631prm  17144  1259lem4  17151  2503lem1  17154  2503lem2  17155  4001lem1  17158  4001lem2  17159  4001lem3  17160  4001lem4  17161  odadd1  19827  minveclem7  25385  itg1addlem4  25650  aalioulem3  26292  dcubic  26806  log2ublem3  26908  basellem7  27047  basellem9  27049  lgsdir2  27291  selberg2lem  27511  logdivbnd  27517  pntrsumo1  27526  pntrlog2bndlem5  27542  axpaschlem  28865  axlowdimlem6  28872  nmblolbii  30726  siilem1  30778  minvecolem7  30810  eigorthi  31764  nmbdoplbi  31951  nmcoplbi  31955  nmbdfnlbi  31976  nmcfnlbi  31979  nmopcoi  32022  itgexpif  34584  hgt750lem2  34630  subfacval2  35155  areacirc  37683  60lcm7e420  41969  3lexlogpow5ineq1  42013  sqn5i  42282  139prmALT  47558