Theorem mul01i 11388

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11377	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088   · cmul 11093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236

This theorem is referenced by:  ine0  11637  msqge0  11723  recextlem2  11833  eqneg  11923  crne0  12199  2t0e0  12399  it0e0  12455  num0h  12711  discr  14264  sin4lt0  16239  demoivreALT  16245  5ndvds3  16459  gcdaddmlem  16570  bezout  16589  139prm  17172  317prm  17174  631prm  17175  1259lem4  17182  2503lem1  17185  2503lem2  17186  4001lem1  17189  4001lem2  17190  4001lem3  17191  4001lem4  17192  odadd1  19906  minveclem7  25551  itg1addlem4  25815  aalioulem3  26452  dcubic  26965  log2ublem3  27067  basellem7  27205  basellem9  27207  lgsdir2  27448  selberg2lem  27668  logdivbnd  27674  pntrsumo1  27683  pntrlog2bndlem5  27699  axpaschlem  29195  axlowdimlem6  29202  nmblolbii  31056  siilem1  31108  minvecolem7  31140  eigorthi  32094  nmbdoplbi  32281  nmcoplbi  32285  nmbdfnlbi  32306  nmcfnlbi  32309  nmopcoi  32352  itgexpif  34905  hgt750lem2  34951  subfacval2  35545  areacirc  38219  60lcm7e420  42634  3lexlogpow5ineq1  42678  sqn5i  42901  139prmALT  48204