Theorem mul01i 11312

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul01i	⊢ (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul01 11301	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 · 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  0cc0 11015   · cmul 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-ltxr 11160

This theorem is referenced by:  ine0  11561  msqge0  11647  recextlem2  11757  eqneg  11850  crne0  12127  2t0e0  12298  it0e0  12353  num0h  12608  discr  14151  sin4lt0  16108  demoivreALT  16114  5ndvds3  16328  gcdaddmlem  16439  bezout  16458  139prm  17039  317prm  17041  631prm  17042  1259lem4  17049  2503lem1  17052  2503lem2  17053  4001lem1  17056  4001lem2  17057  4001lem3  17058  4001lem4  17059  odadd1  19764  minveclem7  25365  itg1addlem4  25630  aalioulem3  26272  dcubic  26786  log2ublem3  26888  basellem7  27027  basellem9  27029  lgsdir2  27271  selberg2lem  27491  logdivbnd  27497  pntrsumo1  27506  pntrlog2bndlem5  27522  axpaschlem  28922  axlowdimlem6  28929  nmblolbii  30783  siilem1  30835  minvecolem7  30867  eigorthi  31821  nmbdoplbi  32008  nmcoplbi  32012  nmbdfnlbi  32033  nmcfnlbi  32036  nmopcoi  32079  itgexpif  34642  hgt750lem2  34688  subfacval2  35254  areacirc  37776  60lcm7e420  42126  3lexlogpow5ineq1  42170  sqn5i  42406  139prmALT  47723