Theorem mul01i 11404

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11393	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   · cmul 11115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  ine0  11649  msqge0  11735  recextlem2  11845  eqneg  11934  crne0  12205  2t0e0  12381  it0e0  12434  num0h  12689  discr  14203  sin4lt0  16138  demoivreALT  16144  gcdaddmlem  16465  bezout  16485  139prm  17057  317prm  17059  631prm  17060  1259lem4  17067  2503lem1  17070  2503lem2  17071  4001lem1  17074  4001lem2  17075  4001lem3  17076  4001lem4  17077  odadd1  19716  minveclem7  24952  itg1addlem4  25216  itg1addlem4OLD  25217  aalioulem3  25847  dcubic  26351  log2ublem3  26453  basellem7  26591  basellem9  26593  lgsdir2  26833  selberg2lem  27053  logdivbnd  27059  pntrsumo1  27068  pntrlog2bndlem5  27084  axpaschlem  28198  axlowdimlem6  28205  nmblolbii  30052  siilem1  30104  minvecolem7  30136  eigorthi  31090  nmbdoplbi  31277  nmcoplbi  31281  nmbdfnlbi  31302  nmcfnlbi  31305  nmopcoi  31348  itgexpif  33618  hgt750lem2  33664  subfacval2  34178  areacirc  36581  60lcm7e420  40875  3lexlogpow5ineq1  40919  sqn5i  41197  139prmALT  46264