Theorem mul01i 11448

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11437	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152   · cmul 11157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297

This theorem is referenced by:  ine0  11695  msqge0  11781  recextlem2  11891  eqneg  11984  crne0  12256  2t0e0  12432  it0e0  12485  num0h  12742  discr  14275  sin4lt0  16227  demoivreALT  16233  5ndvds3  16446  gcdaddmlem  16557  bezout  16576  139prm  17157  317prm  17159  631prm  17160  1259lem4  17167  2503lem1  17170  2503lem2  17171  4001lem1  17174  4001lem2  17175  4001lem3  17176  4001lem4  17177  odadd1  19880  minveclem7  25482  itg1addlem4  25747  itg1addlem4OLD  25748  aalioulem3  26390  dcubic  26903  log2ublem3  27005  basellem7  27144  basellem9  27146  lgsdir2  27388  selberg2lem  27608  logdivbnd  27614  pntrsumo1  27623  pntrlog2bndlem5  27639  axpaschlem  28969  axlowdimlem6  28976  nmblolbii  30827  siilem1  30879  minvecolem7  30911  eigorthi  31865  nmbdoplbi  32052  nmcoplbi  32056  nmbdfnlbi  32077  nmcfnlbi  32080  nmopcoi  32123  itgexpif  34599  hgt750lem2  34645  subfacval2  35171  areacirc  37699  60lcm7e420  41991  3lexlogpow5ineq1  42035  sqn5i  42298  139prmALT  47520