Theorem mul01i 11165

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11154	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   · cmul 10876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  ine0  11410  msqge0  11496  recextlem2  11606  eqneg  11695  crne0  11966  2t0e0  12142  it0e0  12195  num0h  12449  discr  13955  sin4lt0  15904  demoivreALT  15910  gcdaddmlem  16231  bezout  16251  139prm  16825  317prm  16827  631prm  16828  1259lem4  16835  2503lem1  16838  2503lem2  16839  4001lem1  16842  4001lem2  16843  4001lem3  16844  4001lem4  16845  odadd1  19449  minveclem7  24599  itg1addlem4  24863  itg1addlem4OLD  24864  aalioulem3  25494  dcubic  25996  log2ublem3  26098  basellem7  26236  basellem9  26238  lgsdir2  26478  selberg2lem  26698  logdivbnd  26704  pntrsumo1  26713  pntrlog2bndlem5  26729  axpaschlem  27308  axlowdimlem6  27315  nmblolbii  29161  siilem1  29213  minvecolem7  29245  eigorthi  30199  nmbdoplbi  30386  nmcoplbi  30390  nmbdfnlbi  30411  nmcfnlbi  30414  nmopcoi  30457  itgexpif  32586  hgt750lem2  32632  subfacval2  33149  areacirc  35870  60lcm7e420  40018  3lexlogpow5ineq1  40062  sqn5i  40313  139prmALT  45048