Theorem mul01i 11504

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11493	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204   · cmul 11209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352

This theorem is used by:  ine0  11755  msqge0  11841  recextlem2  11951  eqneg  12041  crne0  12317  2t0e0  12517  it0e0  12573  num0h  12830  discr  14388  sin4lt0  16369  demoivreALT  16375  5ndvds3  16589  gcdaddmlem  16702  bezout  16722  139prm  17308  317prm  17310  631prm  17311  1259lem4  17318  2503lem1  17321  2503lem2  17322  4001lem1  17325  4001lem2  17326  4001lem3  17327  4001lem4  17328  odadd1  20068  minveclem7  25762  itg1addlem4  26026  aalioulem3  26667  dcubic  27180  log2ublem3  27282  basellem7  27420  basellem9  27422  lgsdir2  27663  selberg2lem  27883  logdivbnd  27889  pntrsumo1  27898  pntrlog2bndlem5  27914  axpaschlem  29524  axlowdimlem6  29531  nmblolbii  31407  siilem1  31459  minvecolem7  31491  eigorthi  32445  nmbdoplbi  32632  nmcoplbi  32636  nmbdfnlbi  32657  nmcfnlbi  32660  nmopcoi  32703  itgexpif  35282  hgt750lem2  35328  subfacval2  36039  areacirc  38725  60lcm7e420  43154  3lexlogpow5ineq1  43198  sqn5i  43436  139prmALT  48775