Theorem mul01i 10632

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 10621	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  (class class class)co 6978  ℂcc 10335  0cc0 10337   · cmul 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-po 5327  df-so 5328  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-ov 6981  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-ltxr 10481

This theorem is referenced by:  ine0  10878  msqge0  10964  recextlem2  11074  eqneg  11163  crne0  11434  2t0e0  11619  it0e0  11672  num0h  11926  decmul1OLD  11980  discr  13419  sin4lt0  15411  demoivreALT  15417  gcdaddmlem  15735  bezout  15750  139prm  16316  317prm  16318  631prm  16319  1259lem4  16326  2503lem1  16329  2503lem2  16330  4001lem1  16333  4001lem2  16334  4001lem3  16335  4001lem4  16336  odadd1  18727  minveclem7  23744  itg1addlem4  24006  aalioulem3  24629  dcubic  25128  log2ublem3  25231  basellem7  25369  basellem9  25371  lgsdir2  25611  selberg2lem  25831  logdivbnd  25837  pntrsumo1  25846  pntrlog2bndlem5  25862  axpaschlem  26432  axlowdimlem6  26439  nmblolbii  28356  siilem1  28408  minvecolem7  28441  eigorthi  29398  nmbdoplbi  29585  nmcoplbi  29589  nmbdfnlbi  29610  nmcfnlbi  29613  nmopcoi  29656  itgexpif  31525  hgt750lem2  31571  subfacval2  32019  areacirc  34428  sqn5i  38603  139prmALT  43128