MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul01i 10823
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
mul01i (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 mul01 10812 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
31, 2ax-mp 5 1 (𝐴 · 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2112  (class class class)co 7139  cc 10528  0cc0 10530   · cmul 10535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673
This theorem is referenced by:  ine0  11068  msqge0  11154  recextlem2  11264  eqneg  11353  crne0  11622  2t0e0  11798  it0e0  11851  num0h  12102  discr  13601  sin4lt0  15543  demoivreALT  15549  gcdaddmlem  15865  bezout  15884  139prm  16452  317prm  16454  631prm  16455  1259lem4  16462  2503lem1  16465  2503lem2  16466  4001lem1  16469  4001lem2  16470  4001lem3  16471  4001lem4  16472  odadd1  18964  minveclem7  24042  itg1addlem4  24306  aalioulem3  24933  dcubic  25435  log2ublem3  25537  basellem7  25675  basellem9  25677  lgsdir2  25917  selberg2lem  26137  logdivbnd  26143  pntrsumo1  26152  pntrlog2bndlem5  26168  axpaschlem  26737  axlowdimlem6  26744  nmblolbii  28585  siilem1  28637  minvecolem7  28669  eigorthi  29623  nmbdoplbi  29810  nmcoplbi  29814  nmbdfnlbi  29835  nmcfnlbi  29838  nmopcoi  29881  itgexpif  31985  hgt750lem2  32031  subfacval2  32542  areacirc  35143  60lcm7e420  39291  sqn5i  39466  139prmALT  44100
  Copyright terms: Public domain W3C validator